微积分 （经济管理）第3版 课件 第4章 微分中值定理与导数的应用

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第四章微分中值定理与导数的应用

因为导数是函数随自变量变化的瞬时变

所以可借助导数来研究函数.

但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新的“桥梁”.中值定理(meanvaluetheorem)化率,2Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理第一节微分中值定理3定义极大值(或极小值),

函数的极大值与极小值统称为极值.极值点.一、Fermat引理函数极值的定义使函数取得极值的点x0(自变量)称为4

函数的极大值、极小值

是局部性的.

在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大于某个极大值.只是一点附近的5函数极限局部保号性6Fermat引理如果函数可导,处取得极值,那么.0)(0=¢xf

费马Fermat,(法)1601-1665称为驻点)证:

设则证毕.7费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的Fermat大定理:Fermat大定理1994年得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.微分中值定理8Rolle定理(1)(2)(3)罗尔Rolle,(法)1652-1719使得二、罗尔(Rolle)定理微分中值定理证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=m,则因此9如,微分中值定理若M>m,则M

和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使则由费马引理得Rolle定理(1)(2)(3)使得10(1)定理条件不全具备,注微分中值定理结论不一定成立.Rolle定理(1)(2)(3)使得]1,0[,)(Î=xxxf11例1证(1)(2)定理的假设条件满足结论正确验证Rolle定理的正确性.Rolle定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.,)2,1(内可导在-微分中值定理12例2证

零点定理即为方程的小于1的正实根.(1)

存在性微分中值定理13(2)

唯一性满足Rolle定理的条件.矛盾,故假设不真!14例3试证方程分析注意到:微分中值定理15证设且

Rolle定理即试证方程微分中值定理16注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813

拉格朗日中值定理(1)(2)使得微分中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba17几何解释:微分中值定理思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕18作辅助函数Lagrange中值公式微分中值定理证分析:弦AB方程为19它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数微分中值定理20例4证

如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.记利用微分中值定理,得微分中值定理21Lagrange公式可以写成下面的各种形式:

它表达了函数增量和某点的注但是增量、这是十分方便的.由(3)式看出,导数之间的直接关系.导数是个等式关系.Lagrange中值定理又称Lagrange中值公式又称有限增量公式.有限增量定理.微分中值定理22推论证有由条件,即在区间I中任意两点的函数值都相等,所以,Lagrange中值定理(1)(2)使得;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba23例5证由推论自证说明欲证只需证在上且使,)(0Cxf=,0)(º¢xf微分中值定理24例6证由上式得设由

关键

满足拉氏定理的条件,微分中值定理25柯西Cauchy(法)1789-1859Chauchy中值定理(1)(2)使得微分中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理广义微分中值定理26柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,微分中值定理27柯西定理的几何意义:弦的斜率切线斜率注：柯西定理变为拉格朗日中值定理.28例7证分析结论可变形为即微分中值定理满足柯西中值定理29罗尔定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理

罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:推广推广

这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.而成立;不成立.微分中值定理定理也可能30四、小结微分中值定理

常利用逆向思维,构造辅助函数注意利用Lagrange中值定理证明不等式的步骤.三个微分中值定理成立的条件;各微分中值定理的关系;

证明存在某点,使得函数在该点的导数满足一个方程.运用罗尔定理.Lagrange中值定理的各种形式,其关系;311.

微分中值定理的条件、结论及关系Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:

利用逆向思维设辅助函数Fermat引理微分中值定理32思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足Lagrange定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程微分中值定理提示：最多有三个实根，由Rolle定理可得，33343.

设且在内可导,证明至少存在一点使由结论可知,只需证即微分中值定理分析证:设辅助函数在上连续，在内可导，且显然

由罗尔定理得,至少存在一点使故原结论成立。354.

设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点问题转化为证分析?0)(2)(=+¢xxxff练习设在上连续,在内可导,且证明存在一点使证明:

令且即由已知条件知

在上连续,在内可导，故由罗尔定理知,使3637

分析微分中值定理且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf5.38证即微分中值定理且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf).,(,0)(,0)()(baxxfbfafι==定理由Rolle39例1.

