微积分 （经济管理）第3版 课件 第2章 极限与连续

1第二章极限与连续第一节数列的极限第二节函数的极限第三节无穷小与无穷大第四节极限运算法则第五节两个重要极限第六节无穷小的比较第七节函数的连续性2三、收敛数列的性质四、极限存在准则一、数列的概念第一节数列的极限二、数列极限的定义3引按照下列规律：

，…,

无限的写下去，这些数的尽头是什么？,…

这是数列的极限的问题，本节研究的主要内容就是数列的极限.4一、数列的概念与性质

1.数列的概念定义1

按照一定法则依次排列的一列无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记为数列中的每一个数称为数列的项，第n项称为数列的一般项或通项.例如5数列的几何意义：数列动点，它依次取数轴上的点可以看作数轴上的一个数列与函数：数列可以看作自变量为正整数的函数（也称为整标函数）：它的定义域是全体正整数.62.数列的性质数列，若存在正数，使得对于一切都满足则称数列是有界的，否则称数列为无界的。

数列的有界性对数列中的每一项都成立，没有例外。

注：1）数列的有界性例如,有界有界无界7数列，若满足条件则称数列是单调增加的；2）数列的单调性例如,单调减少单调增加若满足条件则称数列是单调减少的。单调增加或单调减少的数列，统称为单调数列。8极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。

我国数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法：割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”

——

刘徽二、数列极限的定义引例刘徽割圆术91、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽数列极限概念的引入用正多边形的面积逼近圆面积的几何演示101、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入11“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入12“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入13“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入14“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入15“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入16“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入17“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入18“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”播放——刘徽正六边形的面积A1正十二边形的面积A2概念引入1、割圆术：19之半，如此分割下去问：共去棒长多少？解：把所去之半排列起来：此是公比为的等比数列引例2：第一次去其一半，第二次再去所余“一尺之棰，日截其半，万世不竭”一尺之棰，共去棰长20观察下列数列的变化趋势：21趋势不定观察可见,的变化趋势只有两种：不是无限地接近某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。由此，得到数列极限的初步定义如下：22若当

时，一般项无限地接近于某个则称A为数列的极限，记作或称有极限的数列为收敛数列，无极限的数列为发散数列。若当

时，不接近于任何确定常数A,则称确定的常数A,数列没有极限。

数列极限的描述性定义23不存在例如24求解下列数列极限25三、收敛数列的性质即及则有1.收敛数列的极限唯一.若2.收敛数列一定有界.即:

若则有收敛数列必有界.推论：无界数列必发散说明:

此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列26定义：对于数列保持原数列的次序，依次抽取组成新的数列称为原数列的子列。性质3：收敛数列的任何子列均收敛，且收敛同一极限。说明数列是发散的。性质4.保号性定理如果且27四、数列存在的单调有界准则(证明略)单调有界数列必有极限28的极限存在，并求此极限。证：设又所以单调有界数列必有极限。设例

求证数列设单调增加，29练习：求的极限存在，并求出此极限。证：设又所以单调有界数列必有极限.设设设则有显然单调增加，30数列极限的精确定义axnn=¥®lim，

当n无限增大时,xn无限接近于a.

当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.

当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.

当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.或31如何用数学语言刻划它.可以要多么小就多么小,则要看?“无限接近”意味着什么?只要n充分大,小到什么要求.当n无限增大时,无限接近于1.3233只要n无限增大，xn

就会与1无限靠近。引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。注：就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.34定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,

使得对于时的一切不等式成立.

收敛于a或称数列记为或那末就称常数a是数列的极限(limit),如果数列没有极限,就说数列发散(diverge).定义35数列极限的几何意义数列极限的定义通常是用来进行推理注需要预先知道极限值是多少.和证明极限,而不是用来求极限,因为这里数列的极限即,),(内都落在所有的点ee+-aaxn36OK!N找到了！！n>N目的：●●●●●●●●●数列极限的演示37N数列极限的演示e越来越小，N越来越大！38例1所以,证

虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题时,对于给定的总暂时认为它是固定的,按照这个找出使不等式成立的N.

解不等式39

练习

用定义证明证明对于任意给定的要使

只要取自然数

则当时，有,所以注：就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.解不等式40例2证为了使只需使数列的极限41注{xn}有没有极限,一般地说,但是一旦给出之后,它就是确定了;主要看“后面”的无穷多项.定义

采用逻辑符号将的定义可缩写为:(1)(2)(3)(4)“前面”的有限项不起作用,;的无限接近与刻划了不等式axaxnne<-;,将越大越小Ne42刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.

的方法:43柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学

校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,函数与极限44函数极限的性质函数在无穷远点的极限函数在一点的极限第二节函数的极限

对于数列,即整标函数其自变量的变化只有一种情形.而对于一般函数来说,有:45一、函数在无穷远点(infinitepoint)的极限以下分别用记号x趋向于负无穷大x趋向于无穷大函数的极限x趋向于正无穷大46定义1.

