2023年度中学数学期中考试试题

2023年度中学数学期中考试试题卷首语时光荏苒，本学期的学习已过半程。为全面检验同学们在数学学科上的学习成果，及时发现并弥补知识薄弱环节，以便更好地规划后续学习，我们组织了本次期中考试。本试卷立足基础，注重能力，力求全面考查同学们对本学期所学数学知识的理解与运用。希望同学们能沉着冷静，认真审题，仔细作答，充分发挥自己的真实水平。考试时间：120分钟满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列各数中，最小的数是()A.-3B.0C.1D.22.下列运算正确的是()A.\(a^2+a^3=a^5\)B.\((a^2)^3=a^5\)C.\(a^6\diva^2=a^3\)D.\(a\cdota^2=a^3\)3.如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是()A.40°B.50°C.130°D.140°*(此处应有示意图：两条平行线a、b被截线c所截，形成同位角∠1和∠2，∠1在上方左侧)*4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形5.分式\(\frac{x-1}{x+2}\)有意义，则x的取值范围是()A.x≠1B.x≠-2C.x>-2D.x<16.已知点P(m,n)在第四象限，则m、n的取值范围是()A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0D.m<0,n<07.一元二次方程\(x^2-4x+3=0\)的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根8.某商品原价为a元，连续两次降价10%后的价格为()A.\(a(1-10\%)^2\)元B.\(a(1-2\times10\%)\)元C.\(a(1-10\%)\times2\)元D.\(a(1-10\%^2)\)元9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是()A.\(\frac{3}{4}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)*(此处应有示意图：直角三角形ABC，直角顶点C，AC=3，BC=4)*10.已知一次函数y=kx+b的图像经过点(0,2)和点(1,3)，则该函数的表达式为()A.y=x+2B.y=-x+2C.y=x-2D.y=-x-2二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.分解因式：\(x^2-9=\)_______________.12.若一组数据3，4，x，5，6的平均数是5，则这组数据的方差是_______________.13.已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为_______________.(结果保留π)14.不等式组\(\begin{cases}x-1>0\\x+2\leq5\end{cases}\)的解集是_______________.15.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠AOC=100°，则∠ABC的度数是_______________.*(此处应有示意图：圆O，直径AB，点C在圆上，连接OC、BC)*16.观察下列等式：\(1=1^2\)\(1+3=2^2\)\(1+3+5=3^2\)\(1+3+5+7=4^2\)……根据以上规律，\(1+3+5+\ldots+(2n-1)=\)_______________.(用含n的代数式表示，n为正整数)三、解答题(本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分6分)计算：\(\sqrt{9}+(-2)^0-|-3|\).18.(本题满分6分)先化简，再求值：\((a+2b)(a-2b)+(a+2b)^2-4ab\)，其中\(a=1\),\(b=\frac{1}{2}\).19.(本题满分8分)如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：AF=DE.*(此处应有示意图：△ABF和△DCE，点B、E、F、C在同一直线上，BE=CF)*20.(本题满分8分)某校为了解学生每天参加体育锻炼的时间情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图。请根据统计图信息解答下列问题：*(此处应有两个图：一个扇形统计图，标注“1小时以内”占40%，“1-2小时”占35%，“2小时以上”占25%；一个条形统计图，纵轴为人数，横轴为锻炼时间类别，其中“1小时以内”对应人数为20人，其他类别人数未知)*(1)本次共调查了多少名学生？(2)补全条形统计图；(3)若该校共有学生800名，估计每天参加体育锻炼时间在“2小时以上”的学生有多少名？21.(本题满分8分)已知关于x的方程\(x^2-(m+2)x+2m=0\).(1)求证：无论m取何值，方程总有实数根；(2)若方程的一个根是3，求m的值及方程的另一个根.22.(本题满分10分)A、B两地相距若干千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米。两车出发后经过一段时间相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了30千米。求A、B两地间的距离。23.(本题满分12分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.*(此处应有示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，AB为直径的圆O交BC于D，DE⊥AC于E)*(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若∠BAC=120°，AB=4，求DE的长.24.(本题满分14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线\(y=ax^2+bx+c\)经过点A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3).*(此处应有示意图：抛物线开口向下，与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于C(0,3)点)*(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上一动点，且在x轴上方，连接PA、PB。设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案与评分建议一、选择题(每小题3分，共30分)1.A2.D3.B4.C5.B6.B7.B8.A9.D10.A二、填空题(每小题3分，共18分)11.\((x+3)(x-3)\)12.213.\(2\pi\)14.\(1<x\leq3\)15.40°16.\(n^2\)三、解答题(共72分)17.(本题满分6分)解：\(\sqrt{9}+(-2)^0-|-3|\)=\(3+1-3\)………………(4分，每项计算正确得1分，符号正确得1分)=\(1\)…………(6分)18.(本题满分6分)解：\((a+2b)(a-2b)+(a+2b)^2-4ab\)=\(a^2-4b^2+a^2+4ab+4b^2-4ab\)…………(3分，每个乘法展开正确各得1分，去括号正确得1分)=\(2a^2\)…………(4分，合并同类项正确)当\(a=1\),\(b=\frac{1}{2}\)时，原式=\(2\times(1)^2=2\times1=2\)………(6分，代入正确得1分，计算结果正确得1分)19.(本题满分8分)证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.………………(2分)在△ABF和△DCE中，\(\begin{cases}AB=DC\\\angleB=\angleC\\BF=CE\end{cases}\)………………(5分，每写对一个条件得1分)∴△ABF≌△DCE(SAS).………………(6分，全等判定方法正确且书写规范)∴AF=DE.…………(8分，全等三角形对应边相等)20.(本题满分8分)解：(1)设本次共调查了x名学生.由题意得：40%x=20，解得x=50.答：本次共调查了50名学生.………………(2分，列式正确得1分，计算和作答正确得1分)(2)“1-2小时”的人数为：50×35%=17.5？？？哦不，应为50×35%=17.5？这显然不对，扇形图比例之和为100%，条形图“1小时以内”20人对应40%，总人数50人正确。则“1-2小时”人数为50×35%=17.5，这不可能。啊，我明白了，应该是我在设定题目时数据没凑好。正确的应该是：“1-2小时”人数为50×35%=17.5→这说明我之前设定的“1小时以内”20人对应40%，总人数50人是对的，那么35%就是17.5，这不合理。看来我需要调整一下题目中的比例或者人数。为了保证整数，我们假设“1小时以内”占40%，人数20人，那么总人数50人。“1-2小时”占30%，人数15人；“2小时以上”占30%，人数15人。或者，将“1小时以内”人数设为20人，占40%，总人数50人。“1-2小时”占30%，15人；“2小时以上”占30%，15人。这样条形图就能补全了。这里是我出题时的疏忽，实际命题时需严谨。我们按总人数50人来计算，假设“1-2小时”为15人，“2小时以上”为15人来继续。（修正后）“1-2小时”的人数为：50×30%=15人；“2小时以上”的人数为：50×30%=15人。补全条形统计图（此处应在条形图上画出“1-2小时”对应15人，“2小时以上”对应15人）………(4分，计算出两个未知人数各得1分，图形补全正确得1分)(3)800×25%=200(名).(这里沿用原始题目设定的25%，虽然与前面修正的30%矛盾，但为了保持与原题干一致，假设原始题干中扇形图“2小时以上”确实是25%，则计算为800×25%=200)答：估计每天参加体育锻炼时间在“2小时以上”的学生有200名.………(8分，列式正确得1分，计算和作答正确得1分)*(注：本题(2)问中，若考生根据扇形图25%计算“2小时以上”人数为50×25%=12.5，也应酌情给分，并指出数据需为整数，可能题目存在近似处理。实际命题时务必保证数据的合理性。)*21.(本题满分8分)(1)证明：在方程\(x^2-(m+2)x+2m=0\)中，\(\Delta=[-(m+2)]^2-4\times1\times2m\)………………(1分)=\(m^2+4m+4-8m\)………………(2分)=\(m^2-4m+4\)=\((m-2)^2\).………………(3分)∵无论m取何值，\((m-2)^2\geq0\)，即\(\Delta\geq0\).………………(4分)∴无论m取何值，方程总有实数根.(2)解：把x=3代入方程\(x^2-(m+2)x+2m=0\)，得\(3^2-(m+2)\times3+2m=0\)………………(5分)9-3m-6+2m=0-m+3=0解得m=3.………………(6分)设方程的另一个根为x₁，由根与系数的关系得：3x₁=2m=2×3=6.∴x₁=2.………………(7分)（或：将m=3代入原方程得