若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足Rolle定理条件.微分中值定理40例3分析将结论交叉相乘得辅助函数F(x)微分中值定理)()()()()()(),,(xxxxxgfbggfafba¢¢=--Î$使得)()()()()()()()(bgfgfgfgafxxxxxx¢-¢=¢-¢0)()()()()()()()(=¢+¢-¢-¢bgfgfgfgafxxxxxx0)]()()()()()()()([=¢+¢-¢-¢=xxbgxfxgxfxgxfxgaf41证设辅助函数因此F(x)满足Rolle定理的条件.微分中值定理)()()(xgafxF¢=¢)()(bgxf¢+)()(xgxf¢-)()(xgxf¢-42即得证毕.微分中值定理)()()(xgafxF¢=¢)()(bgxf¢+)()(xgxf¢-)()(xgxf¢-)()()()()()(xxxxxgfgfgaf¢-¢-¢0)()(=¢+bgfx43求证存在使4.

设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足Rolle定理条件,即设辅助函数使得微分中值定理44设

证明对任意有证：5.不妨设微分中值定理45例6证Lagrange定理46第二节L’Hospital法则洛必达(L‘Hospital)法国数学家(1661-1705)47其极限都不能直接利用极限运算在第一章中看到,无穷大之商,法则来求.那末极限定义型未定式.或如,

意味着关于它的极限不能确定出一般的

未定不能确定.而并不是在确定的情况下关于它的极限结论,两个无穷小之商或两个两个函数f(x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大,洛必达法则48

未定式举例

下列极限都是未定式

(0

型)(00型)(1

型)(

0型)(

型)(型)(型)洛必达法则49定理1洛必达法则50证可补充定义;],[)1上连续在xa),()(),()2(处除外点的邻域内可导在点aaxFxf51

Cauchy定理洛必达法则52说明:

定理中换为之一,定理仍然成立.洛必达法则53注…(多次用法则)再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达（L’Hospital）法则.这种在一定条件下通过分子分母分别求导洛必达法则54例1解洛必达法则55例2

求解:原式注意:不是未定式不能用L’Hospital法则!洛必达法则56用洛必达法则应注意的事项只要是则可一直用下去;(3)每用完一次法则,要将式子整理化简;(4)为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用.(2)在用法则之前,式子是否能先化简;洛必达法则57例3解洛必达法则581.解2.解洛必达法则练习59

解

3.

洛必达法则60例4解注例5解n次洛必达法则61注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好.例6解洛必达法则62练习解先把此定式因式分离出来洛必达法则63例解极限不存在洛必达法则失效.

L’Hospital法则的使用条件.注用法则求极限有两方面的局限性

当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在,其一,这时不能使用洛必达法则.?洛必达法则64可能永远得不到结果!分子，分母有单项无理式时,不能简化.如其实:其二用法则求极限有两方面的局限性洛必达法则65步骤:关键或将其它类型未定式化为L’Hospital法则可解决的类型洛必达法则例1解“取倒数”66例2解步骤:洛必达法则“通分”67解:

原式求练习洛必达法则68例3解三、型未定式洛必达法则69例4解洛必达法则70例5解71例6解数列的极限转化为函数的未定式的极限!由于是中的一种特殊情况,所以有不能用洛必达法则洛必达法则72令则原式=解:(用L’Hopital法则)(继续用L’Hopital法则)洛必达法则练习73洛必达法则练习解

法一

用三次洛必达法则可求得.

法二xxeexxxsinlimsin0--®求极限xxeexxxxsin1limsinsin0--=-®原式xxexxxsin1limsin0---®exxlimsin0=®．111==．7475例7解76例8.解77四、小结一、二、三、注意但求某些未定式极限不要单一使用洛必达应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法,

可使问题大大简化.各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用的工具,法则,

三大类未定式洛必达法则78(1)存在极限为非零的因子,可根据积的极限运算法则先求出其极限.洛必达法则(2)凡乘积或商的非零无穷小因式,

可先用简单形式的等价无穷小替换.

务必记住常用的等价无穷小.791.求极限.型解

原式8081解：原式＝82例

求分析:

为用L’Hospital法则,必须改求法1

用L’Hospital法则但对本题用此法计算很繁!法2～原式洛必达法则83解：原式＝注：未定式只有化为才能应用洛必达法则！练习84思考与练习1.设是未定式极限,如果是否的极限也不存在?举例说明.极限不存在,原式分析:853.求解:洛必达法则86则4.求解:

令原式洛必达法则87解:

令5.