设函数在当时有定义,则称常数A是函数f(x)当x趋向于无穷大时的极限，记作时,有若当或也称当时,f(x)收敛于A。直线y=A

为曲线的水平渐近线.

类似定义47如果在x的某种趋向下,并不无限接近一个常数,则称:在x的该种趋向下例当|x|无限增大时,都不无限接近一个常数,因此都不存在.函数的极限不存在.48例1.

注:49例如：50解显然有可见和虽然都存在,但它们不相等.故不存在.例讨论极限是否存在?函数的极限Axfx=-¥®)(lim51定义2.

设函数在点的某去心邻域内有定义,则称常数A是函数f(x)当x趋向于x0时的极限，记作时,有若当或也称当时,f(x)收敛于A。二、函数在一点(one-point)的极限几何解释:因果因果例12o52o52o511157例2.

观察分析1-10xy1定理1：如果y=f(x)

是基本初等函数，x0是其定义域内一点，则58例如59左、右极限(单侧极限)例如,函数的极限两种情况分别讨论!60同理得到右极限

:定义：如果从左边趋于时，无限接近于A,称时，的左极限是A,记作61注且此性质常用于判断分段函数当x趋近于分段点时的极限.极限存在的充分必要条件：总结一下x的趋向一共有六种:

62左、右极限存在,证故极限不存在.例3函数的极限但不相等,讨论的存在性.63例4.

设函数讨论时的极限是否存在.解:因为显然所以不存在.64解:例5.

求例6.

设函数且存在,求a.解:65讨论函数：在处的极限；所以不存在.66

函数极限与数列极限相比,有类似的性质,定理1(极限的唯一性)有极限,若在自变量的某种变化趋势下,则极限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有极限,则f(x)在上有界;f(x)有极限,且证明方法也类似.三、函数极限的性质67定理3(局部保号性)68定理4.（海涅定理：函数极限与数列极限的关系）有定义且有说明:

此定理常用于判断函数极限不存在.法1

找一个数列不存在.法2

找两个趋于的不同数列及使69例.

证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.函数与极限70无穷小(infinitelysmall)无穷大(infinitelygreat)无穷小与无穷大的关系第三节无穷小与无穷大71当定义1.

若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小(无穷小量）

.时为无穷小.1.定义一、无穷小72例:

无穷小是指函数变化的趋势.在某个过程中1)无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;2)零是可以作为无穷小的唯一的数.注“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的.“无限制变小的量”732.无穷小与函数极限的关系定理1例74在同一过程中,有限个无穷小的代数和定理2仍是无穷小.3.无穷小的运算性质

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.注不是无穷小.无穷小与无穷大75

在同一过程中,有极限的变量与无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小.推论1的乘积是无穷小;推论2推论3无穷小与无穷大定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.76二、无穷大在某一极限过程中函数值的绝对值无限增大的变量称为无穷大.如,是无穷大;是无穷大.无穷小与无穷大记作特殊情形:正无穷大,负无穷大．77∗两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;∗有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;∗有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之积仍为无穷大;容易证明例解无穷小与无穷大78(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;无穷大一定是无界函数,注(3)无穷大与无界函数的区别:它们是两个不同的概念.未必是某个过程的无穷大.但是无界函数无穷小与无穷大79例如,

验证函数但不是无穷大!0无界，但当不是无穷大.证：因此无界，80例.

直线为曲线的铅直渐近线

.铅直渐近线说明:一般地,若则直线为曲线的铅直渐近线

.81例1.

求解:

利用定理2可知说明:

y=0是的水平渐近线.例2.

求同上题，解:

82定理2.（无穷小与无穷大的关系）若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.在自变量的同一变化过程中,说明:三、无穷小与无穷大的关系函数与极限83极限运算法则求极限方法举例第四节极限运算法则84定理1证(1)无穷小与函数极限的关系一、极限运算法则极限运算法则85即常数因子可以提到极限符号外面.由无穷小运算法则,得(2)的特例是][][ba+±+BA+±=][BA][ba±=±\)]()(lim[xgxf极限运算法则86定理2那末如果极限运算法则87

注意应用四则运算法则时,要注意条件:

参加运算的是有限个函数,它们的极限都商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算,因为不是数,它是表示函数的一种性态.存在,极限运算法则88解:例1.二、求极限方法举例极限运算法则89

小结则有则有极限运算法则f(x)称为n次多项式.90解:商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,例2.得极限运算法则91解:例3

消去零因子法再求极限.

方法分子,分母的极限都是零.

