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文档简介

1二阶第五节线性常系数齐次微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化2(二阶线性微分方程)时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:

一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y特点：未知函数及其各阶导数都是一次幂.例如P(x),Q(x),f(x)

均为x的已知函数,P(x),Q(x)为变系数,二阶线性微分方程3证毕一、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得定理1.(叠加原理)

4说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.问题:5定义：设函数如果存在不全为0的常数使得：成立，则称函数线性相关；否则称函数线性无关。两个函数在区间

I

上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关线性无关常数常数6思考:中有一个恒为0,则必线性相关例如线性无关线性相关线性相关7定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,

数)是该方程的通解.例如,

方程有特解且常数,故方程的通解为则代入有8二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性微分方程9二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r

为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.猜想有特解10特征方程2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为11特征方程3.

当时,特征方程有一对共轭复根因此原方程的通解为12小结:特征方程:实根特征根通解-----特征方程法13例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为14例3.解:特征方程为解得共轭复根故所求通解为15练习:特征方程:实根特征根通解-----特征方程法16解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为解:

特征方程有重根因此原方程的通解为解:特征方程为解得故所求通解为17

求以为通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为练习：

求方程的通解.答案:通解为通解为通解为18内容小结

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