求极限则所以所以88洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出洛必达法则89思考题问上述做法是否正确?洛必达法则几个初等函数的Maclaurin公式

泰勒(Taylor)（英）1685-1731其它应用第四节

Taylor公式Taylor公式的建立90多项式逼近泰勒公式91需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?问题(1)

系数怎么定?(2)

误差(如何估计)表达式是什么?不足1.精确度不高；2.误差不能定量的估计.希望一次多项式泰勒公式用适当的高次多项式nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L)(xf»92得假设同理代入中得nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L泰勒公式93称为f(x)的Taylor多项式来逼近并估计它的误差.

函数Taylor多项式.泰勒公式94泰勒(Taylor)中值定理其中余项2.泰勒(Taylor)中值定理多项式

(residual),)1(),()()(0阶导数内有在若+Înbaxxf,),(时则当baxÎ次的一个可表为nxxxf)()(0-:)(之和与一个余项xRn泰勒公式95Lagrange型余项带有Lagrange型余项.次近似多项式n96Peano型余项当对余项要求不高时,带有Peano型余项可用Peano型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.(意),),(时若baxÎMxfn<+|)(|)1(97例.按(x-4)的幂展开多项式由泰勒公式得解：设则98解

99注1.泰勒公式就是Lagrange中值公式.2.在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点)展开的Taylor公式称为:n阶Taylor公式麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式泰勒公式100麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式误差估计式为带有Lagrange型余项带有Peano型余项泰勒公式101解代入上公式,得于是有的近似表达公式三、几个初等函数的麦克劳林公式例1麦克劳林公式.麦克劳林(Maclaurin)公式102解例2因为所以泰勒公式103泰勒多项式逼近6422464224O104泰勒多项式逼近642246O4224105类似地,有泰勒公式106

常用函数的Maclaurin公式要熟记!泰勒公式107泰勒公式108例3

解用间接展开的方法较简便.两端同乘x,得泰勒公式109在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点；2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带佩亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．总结：110下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.例1

求解

因为111本题虽然可用洛必达法则来求,但上面的方法比所以较简单.112例2.

计算113解:114例4解115思考题解答思考题利用泰勒公式求极限116117函数单调性的判别法单调区间求法第四节函数的单调性与曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法118f

(x)>0f

(x)<0

观察结果

函数单调增加时导数大于零

函数单调减少时导数小于零

观察与思考

函数的单调性与导数的符号有什么关系？一、函数单调性的判定法119

定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上单调减少

此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注120

因为在(

0)内y

<0

所以函数

y

ex

x

1在(

0]上单调减少

因为在(0

)内y

>0

所以函数

y

ex

x

1在[0

)上单调增加

解

函数y

ex

x

1的定义域为(

)

y

ex

1

例1

讨论函数

y

ex

x

1的单调性

定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上单调减少

121

解

函数的定义域为(

)

所以函数在[0

)上单调增加

因为x>0时

y

>0

所以函数在(

0]上单调减少

因为x<0时

y

<0

例2

定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上单调减少

122方法问题函数在定义区间上不是单调的,定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的临界点．二、单调区间求法但在各个部分区间上单调．则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间函数的单调性与曲线的凹凸性123

(1)确定函数的定义域

(2)求出导数f

(x)

(3)求出f

(x)全部零点和不可导点

(4)判断或列表判断

(5)综合结论

确定函数单调区间的步骤函数的单调性与曲线的凹凸性124xf

(x)f

(x)

例3

确定函数f(x)

2x3

9x2

12x

3的单调区间

解

这个函数的定义域为(

)

f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)

导数为零的点为x1

1、x2

2

列表分析

函数f(x)在区间(

1]和[2

)上单调增加

在区间[1

2]上单调减少

(

1)

(1

2)

(2

)

y

2x3

9x2

12x

3函数的单调性与曲线的凹凸性125xy

y

解

这个函数的定义域为(

)

函数f(x)在区间(

0]和[1

)上单调减少

在区间[0

1]上单调增加

(

0)

(0

1)

(1

)

↗

↘

例4

确定函数

的单调区间

驻点x=1,不可导点x=0,↘－－＋函数的单调性与曲线的凹凸性126导函数只在区间内可数个点处导数值为零,而其余点处导数值均为正（或负），如,注不影响区间的单调性.单调增加.又如,内可导,且等号只在处成立,故内单调增加.函数的单调性与曲线的凹凸性127单调增加