先约去不为零的无穷小因子极限运算法则92小结93

x=3时分母为0!练习解:

x=1时分母=0,分子≠0,94例4解:无穷小因子析出法分子,分母的极限均为无穷大.

方法先用去除分子分母,分出无穷小,再求极限.先将分子、分母同除以x

的最高次幂,无穷小分出法以分出再求极限.求有理函数当的极限时,无穷小,极限运算法则95例5

.

求解:

分子分母同除以则“抓大头”原式96

小结例6解:极限运算法则97解:

分子分母同除以原式例7.

求98例8：求下列函数的极限（分子有理化）221lim.2nnn+++¥®L()11lim.122--+¥®xxx14916)1()32(lim.3715510-+-+¥®xxxxx99二、复合函数的极限运算法则定理5.

对于复合函数如果时,且则有100解:

令已知∴原式=例9.

求101例10.

求解:

可以把看成是由复合而成.因此由于102例11

设具有极限l,试求a和l.解因为

故必有

于是有4–

a=0,即a=4,将a=4代回原极限式,有解得l=10.103练习.试确定

a,b.解：此题分母的极限为0，当时，可见分子的极限一定为0，则有104例12.

设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故练习.若均为常数,则

,

.解：105106试确定常数解:令则使即0)1(lim33=--¥®xaxx例13.107内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”4)有根式的可以考虑根式有理化5)变量代换法也可求极限1081.

求解:

原式练习1092.解:(无穷小因子分出法)110解：原式3.

求1114.解先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.使和式的项数固定,原式=不能用运算法则.

方法极限运算法则1125.求解法1原式=解法2令则原式=极限运算法则1136.解:“根式转移”法化为型不满足每一项极限都存在的条件,不能直接应用四则运算法则.

分子有理化1147.解:原式=

这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法.极限运算法则故1158.试确定

a,b.解：此题分母的极限为0，当时，可见分子的极限一定为0，则有1161.解:练习1172.解:(消去零因子法)1183.解:

求故119解:原式=解:原式=极限运算法则1206.求解:

方法1则令∴原式方法2极限运算法则1217.解:先变形再求极限.122极限存在准则两个重要极限第五节极限存在准则

两个重要极限1231.夹逼准则准则Ⅰ满足下列条件:一、极限存在准则极限存在准则两个重要极限如果数列那么数列的极限存在,且}{}{},{nnnzyx及注意:124例1.利用夹逼准则证明证明:满足由定义知利用夹逼准则得极限存在准则两个重要极限设125例2.

证明证:

利用夹逼准则.且由极限存在准则两个重要极限126练习.解:由夹逼定理得极限存在准则两个重要极限127称为准则Ⅰ’如果那么存在,且等于A.极限存在准则两个重要极限夹逼准则.有准则Ⅰ’准则Ⅰ和128

注利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,将复杂的函数f(x)做适当的放大和缩小化简,找出有共同极限值又容易求极限的函数g(x)和h(x)即可.极限存在准则两个重要极限129(1)作为准则Ⅰ'

的应用极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限130即夹逼定理该极限的特点:极限存在准则两个重要极限131?极限存在准则两个重要极限

一般有问

正确=sinlim1132例1.

注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：说明:

计算中注意利用极限存在准则两个重要极限133解:

例2.

求极限存在准则两个重要极限例3.求解:令则因此原式134例4.

求解:

原式=

例5.

解:极限存在准则两个重要极限1351.2.极限存在准则两个重要极限3.练习136例6.求

例7.求例7：于是解：例6：极限存在准则两个重要极限137练习解极限存在准则两个重要极限138求解：

练习139中的底就是这个常数即指数函数以及自然对数极限存在准则两个重要极限重要极限2.140该极限的特点:(3)

括号中1后的变量(包括符号)与指数互为倒数.一般有(2)底为两项之和，第一项为1，第二项是无穷小量;141例1.

求解:令则说明：若利用则原式时，极限存在准则两个重要极限142注意：解：原式＝练习2.解:练习1.143例2.

求解:

原式=144幂指函数一般的,对于形如的函数(通常称为幂指函数),如果那么注:

lim表示在同一自变量变化过程中的极限.145解一解二例3.

求146练习.解:

147解:

I=例4.

求极限148例5.

求解:

原式=极限存在准则两个重要极限例6.

已知求

C.解:

原式=149例例例例极限存在准则两个重要极限1502、两个重要极限或注:

代表相同的表达式内容小结1、数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则151思考与练习1.填空题

(1～4)2.选择题D152A极限存在准则两个重要极限153解或1546.解或155思考题1.求极限2.求极限极限存在准则两个重要极限3.求极限4.求极限5.求极限156思考题解答2.原式=极限存在准则两个重要极限1573.4.解:原式=1585.

