2025年中考数学总复习《锐角三角函数》考试黑钻押题附参考答案详解【能力提升】

中考数学总复习《锐角三角函数》考试黑钻押题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的正弦值是（）A．2 B． C． D．2、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为α的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为8m，那么这两棵树在坡面上的距离AB为（）A．8m B．m C．8sinam D．m3、如图，在中，，点P为AC上一点，且，，则的值为（）A．3 B．2 C． D．4、如图，若的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（）A． B． C． D．5、如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（）

A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、______．2、如图，已知扇形OAB的半径为6，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝45°，则MN＝_____．3、如图，中，，D为边上一动点（不与B，C重合），和的垂直平分线交于点E，连接、、和、与的交点记为点F．下列说法中，①；②；③；④当时，，正确的是__________（填所有正确选项的序号）4、如图,小明沿着坡度的坡面由到直行走了13米时,他上升的高度_______米．5、在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：_____．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，内接于，AD平分交BC边于点E，交于点D，过点A作于点F，设的半径为3，．（1）过点D作直线MN//BC，求证：是的切线；（2）求的值；（3）设，求的值（用含的代数式表示）．2、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为yM，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，0）为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足MN，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．3、（1）计算：．（2）如图，在菱形ABCD中，于点E，，，求菱形的边长．4、计算：．5、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值．6、-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据网格的特点，勾股定理求得的长，进而根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，进而根据正弦的定义求解即可【详解】解：是直角三角形，且是斜边故选C【点睛】本题考查了网格中勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，正弦的定义，证明是直角三角形是解题的关键．2、B【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB．【详解】解：∵坡角为α，相邻两树之间的水平距离为8米，∴两树在坡面上的距离（米）．故选：B．【点睛】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．3、A【分析】过点P作PD∥AB交BC于点D，因为，且，则tan∠PBD=tan45°=1，得出PB=PD，再有，进而得出tan∠APB的值．【详解】解：如图，过点作交于点，∴，∴,∵，且，∴PBD=45°，∴，∴，又∵，∴，∴．故选A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．4、B【分析】如图连结OA，OB，OG，根据六边形ABCDEF为圆外切正六边形，得出∠AOB=60°△AOB为等边三角形，根据点G为切点，可得OG⊥AB，可得OG平分∠AOB，得出∠AOC=，根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：如图连结OA，OB，OG，∵六边形ABCDEF为圆外切正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，△AOB为等边三角形，∵点G为切点，∴OG⊥AB，∴OG平分∠AOB，∴∠AOC=，∴cos30°=，∴．故选择B．【点睛】本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键．5、B【分析】利用，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解可得tan∠ACD=，从而可得答案.【详解】解：如图，∵，∴∠BAC=∠DCA．∵同圆的半径相等，∴AC=AB=3，而在Rt△ACD中，tan∠ACD=．∴tan∠BAC=tan∠ACD=．故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．二、填空题1、##0.75【解析】【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．2、3【解析】【分析】根据题意作辅助线，构建三角形相似，先证明△DMC∽△DNO，得DMDC=DNDO，由夹角是公共角得：△DMN∽△DCO，得【详解】解：连接OC，延长OA、NC交于D，则OC＝6，∵CM⊥OA，CN⊥OB，∴∠DMC＝∠DNO＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DMC∽△DNO，∴DMDN=DC∵∠D＝∠D，∴△DMN∽△DCO，∴MNCO∵CN⊥OB，∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝DNOD∴MNOC∵OC＝6，∴MN6∴MN＝.