证明

例5

证明:当时,于是即因此函数的单调性与曲线的凹凸性128*证明令则从而即129利用单调性证明不等式的步骤：①将要证的不等式作恒等变形（通常是移项,去分母）使一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x)；②求验证f(x)在指定区间上的单调性③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证130练习证函数的单调性与曲线的凹凸性131例6证

定不出符号函数的单调性与曲线的凹凸性132函数的单调性与曲线的凹凸性133例7证明方程在区间内有且只有一个实根.证设

零点定理即方程在(-1,0)内有一个实根.又因为则连续，所以f(x)在内单调增加，因此f(x)至多只有一个零点，即方程在区间内有且只有一个实根.134练习证明方程在区间内有且只有一个实根.证设

零点定理即方程在(0,1)内有一个实根.又因为则连续，所以f(x)在内单调减少，因此f(x)在(0,1)至多只有一个零点，即方程在区间内有且只有一个实根.135问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所在弦的上方图形上任意弧段位于所在弦的下方(concaveandconvex)三、曲线凹凸性的判别法函数的单调性与曲线的凹凸性136定义1恒有凹(凸)图形上任意弧段位于所在弦的下方图形上任意弧段位于所在弦的上方函数的单调性与曲线的凹凸性设函数f(x)在[a

b]上连续

137观察与思考:

f(x)的图形的凹凸性与f

(x)的单调性的关系.

1)f(x)的图形是凹的

2)f(x)的图形是凸的

f

(x)单调增加;

f

(x)单调减少.

定理2(曲线凹凸性的判定法)

设f(x)在[a

b]上连续

在(a

b)内具有二阶导数.

若在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上的图形是凹的

若在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上的图形是凸的

二阶导数判别图形凸向的脸谱记忆法++139例1解注

凸变凹的分界点.函数的单调性与曲线的凹凸性1401.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.函数的单调性与曲线的凹凸性四、曲线的拐点及其求法(inflectionpoint)拐点1412.拐点的求法

拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件具有二阶导数,则点是拐点的必要条件为函数的单调性与曲线的凹凸性例2.

判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.142说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,且在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,拐点的第一充分条件(1)(2)(或x0为二阶导数不存在的点)143例3解拐点拐点不存在定义域为(1)(2)(3)列表函数的单调性与曲线的凹凸性

在区间(

2]和[3

)上曲线是凸的;

在区间[2

3]上曲线是凹的

点(3

4)和(2

20/9)是曲线的拐点

144

例4

求曲线y

3x4

4x3

1的拐点及凹、凸的区间

解

(1)函数y

3x4

4x3

1的定义域为(

)

(4)列表判断

在区间(

0]和[2/3

)上曲线是凹的;

在区间[0

2/3]上曲线是凸的

点(0

1)和(2/3

11/27)是曲线的拐点

(0)0(02/3)2/3(2/3

)＋－＋00111/27

y

(x)

y(x)

x只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f

(x)异号,则(x0,

f(x0))是拐点.

函数的单调性与曲线的凹凸性145例5解函数的单调性与曲线的凹凸性146例6.试确定函数中的,使得

为函数的驻点,点为函数的拐点,并求出拐点.解：即，必有，

从而函数为，的拐点为.而.故曲线

由于点为拐点，必有又为驻点，即147函数的单调性与曲线的凹凸性五、小结

单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.单调性的应用:改变弯曲方向的点:凹凸性;拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲方向:凹凸性的应用:利用凹凸性证明不等式.148练习

证明证:

设,则故在[0，+∞)上单调增加,从而即证法二149150151解(1)定义域为(2)(3)(4)列表求曲线的凹凸区间及拐点.在区间上是凸的，在区间上是凹的，为拐点.练习

152函数的极值及其求法最大值最小值问题第五节函数的极值与最大值最小值(extremevalue)153定义极大值(或极小值),

函数的极大值与极小值统称为极值.极值点.极小值(minimalvalue)极大值(maximalvalue)函数的极值与最大值最大值一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义使函数取得极值的点x0(自变量)称为154函数的极值与最大值最大值

函数的极大值、极小值

是局部性的.

