2025中考数学总复习《锐角三角函数》达标测试【夺冠系列】附答案详解

中考数学总复习《锐角三角函数》达标测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（）A．150°， B．150°，2 C．120°， D．120°，22、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（）A． B．C． D．3、△ABC中，tanA＝1，cosB＝，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形4、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为（）A． B． C． D．5、如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为．如果在坡度为的山坡上种植树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、计算：cos245°＋tan30°·sin60°－sin245°＝________．2、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至D，使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°2．类比这种方法，计算tan22.5°的值为_____．3、若点在反比例函数的图象上，则的值为__________．4、如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是______．5、正八边形的半径为6，则正八边形的面积为________．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，①求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标；②若∠DAB＝∠BAC，求D点的坐标．2、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C距离公路AB的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，，，，，，）3、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图,在中，，点分别在边和边上，沿着直线翻折，点落在边上，记为点，如果，则_______．5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，连结AC，BD交于点E，弦CF⊥BD于点G，连结AG，且满足∠1＝∠2．（1）求证：四边形AGCD为平行四边形．（2）设tanF＝x，tan∠3＝y，①求y关于x的函数表达式．②已知⊙O的直径为2，y＝，点H是边CF上一动点，若AF恰好与△DHE的某一边平行时，求CH的长．③连结OG，若OG平分∠DGF，则x的值为．6、定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对（记作qad）．如图1，在△ABC中，AH⊥BC于点H，则qad∠BAC＝．当qad∠BAC＝时，则称∠BAC为这个三角形的“金角”．已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，△ACE的“金角”∠EAC所对的边CE在BC边上，将△ACE绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到△A'CE'，A'C交AD边于点F．（1）如图2，当α＝45°时，求证：∠ACF是“金角”．（2）如图3，当点E'落在AD边上时，求qad∠AFC的值．-参考答案-一、单选题1、D【分析】观察图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x＝0时，y＝2，即AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，则OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，利用三角函数定义可得∠BOC′＝60°，即可求得答案．【详解】解：由函数图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，∴⊙O的直径为4，OA＝OB＝2，观察图象，可得当x＝0时，y＝2，∴AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，∴OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，∴sin∠BOC′＝＝，∴∠BOC′＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°，∴△BOC′是等边三角形，∴BC′＝OB＝2，即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2．故选：D【点睛】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2、B【分析】先构造直角三角形，由求解即可得出答案【详解】A.，故此选项不符合题意；B.，故此选项符合题意；C.，故此选项不符合题意；D.，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，是解题的关键．3、C【分析】先根据△ABC中，tanA=1，cosB=求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，tanA=1，cosB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．4、A【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的值，再利用正弦函数的定义计算即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，

