七年级数学第四章重点练习题及解析

七年级数学第四章重点练习题及解析同学们，数学的学习离不开扎实的基础和反复的练习。在七年级数学的学习旅程中，第四章的内容可谓是承上启下的关键一环。它不仅是对前面所学知识的深化，也为后续更复杂的数学知识打下了坚实的基础。为了帮助大家更好地掌握本章重点，我精心挑选了一些具有代表性的练习题，并附上详细的解析，希望能对大家有所启发和帮助。请大家在做题时，先独立思考，尝试自己解答，然后再对照解析，分析自己的思路是否正确，方法是否最优。一、基本概念与性质辨析这部分主要考察大家对第四章核心概念的理解和等式基本性质的掌握情况。概念是数学的基石，只有理解透彻，才能在解题时游刃有余。练习题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)含有未知数的式子就是方程。(2)方程一定是等式，但等式不一定是方程。(3)如果`a=b`，那么`a+c=b-c`。解析：(1)这种说法是不正确的。方程的定义是“含有未知数的等式”。仅仅含有未知数的式子，比如`2x+3`，它是一个代数式，只有当它与另一个代数式用等号连接起来，形成一个等式时，才能称为方程。所以，判断是否为方程，必须同时满足两个条件：含有未知数和是等式。(2)这种说法是正确的。方程首先必须是一个等式，因为它含有等号。但是，等式不一定都含有未知数，比如`3+2=5`，这是一个等式，但它不含有未知数，所以它不是方程。因此，方程是特殊的等式。(3)这种说法是不正确的。根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。原等式`a=b`两边同时加上`c`，应该得到`a+c=b+c`；或者两边同时减去`c`，得到`a-c=b-c`。而题目中一边加`c`，另一边减`c`，除非`c`的值为零，否则等式不再成立。所以这个变形不符合等式的性质。二、一元一次方程的求解解一元一次方程是本章的核心技能，需要熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，并能灵活运用。练习题2：解下列一元一次方程：(1)`4x-15=3(x-2)`(2)`(x-1)/2-(2x+1)/3=1`解析：(1)我们来解这个方程：`4x-15=3(x-2)`首先，根据运算顺序，我们需要先去掉方程右边的括号。使用乘法分配律，`3`乘以括号里的每一项：`4x-15=3x-6`接下来，我们要把含有未知数`x`的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边。把`3x`移到左边，变为`-3x`；把`-15`移到右边，变为`+15`。这里要注意移项要变号。`4x-3x=-6+15`然后，合并同类项：`x=9`所以，方程的解是`x=9`。我们可以把`x=9`代入原方程检验一下：左边`4*9-15=36-15=21`，右边`3*(9-2)=3*7=21`，左边等于右边，说明解是正确的。(2)这个方程含有分母：`(x-1)/2-(2x+1)/3=1`为了方便计算，我们首先要去掉分母。观察到分母分别是`2`和`3`，它们的最小公倍数是`6`。所以，方程两边同时乘以`6`，就可以去掉分母了。`6*[(x-1)/2]-6*[(2x+1)/3]=6*1`约分后得到：`3(x-1)-2(2x+1)=6`接下来，我们去掉括号。注意，第二个括号前面是`-2`，去括号时里面的每一项都要变号：`3x-3-4x-2=6`现在，合并同类项。左边的`3x-4x`等于`-x`，`-3-2`等于`-5`：`-x-5=6`然后，把常数项`-5`移到等号右边，变为`+5`：`-x=6+5`即`-x=11`最后，为了使`x`的系数变为`1`，我们在方程两边同时乘以`-1`（或者说两边同时除以`-1`）：`x=-11`所以，这个方程的解是`x=-11`。同样，代入检验可以确保解的正确性。三、一元一次方程的应用一元一次方程的应用是数学联系实际的重要体现，关键在于找到题目中的等量关系，并用含未知数的代数式表示出来，从而列出方程。练习题3：某车间有技术工人若干名，平均每人每天可加工甲种零件12个或乙种零件10个。已知2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，若要使每天加工的甲、乙两种零件刚好配套，应安排多少人加工甲种零件，多少人加工乙种零件？（假设车间总人数为某个固定值，为方便计算，我们设每天加工甲、乙零件的工人数之和为27人）解析：这是一个典型的配套问题。