求解：函数与极限159无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限第六节无穷小的比较160如,不可比.观察各极限是无穷小.一、无穷小的比较无穷小的比较不存在.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.161定义.若则称

是比

高阶的无穷小,若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

是

的同阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作162如高阶无穷小,同阶无穷小.因为二阶无穷小.无穷小的比较

k

阶无穷小.163例如

,

当～时～～～又如164例1.

证明:证:因此即有等价关系:说明:

上述证明过程也给出了等价关系:165例2.

证明:当时,～证明:～166例2.

证明:当时,～证明:～167常用等价无穷小无穷小的比较注上述11个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握168例无穷小的比较169定理1证(等价无穷小替换定理)无穷小的比较二、利用等价无穷小替换求极限170意义

求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代例如,171例1.解:不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能随便替换.注意172例2.解解:错无穷小的比较173例3.

求解:解:例4.

求174练习1755.

求解：176解:原式=6.177第七节函数的连续性与间断函数的连续(continuity)初等函数的连续性函数的间断点闭区间上连续函数的性质1781.函数的增量自变量称差为自变量在的增量;函数随着从称差为函数的增量.如图:一、函数的连续性

函数的连续性与间断点179连续,2.连续的定义定义1设函数f(x)在内有定义,若则称函数f(x)在x0处并称x0为函数f(x)的连续点.

自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征.采用了无穷小定义法

函数的连续性与间断点180例证都是连续的.类似可证,是连续的.即

函数的连续性与间断点181定义2若则称函数f(x)在x0处连续.

把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值.

函数的连续性与间断点连续性f(x)在处有定义;(1)(2)(3)三个要素:存在;182例证定义2试证函数处连续.

函数的连续性与间断点1833.左、右连续左连续(continuityfromthe右连续(continuityfromtheleft);right).左连续右连续

函数的连续性与间断点184定理1此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.

函数的连续性与间断点左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:185例1.解：不右连续.所以左连续,

函数的连续性与间断点186

练习解：右连续但不左连续,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.187例2.解：

函数的连续性与间断点188练习设解因为所以必需且只需即必需且只需即

函数的连续性与间断点1894.连续函数(continousfunction)与连续区间上的或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数,称该区间在开区间右连续左端点右端点这时也称该区间为左连续连续函数,连续区间.内连续

函数的连续性与间断点表示在区间(a,b)上连续函数的全体.190三角函数及反三角函数(1)(2)(3)是连续的;二、初等函数的连续性单调且连续;指数函数对数函数单调且连续;(4)幂函数连续;在它们的定义域内连续函数的运算与初等函数的连续性191定义区间是指包含在定义域内的区间.基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续1.初等函数仅在其定义区间内连续,注在其定义域内不一定连续;连续函数的运算与初等函数的连续性192例1.解:2.初等函数求极限的方法注:

代入法.连续函数的运算与初等函数的连续性193例2.

求的连续区间，并求解:因为所给函数是初等函数，其连续区间就是定义域：又因为是定义域中的一点,连续函数的运算与初等函数的连续性194例3.求极限解：例4.

求极限解：连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数符号f

和极限号可以交换次序。195定义4出现如下三种情形之一:三、函数的间断点及其分类无定义;不存在;间断点.

函数的连续性与间断点设在点的某去心邻域内有定义,196197198199间断点分为两类:第二类间断点(discontinuitypointofthesecondkind):第一类间断点(discontinuitypointofthefirstkind):及均存在,及中至少一个不存在.若称为可去间断点.若称为跳跃间断点.若其中有一个为振荡,若其中有一个为称为无穷间断点.称为振荡间断点.

函数的连续性与间断点200例1.由于函数无定义,故为f(x)的间断点.且皆不存在.第二类第二类间断点:至少有且是无穷间断点.一个不存在.

函数的连续性与间断点201例2.有定义,不存在,故为f(x)的间断点.第二类且是振荡间断点.之间来回无穷次振荡,

函数的连续性与间断点202例3.有定义,故为f(x)的间断点.第一类的第一类间断点.则点x0为函数f(x)的且是跳跃间断点.跳跃间断点(Jumpdiscontinuity).及均存在,则点x0为

函数的连续性与间断点203

函数的连续性与间断点例4.讨论函数解：为函数的间断点.第一类

且是可去间断点(removablediscontinuity).连续.处无定义,可去间断点.处在1=x204则可使x0变为连续点.注对可去间断点x0,如果于A,

(这就是为什么将这种间断点称为使之等可去间断点的理由.)补充x0的函数值,或改变

函数的连续性与间断点205如补充定义:如但

函数的连续性与间断点206间断点的类型.解:

间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.例5.

确定函数

函数的连续性与间断点207x=2是第二类无穷间断点.答案:x=1是第一类可去间断点,练习.

解:为间断点,讨论函数间断点的类型及连续区间.连续区间：

函数的连续性与间断点208为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:209显然为其可去间断