∴AB=，

∴sinB==，

故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．5、A【分析】根据坡度为0.5，即可求出相邻两棵树的垂直距离为2m，根据勾股定理即可求出相邻两树间的坡面距离．【详解】解：∵坡度i=，∴相邻两棵树的垂直距离为4×0.5=2m，∴相邻两树间的坡面距离约为．故选：A【点睛】本题考查了坡度的定义，解直角三角形的应用，熟知坡度的定义“坡度=垂直距离：水平距离”是解题关键．二、填空题1、##0.5【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【详解】解：=.故答案为．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．2、或【解析】【分析】在等腰直角△ABC中，∠C=90°，延长CB至点D，使得AB=BD，则∠BAD=∠D．设AC=1，求出CD，可得结论．【详解】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，延长CB至点D，使得AB=BD，则∠BAD=∠D．∵∠ABC=45°，∴45°=∠BAD+∠D=2∠D，∴∠D=22.5°，设AC=1，则BC=1，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．3、【解析】【分析】由点P在反比例函数曲线上可知，，故P点坐标为（12，5），故OH=12，PH=5，有勾股定理可求得OP=13，则=．【详解】∵点P在反比例函数的图象上∴故P点坐标为（12，5）故OH=12，PH=5在中满足勾股定理∴∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数及其性质以及求角的余弦值，由反比例函数性质求得P点坐标，进而求得OH，PH的长度是解题的关键．4、3314##3143【解析】【分析】过点作，交延长线于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再解直角三角形可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，，，，，，，解得，又，，在中，，即，解得，，，解得，则的面积是，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．5、【解析】【分析】正八边形的面积有八个全等的等腰三角形面积组成，计算一个等腰三角形的面积，乘以8即可．【详解】解：过A作AM⊥OB于M，如图所示，△ABO为等腰三角形，OA=OB=6，∠AOB=，∵AM是OB上的高，∴∠AOM=∠OAM=45°，∴OM=AM，∴sin45°=，∴AM=，∴，∴正八边形的面积为：．故答案为．【点睛】本题考查了正多边形的面积，等腰直角三角形，等腰三角形，锐角三角函数，熟练把多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键．三、解答题1、（1）；（2）①最大距离为，此时D的坐标为；②【解析】【分析】（1）由直线y=x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①设出点Ｄ和点Q的坐标，运用三角函数，求出ＤH的函数关系式，运用求最大值的方法求解即可；②先求AE的解析式，再与抛物线的解析式联立求解即可．【详解】解：（1）y＝，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）①过点D作DH∥y轴交AB于H，DH⊥AB于H，令，解得，∴C(1，0)，由（1）得A（﹣4，0），B（0，2），在Rt△AOB中，BO=2，AO=4，∴AB=，∵PD∥OB，∴∠OBA=∠DQH，∴sin∠OBA=sin∠DQH=，设点D的横坐标为m，则D，Q，DQ=，∵sin∠DQH=，∴DH=()=，∴当m=-2时，DH最大距离为，当m=-2时，=3，∴D(-2，3)；②∵由（1）得A（﹣4，0），B（0，2），C(1，0)，∴，∴，∴∠ABC=90°，延长CB到E，使BC=BE，连接AE交抛物线于点D，则D点即为所求，设E(x，y)，∵B（0，2），C(1，0)，∴，∴，∴E(-1，4)，∵A（﹣4，0），设直线AE为y=kx+b，则，解得，∴直线AE为，联立，解得(舍去)，∴【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及勾股定理，三角函数及方程，解题的关键是找准相等解的关系利用三角函数求解．2、126米/分钟【解析】【分析】过作于，则米，由解直角三角形求出AD和BD的长度，则求出AB的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过作于，则米，∴，∴，∴，同理：速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD和BD的长度．