在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大于某个极大值.只是一点附近的155定理1(必要条件)注如,(1)驻点.可导函数的极值点驻点却不一定是极值点.但函数的2.

极值的必要条件必是驻点,Fermat引理如果函数可导,处取得极值,那么回忆极值,.0)(0=¢xf156极值点也可能是导数不存在的点.如,但

怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点单减的分界点,(2)不可导.是极小值点.是不是极值点若x0是连续函数f(x)单增、则x0必为极值点.几何上,?函数的极值与最大值最大值157定理2(第一充分条件)则为极大值则不是极值.(极小值);极值的一阶充分条件3.

极值的充分条件.),(0o0内可导的某去心邻域dxUx158一般求极值的步骤:求导数;

求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号,判别增减性;求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点函数的极值与最大值最大值159例1解(1)(2)驻点:导数不存在的点:(3)列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,确定极值点和极值.函数的极值与最大值最大值160非极值极小值不存在极大值驻点:导数不存在的点:单调增加区间:单调减少区间:函数的极值与最大值最大值161练习.

求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得导数不存在的点3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为162定理3(第二充分条件)证极大值(极小值).极值的二阶充分条件因此,当充分小时,由极限的保号性可见,与异号.所以,第一充分条件

对于驻点,有时还可以利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点.自己证极小值情形.函数的极值与最大值最大值163例2解因为,函数的极值与最大值最大值164注仍用第一充分条件函数的极值与最大值最大值定理3(第二充分条件)不能应用.事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.如,分别属于上述三种情况.165例3.

求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.166充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值.

运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时,则可用第一(1)(2)则函数的极值与最大值最大值167函数的极值与最大值最大值二、最大值最小值问题1.最值的求法168(1)其中最大(小)者

求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值的方法:函数的极值与最大值最大值将闭区间[a,b]内所有驻点和导数不存在的区间端点的就是f(x)最值必在端(2)点处达到.点(即为极值嫌疑点)处的函数值和函数值

f(a),f(b)比较,在闭区间[a,b]上的最大(小)值.

当f(x)在闭区间[a,b]上单调时,169例4解因驻点:导数不存在的点:函数的极值与最大值最大值170仅需计算:比较得:因是偶函数,最大值为最小值为驻点:导数不存在的点:函数的极值与最大值最大值171由于所给函数为[–1,2]上的连续函数.解：练习172(3)(4)函数的极值与最大值最大值

若连续函数f(x)在区间I内只有一个极值点为极大(小)值,区间I上的最大(小)值.

对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最大(小)值.173实际问题求最值应注意函数的极值与最大值最大值(1)

建立目标函数;(2)求最值;若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最大(小)值.174例5.解如图,函数的极值与最大值最大值175解得唯一驻点令因这样的面积有最大值,为所求.为所有三角形中面积的最大值.函数的极值与最大值最大值1761.

要造一个容积为V0的带盖圆柱形桶,问桶的半径r和桶高h如何确定,才能使所用材料最省?解:

先建立函数关系,表面积A=2

r2+2rh

又

r2h=V0,所以得驻点显然故r0为极小值点,又在(0,+

)内极小值点唯一,此极小值就是最小值.177(k为某常数)2.

铁路上AB

段的距离为100km,工厂C

距A

处20AC⊥

AB,要在AB

线上选定一点D

向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运为使货物从B运到工

20解:

设则令得又所以为唯一的极小值点,故AD=15km时运费最省.总运费厂C的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?km,公路,价之比为3:5,178三、小结极大值可能小于极小值,函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得.极值的判别法第一充分条件;(合适选择好用极值:局部性概念;极小值可能大于极大值.极值与最值的区别最值:整体性概念.实际问题求最值的步骤.第二充分条件,哪个充分条件可简化计算、注意使用条件).函数的极值与最大值最大值179思考与练习1.

设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性.函数的极值与最大值最大值1802.

设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:

利用极限的保号性.函数的极值与最大值最大值181练习解驻点:导数不存在的点:最大值最小值最大值与最小值.函数的极值与最大值最大值第七节一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘函数图形的描绘

第三章182点M

与某一直线L的距离趋于0,一、曲线的渐近线定义.

若曲线

C上的点M

沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线

.例如,双曲线有渐近线1831.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有铅直渐近线例1.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为铅直渐近线.1842.斜渐近线斜渐近线若185例2.

求曲线的渐近线.解: