微积分 （经济管理）第3版 课件 11-3幂级数

1第三节一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数2一、函数项级数的概念定义1.

设为定义在区间I上的函数项级数.为定义在区间I上的函数,如,称3对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域

;若常数项级数收敛,发散,所有为其收

为其发散点,

发散点的全体称为其发散域

.它的收敛域是它的发散域是例如，等比级数定义2.4称它为级数的和函数

,并写成在收敛域上,函数项级数的和是

x

的函数它的收敛域是有和函数

等比级数定义3.5二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数

.的情形,即称6收敛发散定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:

设收敛,则必有于是存在常数M>0,使发散发散收敛7当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,同理可得对一切的x,原幂级数也发散满足不等式收敛发散发散发散收敛(反证法).8几何说明:收敛区域发散区域发散区域由Abel

定理可以看出,的收敛域是以原点为中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点.9称为幂级数的收敛区间，收敛域

=收敛区间+收敛的端点可能是规定问题如何求幂级数的收敛半径?若幂级数在处条件收敛,则定义:

正数R称为幂级数的收敛半径.10定理2.

若的系数满足证:1)若

≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当

≠0时,2)当

＝0时,3)当

＝+∞时,即时,则112)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级数发对任意

x原级数因此散,因此的收敛半径为说明:

据此定理因此级数的收敛半径12如缺项，则必不存在，但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能套用定理，可考虑直接用比值法求收敛半径注：13对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,

收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

级数为交错级数14解:当

x=3时,级数为此级数收敛;当

x=–3时,级数为此级数发散;故原级数的收敛域为练习.求幂级数的收敛半径及收敛域.15例2.

求下列幂级数的收敛域:解:

(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=116例3.的收敛半径与收敛域.解:

令

级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即17解法二:

令级数变为当t=1

时,级数为此级数发散;当t=–1时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即18例4.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由19注：若直接用公式错！20解：缺少偶次幂的项，级数收敛,例5.级数发散,两级数都发散,因此原级数的收敛域为当时，级数为和21三、幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有:22定理4

若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:

逐项求导或积分时,运算前后端点处的敛散性可能会发生变化.因此确定收敛区间时应单独讨论时幂级数的收敛性。23例如1、两边求导得：新的和函数新的级数2、两边积分：左边：右边：发散，收敛.24例6.

的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,并求收敛级数的和.25解:

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,练习：的和函数并求收敛级数的和.26例7.

在(-1,1)内求的和函数.解:

设由逐项求导27例8.

求级数的和函数解:及收敛,x=1时级数发散,收敛半径28因此由和函数的连续性得:而x=0时级数收敛于1,及29练习.

求级数的和函数解:收敛,x=1时级数发散