3、（1）A（16，0），B（-9，0）；（2）-24；（3）存在，（16，12）或（25，12）或（32，）或（）【解析】【分析】（1）解一元二次方程x2﹣15x﹣16＝0，对称点A（16，0），根据直线BC的解析式为y＝kx＋12，求出与y轴交点C为（0，12），利用三角函数求出tan∠BCO=tan∠OAC=，求出OB=即可；（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，利用勾股定理求出AC=，BC=，根据三角函数求出tan∠CAD＝，求出，利用三角函数求出DE=CDsin∠BCO=，再利用勾股定理求出点D（-3，8）即可；（3）过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，先证四边形COAP1为矩形，求出点P1（16，12），再证△P1CA∽△CAB，作P2A⊥AC交CP1延长线于P2，可得∠CAP2=∠BCA=90°，∠P2CA=∠CAB，可证△CAP2∽△ACB，先求三角函数值cos∠CAO=，再利用三角函数值cos∠P2CA=cos∠CAO=，求出，得出点P2（）作∠P3CA=∠OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，先证△CP3A≌△COA（SAS）再证△P3CA∽△CAB，设P3（x，y）利用勾股定理列方程，解方程得出点P3（），延长CP3与延长线交P4，过P4作PH⊥x轴于H，先证△CAP4∽△ACB，再证△P4P3A≌△P4HA（ASA），利用cos∠P3CA=，求得即可．【详解】解：（1）x2﹣15x﹣16＝0，因式分解得，解得，点A在x轴的正半轴上，OA=16，∴点A（16，0），∵直线BC的解析式为y＝kx＋12，与y轴交点C为（0，12），∴tan∠OAC=，∠OCA+∠OAC=90°，∵AC⊥BC，∴∠BCO+∠OCA=90°，∴∠BCO=∠OAC，∴tan∠BCO=tan∠OAC=，∴OB=，∴点B（-9，0）；（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，在Rt△AOC中，AC=，在Rt△BOC中BC=，∵tan∠CAD＝，∴，∵sin∠BCO=，∴DE=CDsin∠BCO=，∴CE=，OE=OC-EC=12-4=8，∴点D（-3，8），∵双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，∴;（3）过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，则∠CP1A=∠P1CO=∠COA=90°，∴四边形COAP1为矩形，∴点P1（16，12），当点P1（16,12）时，CP1∥OA，∠P1CA=∠CAB，∠ACB=∠CP1A，∴△P1CA∽△CAB，作P2A⊥AC交CP1延长线于P2，∵∠CAP2=∠BCA=90°，∠P2CA=∠CAB，∴△CAP2∽△ACB，∴cos∠CAO=，∴cos∠P2CA=cos∠CAO=，∴，∴点P2的横坐标绝对值=，纵坐标的绝对值=OC=12，∴点P2（），作∠P3CA=∠OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，在△CP3A和△COA中，，∴△CP3A≌△COA（SAS），∴AP3=OA=16，∴，∴∴△P3CA∽△CAB，设P3（x，y），整理得，解得：，∴点P3（），延长CP3与延长线交P4，过P4作PH⊥x轴于H，∵∠P4CA=∠CAB，∠P4AC=∠BAC=90°，∴△CAP4∽△ACB，∵∠BAC+∠HAP4=∠CAP3+∠P3AP4=90°，∠CAP3=∠BAC，∴∠HAP4=∠P3AP4，∠P4P3A=180°-∠CP3A=180°-90°=90°=∠P4HA，在△P4P3A和△P4HA中，，△P4P3A≌△P4HA（ASA），∴AP3=AH=16，P3P4=P4H，∵cos∠P3CA=，∴，∴，OH=OA+AH=OA+AP3=16+16=32，∴点，综合直线CB下方，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．点P的坐标（16，12）或（）或或()．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，直线与y轴的交点，反比例函数解析式，锐角三角形函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似，图形与坐标，解方程组，本题难度大，综合性强，涉及知识多，利用动点作出准确图形是解题关键．4、##【解析】【分析】过点作于点，设，则，，解直角三角形即可求得，即的值【详解】解：如图，过点作于点在中，，，是等腰直角三角形=设，则，沿着直线翻折，点落在边上，记为点，在中，即解得故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键．5、（1）见解析；（2）①y=．②或．③1或2【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=∠DGC=90°，证明AD∥CG；根据∠1=∠2=∠ACD，证明AG∥CD；根据平行四边形的定义判定即可；（2）①如图1，过点A作AP⊥CF于点P，根据AD∥CF，得AF=DC，四边形APGD是矩形，△APF≌△DGC，从而得到CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，GD=2b，BG==，在Rt△BGC中，tan∠3＝y=，在Rt△APF中，tanF＝x=，消去a，b即可；②运用勾股定理，确定a，b的值，显然DE与AF是不平行的，故分DH∥AF和EH∥AF两种情形计算即可．③过点O作OM⊥CF于点M，过点O作ON⊥BD于点N，根据OG平分∠DGF，OM=ON，于是BD=CF，从而确定a，b之间的数量关系，代入计算即可．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，弦CF⊥BD于点G，∴∠ADB=∠DGC=90°，∴AD∥CG；∵∠1=∠2=∠ACD，∴AG∥CD；∴四边形AGCD为平行四边形；（2）①如图1，过点A作AP⊥CF于点P，则四边形ADGP是矩形∵四边形AGCD为平行四边形∴AD∥CF，AD=CG，DE=EG，∠DAC=∠ACF∴AF=DC，AP=DG，∴△APF≌△DGC，∴CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，CF=3a，GD=2b，∵，∴BG==，在Rt△BGC中，tan∠3＝y===，在Rt△APF中，tanF＝x==，消去a，b即可；∴x=2y，∴y关于x的函数表