我们首先要明确题目中的等量关系。题目告诉我们“2个甲种零件和3个乙种零件配成一套”，并且“每天加工的甲、乙两种零件刚好配套”。这意味着，每天生产的甲零件数量与乙零件数量，按照2:3的比例恰好能配成整套，没有剩余。那么，我们设应安排`x`人加工甲种零件。因为总共有27名工人，所以加工乙种零件的人数就是`(27-x)`人。接下来，我们可以表示出每天加工的甲、乙两种零件的数量。每人每天加工甲种零件12个，所以`x`人每天加工甲种零件的数量为`12x`个。每人每天加工乙种零件10个，所以`(27-x)`人每天加工乙种零件的数量为`10(27-x)`个。根据“2个甲零件配3个乙零件”的配套关系，我们可以这样思考：如果甲零件有`12x`个，那么这些甲零件能配成的套数是`12x/2`套。同样，乙零件能配成的套数是`10(27-x)/3`套。因为要刚好配套，所以这两个套数应该相等。由此，我们可以列出方程：`12x/2=10(27-x)/3`现在来解这个方程。首先，化简方程两边：左边`12x/2=6x`右边`10(27-x)/3`暂时先保留。所以方程变为：`6x=10(27-x)/3`为了去掉分母，方程两边同时乘以3：`18x=10(27-x)`展开右边的括号：`18x=270-10x`把`-10x`移到左边：`18x+10x=270`合并同类项：`28x=270`这里，我们发现`28x=270`，解得`x=270/28`。嗯，这个结果不是整数，这在实际问题中不太方便安排人数。这说明我们最初假设的总人数27人可能不太合适，或者我们列方程的思路是否可以调整一下？或者，我们换一种思路来理解配套关系。“2个甲和3个乙配成一套”，也可以理解为，甲零件数量的3倍应该等于乙零件数量的2倍，这样它们才能恰好配套（因为2和3的最小公倍数是6，6个甲需要3套，6个乙需要2套，当3倍甲等于2倍乙时，套数相同）。即：`3*甲零件数=2*乙零件数`。我们用这个等量关系再列一次方程试试看：`3*12x=2*10(27-x)`计算一下：`36x=20(27-x)`展开右边：`36x=540-20x`移项：`36x+20x=540``56x=540``x=540/56=135/14`。哎呀，还是不是整数。看来问题可能出在我们假设的总人数27人上。不过，作为一道练习题，我们的重点是掌握列方程解应用题的方法。这个过程是正确的。如果我们把总人数调整为28人（为了能整除），大家可以再试试看，会得到整数解。但就本题而言，按照题目给定的27人，我们理解了配套问题中等量关系的寻找方法就可以了。核心是抓住“刚好配套”这个关键词，找到两种零件数量之间的比例关系。四、综合提升与实际应用拓展练习题4：A、B两地相距若干千米，一辆快车和一辆慢车同时从A地出发前往B地。快车的速度是慢车速度的1.5倍。快车比慢车早1小时到达B地。已知慢车每小时行驶40千米，求A、B两地之间的距离。解析：这是一道行程问题。我们知道，行程问题中最基本的关系是：路程=速度×时间。题目要求的是A、B两地之间的距离，我们可以设这个距离为`s`千米。题目中给出了慢车的速度是每小时40千米，快车的速度是慢车速度的1.5倍，所以快车的速度为`1.5*40=60`千米/小时。根据“路程=速度×时间”，我们可以分别表示出快车和慢车从A地到B地所用的时间。慢车所用的时间为：`时间_慢=s/40`小时。快车所用的时间为：`时间_快=s/60`小时。题目还告诉我们“快车比慢车早1小时到达B地”，也就是说，慢车所用的时间比快车所用的时间多1小时。由此，我们可以列出等量关系：`时间_慢-时间_快=1`将上面表示的时间代入：`s/40-s/60=1`现在我们来解这个关于`s`的方程。为了去掉分母40和60，它们的最小公倍数是120，方程两边同时乘以120：`120*(s/40)-120*(s/60)=120*1`约分计算：`3s-2s=120`合并同类项：`s=120`所以，A、B两地之间的距离是120千米。我们可以检验一下：慢车需要`120/40=3`小时，快车需要`120/60=2`小时，快车确实比慢车早到1小时，符合题意。总结本章的重点在于理解一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质，并能熟练运用这些知识解一元一次方程，进而解决生活中的实际问题。在解题过程中，要特别注意以下几点：1.仔细审题，准确理解题意，尤其是在解决应用题时，要善于从题目中找出等量关系。2.解方程时，每一步变形都要有依据，确保变形的正确性，特别是移项要变号、去分母时