2025年中考数学总复习《锐角三角函数》考前冲刺练习题【典优】附答案详解

中考数学总复习《锐角三角函数》考前冲刺练习题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将ADE沿DE翻折得到FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BFED；②DFG≌DCG；③FHB∽EAD；④tan∠GEB＝；其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．12、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为（）A． B． C． D．3、如图，某建筑物AB在一个坡度为i＝1：0.75的山坡BC上，建筑物底部点B到山脚点C的距离BC＝20米，在距山脚点C右侧同一水平面上的点D处测得建筑物顶部点A的仰角是42°，在另一坡度为i＝1：2.4的山坡DE上的点E处测得建筑物顶部点A的仰角是24°，点E到山脚点D的距离DE＝26米，若建筑物AB和山坡BC、DE的剖面在同一平面内，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin42°≈0.67．cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

A．36.7米 B．26.3米 C．15.4米 D．25.6米4、学习了三角函数的相关知识后，小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度．如图，小丽先在坡角为的斜坡上的点A处，测得树尖E的仰角为，然后沿斜坡走了10米到达坡脚B处，又在水平路面上行走20米到达大树所在的斜坡坡脚C处，大树所在斜坡的坡度，且大树与坡脚的距离为15米，则大树的高度约为（）（参考数据：结果精确到0.1）A．10.9米 B．11.0米 C．6.9米 D．7.0米5、如图①，，射线，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，．设，．若y关于x的函数图象（如图②）经过点，则的值等于（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，若AB=10，CD=4，则sin∠BCD的值为____．2、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=15cm，点O在中线CD上，当半径为3cm的⊙O与△ABC的边相切时，OC=_________．3、计算：2cos60°+（π﹣1）0＝_____．4、若x为锐角，且cos（x﹣20°）＝，则x＝___．5、矩形ABCD中，E为边AB上一点，将沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若，．（1）矩形ABCD的面积为________；（2）的值为_________．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，RtABC中，，的平分线交BC于点O，以OC为半径的半圆交BC于点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如果求AC的长．2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，经过点A的直线（不与BD垂直）与对角线BD所在直线交于点E，过点B，D分别作直线BD的垂线交直线AE于点F，H．（1）当点E在如图①位置时，求证：BF﹣DH＝BD；（提示：延长DA交BF于G）（2）当点E在图②、图③的位置时，直接写出线段BF，DH，BD之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DH＝1，BD＝4，则tan∠DHE＝．3、计算：2sin30°﹣3tan45°•sin245°+cos60°．4、计算：5、计算：6、计算：．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可．【详解】解：∵正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点

∴AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，∠A=∠C=∠ABC=90°

∵△ADE沿DE翻折得到△FDE

∴∠AED=∠FED，AD=FD=6，AE=EF=3，∠A=∠DFE=90°，

∴BE=EF=3，∠DFG=∠C=90°，

∴∠EBF=∠EFB，

∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB，

∴∠DEF=∠EFB，

∴BF∥ED，

故结论①正确；

∵AD=DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，DG=DG，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG，

∴结论②正确；

∵FH⊥BC，∠ABC=90°

∴AB∥FH，∠FHB=∠A=90°

∵∠EBF=∠BFH=∠AED，

∴△FHB∽△EAD，

∴结论③正确；

∵Rt△DFG≌Rt△DCG，

∴FG=CG，

设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x，

在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，

解得：x=2，

∴BG=4，∴tan∠GEB=，

故结论④正确．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强．2、A【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的值，再利用正弦函数的定义计算即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，

∴AB=，

∴sinB==，

故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．3、D【分析】如图所示，过E点做CD平行线交AB线段为点H，标AB线段和CD线段相交点为G和H由坡度为i＝1：0.75，BC＝20可得BG=16,GC=12,由坡度为i＝1：2.4，DE＝26可得DF=24,EF=10，分别在在中满足，在中满足化简联立得AB=25.6．【详解】如图所示，过E点做CD平行线交AB线段为点H，标AB线段和CD线段相交点为G和H∵在中BC＝20，坡度为i＝1：0.75，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．在中DE＝26，坡度为i＝1：2.4，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中满足，在中满足,即,其中BG=16、BG=12、BH=BG-EF=6、DF=24，代入化简得，令2-有∴，∴AB=25.6．故选：D．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键．4、D【分析】过点A作AG⊥ED交ED延长线于点G，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，延长BC交ED的延长线于点H，可知四边形AFHG为矩形，解直角三角形ABF得AF=5，BF=，解直角三角形CDH得DH=9，CH=12，从而得到AG，再通过解直角三角形AGE求得EG的长，进一步得出结论．【详解】解：过点A作AG⊥ED交ED延长线于点G，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，延长BC交ED的延长线于点H，如图，则四边形AFHG为矩形，∴AG=FH，GH=AF在Rt△ABF中，∴∴在Rt△CHD中，，∴可设，由勾股定理得，∴解得，∴∴∴在Rt△AGE中，∴∴故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，QD=y＝2，如图①所示，

∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，∴AC⊥BN，∴BC＝CD＝BD＝，∴cosB＝＝＝，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】如图，连接OC，由AB是直径可得OC=OB=5，利用勾股定理可求出OD的长，即可得出BD的长，利用勾股定理可求出BC的长，根据正弦的定义即可得答案．【详解】如图，连接OC，∵AB为半圆O的直径，AB=10，∴OC=OB=5，∵CD⊥AB于点D，CD=4，∴OD==3，∴，∴BC=，∴sin∠BCD==．故答案为：【点睛】本题考查圆的性质、勾股定理及三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是邻边与斜边的比值；正切是对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．2、或6．【解析】【分析】先求出，分三种情况，利用⊙O的切线的特点构造直角三角形，用三角函数求解即可．【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵AC=15cm，∴∴，∵CD为AB边上中线，∴，∴∠BDC=∠BCD=∠B=60°，∠ACD=∠A=30°，①当⊙O与AB相切时，过点O作OE⊥AB于E，如图1，在Rt△ODE中，∠BDC=60°，OE=3，∴，∴；∴；②当⊙O与BC相切时，过O作OE⊥BC，如图2，在Rt△OCE中，∠BCD=60°，OE=3，∴∴；③当⊙O与AC相切时，过O作OE⊥AC于E，如图3，在Rt△OCE中，∠ACD=30°，OE=3，∴，∴．故答案为或6．【点睛】此题是切线的性质，主要考查了直角三角形的性质，斜边的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，解本题的关键是用圆的切线构造直角三角形，借助三角函数来求解．3、2【解析】【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：2cos60°+（π﹣1）0=1+1=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、特殊角的三角函数值等考点的运算．4、50°【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，求得x−20°的值，即可求解．【详解】解：∵cos(x−20°)=∴x−20°=30°，∴x=50°故答案为：50°．【点睛】此题考查了根据三角函数值求角，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．5、【解析】【分析】（1）矩形ABCD中，由折叠可得DF=AD=3，在中，用勾股定理求得，即可求得矩形ABCD的面积；（2）由折叠可得，，矩形ABCD中，，四点共圆，故，设，在中，由勾股定理得：，即可求的值.【详解】（1）矩形ABCD中，，，，，，，由折叠可得DF=AD=3，在中，，矩形ABCD的面积=，故答案为：；（2）将沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，，，矩形ABCD中，，四点共圆，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得，=.故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，掌握相应的定理是解答此题的关键.三、解答题1、（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，根据角平分线的性质证明，进而即可证明AB是⊙O的切线；（2）勾股定理求得EB,进而根据即可求得AC【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为，是的平分线,，OC为半径为的半径是的切线（2）在中，【点睛】本题考查了角平分线的性质，切线的判定与性质，勾股定理，根据正切值求边长，掌握切线的判定是解题的关键．2、（1）见解析；（2）或；（3）或【解析】【分析】（1）延长DA交BF于G，先证明△ABG是等边三角形，得到AG=AB=AD，然后证明△AGF≌△ADH得到DH=GF，再求出即可得到答案；（2）如图②所示，延长BA交DH于G，同理可证△ABF≌△AGH，，得到，则；延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，然后证明△GAF≌△DAH，得到，则；（3）如图①所示，先根据结论求出，然后证明△FBE∽△HDE，得到，即，则，；然后对于图②和图③利用类似的方法求解即可．【详解】解：（1）如图所示，延长DA交BF于G，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=AB，∴，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴∠FBD=∠HDB=90°，∴∠BGD=60°，∠ADH=120°，DG=2BG，∴∠FGA=120°，∵∠BAG=∠ABD+∠ADB=60°，∴△ABG是等边三角形，∴AG=AB=AD，在△AGF和△ADH中，，∴△AGF≌△ADH（ASA），∴DH=GF，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）如图②所示，延长BA交DH于G，同理可证△ABF≌△AGH，，∴，∴；如图③所示，延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴BG∥DH，∴∠FGA=∠HAD，又∵∠GAF=∠DAH，AG=AD，∴△GAF≌△DAH（AAS），∴，∴；（3）如图①所示，∵，，，∴，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴BF//DH，∴△FBE∽△HDE，∴，即，∴