11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 练习册答案

11.1.6祖暅原理与几何体的体积1.C[解析]由题可知圆锥的高、底面半径均为2,所以圆锥的体积为13×2×π×22=8π3.故选2.D[解析]V三棱锥A'-EFQ=V三棱锥Q-A'EF=13×12×EF×AA'×A'D'=163,所以三棱锥A'-EFQ的体积为定值,与点E,F,3.C[解析]由题意得棱台的体积V1=13×9×(400+900+400×900)=5700(cm3).∵长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等,宽和高分别为原长方体一半的小长方体,∴长方体凹槽的体积是原长方体体积的34,则长方体形凹槽的体积V2=34×900×12=8100(cm3).∴这个斗的体积V=V1+V2=5700+8100=13800(cm3).4.B[解析]设原来球的半径为R,则原来球的大圆面积S=4πR2,原来球的体积V=43πR3.设增大后球的半径为R1,因为增大后球的大圆面积增大为原来的4倍,即增大后球的大圆面积S1=4S,所以16πR2=4πR12,即R1=2R,则增大后球的体积V1=43πR13=43π×8R3,又V1V=5.B[解析]设四棱锥P-ABCD的高为h,底面ABCD的面积为S,则V2=V三棱锥P-ABD=13×12Sh=16Sh.因为CE=2EP,所以PE=13PC,所以V1=V三棱锥P-EBD=V三棱锥E-PBD=13V三棱锥C-PBD=13V三棱锥P-BCD=13×16Sh=118Sh,所以6.C[解析]如图所示,设两圆锥的顶点分别为A,B,连接AB,设底面圆的圆心为O1,球心为O,底面圆上一点为C,连接O1C,OC,则圆锥底面圆的半径r=O1C,球的半径R=OC=6.∵两个圆锥的体积之和为球的体积的38,∴13πr2·AO1+13πr2·BO1=13πr2(AO1+BO1)=13πr2·2R=38×43πR3,化简得r2=34R2=27,则r=33.在Rt△OO1C中,OO1=OC2-O1C2=36-27=3,则两个圆锥的高分别为AO1=R-7.C[解析]正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=3,A1B1=23,所以△ABC的面积为12×3×3×32=334,△A1B1C1的面积为12×23×23×32=33.设O,O1分别是△ABC,△A1B1C1的中心,D,D1分别是BC,B1C1的中点,如图所示,连接AD,A1D1,OO1,DD1,则A,O,D三点共线,A1,O1,D1三点共线,AD=AB×sinπ3=3×32=32,A1D1=A1B1×sinπ3=23×32=3,所以OD=13AD=12,O1D1=13A1D1=1,DD1=BB12-B1C1-BC22=22-23-322=132.过D作DE⊥A1D1,垂足为E,则DE∥OO1,8.BCD[解析]由已知及题图知cos∠ADC=12且0°<∠ADC<90°,所以∠ADC=60°,故A错误;圆台的高h=2×sin60°=3,所以圆台轴截面ABCD的面积S=12×(2+4)×3=33(cm2),故B正确;圆台的体积V=13×(π×12+π×12×22+π×22)×3=73π3(cm3),故C正确;将圆台一半侧面展开,如图中环形ABCD,E为AD的中点,而圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD且OC=4,又∠COD=2π4=π2,所以在Rt△COE中,CE=42+9.BC[解析]对于A,设三棱柱的底面积为S,高为h,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=Sh,因为D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,所以S△DEF=14S,则三棱锥A1-DEF的体积为13×14Sh=112V,故A错误;对于B,如图①,因为AF=12AC,DE∥AC,DE=12AC,所以DE∥AF,DE=AF,则四边形ADEF为平行四边形,所以S四边形ADEF=12S,则VA1-ADEF=13×12Sh=16Sh,故B正确;对于C,如图②,因为△CEF∽△C1B1A1,且棱柱上、下底面平行,E,F分别是棱BC,CA的中点,所以线段C1C,B1E,A1F的延长线交于一点,则几何体CEF-C1B1A1为三棱台,且S△CEF=14S,则VCEF-C1B1A1=13hS+14S+S·14S=712Sh=712V,所以VABEFA1B1=VABC-A1B1C1-VCEF-C1B1A1=V-712V=512V,故①②③10.48cm23233cm3[解析]设正四棱锥S-ABCD的高为h,斜高为h'.如图所示,设O为正方形ABCD的中心,E为CD的中点,连接SO,OE,SE.在Rt△SOE中,∠OSE=30°,OE=2cm,∴SO=23cm,SE=4cm,即h=23cm,h'=4cm,∴S表=4×12×4×4+4×4=32+16=48(cm2),V=13×4×4×23=11.8[解析]以四面体的各棱为长方体的面对角线,作出该长方体,如图所示.设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则x2+y2=(13)2,y2+z2=(25)2,x2+z2=52,∴x=3,y=2,z=4.易知V三棱锥D-ABE=13DE·S△ABE=16V长方体.同理V三棱锥C-ABF=V[点睛]三对对棱分别相等的四面体都可以补形为长方体,其中各棱均为长方体各面的对角线.12.14[解析]如图,∵D,E分别为PB,PC的中点,∴S四边形BDEC=34S△PBC,则S△BDE=13S四边形BDEC=13×34S△PBC=14S△PBC.∵VP-ABC=VA-PBC=V2,VD-ABE=VA-BDE=V1,且三棱锥A-PBC与三棱锥A-BDE的高相等,∴13.解:(1)设圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为l,高为h1,则2πr=24π,故r=12,h1=20所以“笼具”的体积V=πr2h-13πr2h1=π·122×30(2)圆柱的侧面积S1=2πrh=720π(cm2),圆柱的底面积S2=πr2=144π(cm2),圆锥的侧面积S3=πrl=240π(cm2),故“笼具”的表面积S=S1+S2+S3=1104π(cm2).故制造50个这样的“笼具”的总造价为1104π×50×8104=1104π2514.解:如图所示,连接CA,则V几何体C-EFGH=V-V四棱锥C-ABFE-V四棱锥C-ADHE,其中V是几何体ABCD-EFGH的体积.因为AE=1,BF=DH=2,CG=3,且几何体ABCD-EFGH是以正方形ABCD为底面的正四棱柱的一部分,所以几何体ABCD-EFGH的体积V=(2)2×2=4.V四棱锥C-ABFE=13×S四边形ABFE×BC=13×12(AE+BF)×AB×BC=16×(1+2)×同理得V四棱锥C-ADHE=1,所以V几何体C-EFGH=V-V四棱锥C-ABFE-V四棱锥C-ADHE=4-1-1=2,即几何体C-EFGH的体积为2.[点拨]求解不规则几何体的体积问题,主要是将其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型,然后根据相关公式求解,还有很多的题在求解时主要应用转化思想化不规则为规则,以“分割”“补形”为工具将不规则几何体转化为常见的几何体.15.D[解析]开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=23×8=163(cm),底面圆的半径r=23×4=83(cm),故细沙的体积V=13πr2H=π3×832×163=1024π81(cm3).当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4cm,设高为H'cm,则π3×42×H'16.解:(1)由题意可知,正三棱柱的底面积S△ABC=12×6×6×32=93,且高AA故VABC-A1B(2)如图,过点V,C,C1作圆锥的轴截面VEF,分别交AB,A1B1于点M,N连接C1N,由题可知底面圆O是矩形ABB1A1的外接圆,连接VO,A1B.∵A1B=82+62=10,∴底面圆∵ON=12MN=4,O