故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形相似的性质和判定，特殊的三角函数值及三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3、①②【解析】【分析】先证∠AED=90°，再利用∠2+∠DAB=∠3+∠DAB=45°，得出∠2=∠3可判断①；利用∠EAF和∠3的余弦值相等判断②；利用△ACD∽△AEF及勾股定理可判断③；设BM=a，用含a的式子表示出ED2和【详解】∵AC=BC，∠C=90°，∴∠3+∠DAB=∠CAB=∠ABC=45°，∵和的垂直平分线交于点E，∴AE=ED=BE，∠∴∠1=∠2，∠1+CBA=∠EDB∴∠CAB+∠2=∠1+CBA，∴∠EDB=∠CAE，∵∠EDB+∠CDE=180°，∴∠CAE+∠CDE=180°，∵∠CAE+∠C+∠CDE+∠AED=360°，∴∠C+∠AED=90°，∵∠C=90°，∴∠AED=90°，∵AE=ED，∴∠2+∠DAB=∠3+∠DAB=45°，∴∠2=∠3，∴△ACD∽△AEF，故①正确；∵△AED为等腰直角三角形，∴AD=2AE=ED，∴cos∠EAF=cos∠3=ACAD∴，故②正确；∵△ACD∽△AEF，∴ACAD=AEAF，在Rt△AED中，AE∴ACAD∴22∴AD∵BE∥AD，∴BFAF∴BFAB∴S△DFB∵BE∥AD，∴∠DAB=∠1，∴∠2+∠1=∠1+∠DAB=45°，过点B作BM⊥AE交AE的延长线于点M，∵∠MEB=∠2+∠1=45°，∴EM=BM，设BM=a，则EM=a，∴BE=a，∴AE=a，∴AB2=AM2∵ED∴ED2AB故答案为：①②【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角函数值等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．4、【解析】【分析】根据坡度的定义求得，即可求得的长【详解】解：∵∴设，则根据勾股定理可得故答案为：5【点睛】考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键。5、等腰直角三角形【解析】【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A和角B，进而确定三角形的形状．【详解】解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0，即cosA＝，tanB＝1，所以∠A＝45°，∠B＝45°，所以所以△ABC是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）连接，由角平分线的性质可得，可得，可得，可证，可得结论；（2）连接并延长交于，通过证明，可得，可得结论；（3）由“”可证，，可得，，可得，由锐角三角函数可得，即可求解．【详解】（1）如图1，连接，，，平分，，，，，，是的切线；（2）如图2，连接并延长交于，连接，是直径，，又，，，∴∵的半径为3，．∴（3）如图3，过点作于，，交延长线于，连接，，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．2、（1）2；（2）①；②；（3）;（4）或【解析】【分析】（1）的半径为1，则的最长的弦长为2，根据两点的距离可得，进而即可求得答案；（2）①根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得的坐标；②由①可得当时，yM，设当取得最大值时，过点作轴，根据题意，分别为沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S后的对应点，则，根据余弦求得进而代入数值列出方程，解方程即可求得的最大值，进而求得的范围；（3）根据圆的旋转对称性，找到所在的的圆心，如图，以为边在内作等边三角形，连接，取的中点,过作的垂线，则即为反射轴,反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆，反射轴l是该圆的切线，求得半径为，根据圆的面积公式进行计算即可；（4）根据（2）的方法找到所在的圆心,当M点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动，进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围【详解】（1）的半径为1，则的最长的弦长为2根据两点的距离可得故符合题意的“反射线段”有2条；故答案为：2（2）①如图，过点作轴于点，连接A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），，且，的半径为1，，且线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，，②由①可得当时，yM如图，设当取得最大值时，过点作轴，根据题意，分别为沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S后的对应点，则，过中点，作直线交轴于点,则即为反射轴yM，即即解得（舍）（3）的半径为1，则是等边三角形，根据圆的旋转对称性，找到所在的的圆心，如图，以为边在内作等边三角形，连接，取的中点,过作的垂线，则即为反射轴,反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆，反射轴l是该圆的切线当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积为．（4）如图，根据（2）的方法找到所在的圆心,设则,是等腰直角三角形,当M点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，是的中位线,即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，则为的切线设与轴交于点，同理可得反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围为或【点睛】本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键．3、（1）1；（2）13【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值的含义即可完成；（2）根据菱形的性质可得AB=AD，再由已知条件设，，则由勾股定理可得AE，则由BE=8建立方程即可求得k，从而求得菱形的边长．【详解】解：（1）原式.（2）四边形ABCD是菱形，.，，设，，则，，，∴，即菱形的边长为13.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值，菱形的性质、三角函数及勾股定理，灵活运用这些知识是关键．4、0【解析】【分析】根据乘方，二次根式的化简、特殊的三角函数值，零指数幂的意义以及绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：原式==-2+2=0【点睛】本题考查了实数的运算，乘方，二次根式的化简、特殊的三角函数值，零指数幂的意义以及绝对值的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．5、（