《实际问题与二次函数（第一课时）》课件

九年级上册初中数学实际问题与二次函数第1课时写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.(1)

y=x2-4x-5；(配方法)(2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：(1)y=x2-4x-5=x2-4x+4-9=(x-2)2-9.开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：(2，-9)；最小值：-9.

知识回顾1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.学习目标问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h=30t-5t2课堂导入？?最高点(顶点)解法一：配方法∴t=3时，hmax=45.所以小球运动时间为3s时，小球最高，小球运动中

的最大高度为45m.∵h=30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45，解法二：公式法所以小球运动时间为3s时，小球最高，小球运动中

的最大高度为45m.∵h=30t-5t2新知探究

一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2

+

bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说当时，二次函数

y=ax2

+

bx+c有最小（大）值.知识点例1

用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？即S=-l2+30l(0<l<30).S=l(30-l),解：根据题意得

也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.矩形周长为60m一边长为lm,另一边长为(30-l)m例2

如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽分别为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?解：根据题意设矩形菜园平行于墙的一边长为lm，菜园的面积为Sm2，

因为0<l≤18，所以l=18时，S取得最大值，即当矩形的长为21m，宽是18m时，菜园的面积最大，最大面积为378m2.

当l<30时，S随l

的增大而增大，注意：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析.通过前两道例题的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能结合实际问题，判断何时在顶点处取最值.、何时在端点处取最值.用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.审：仔细审题，厘清题意.2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.

在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC

两边)，设AB=xm，花园面积为Sm2.(1)求S

与x

之间的函数关系式；(2)当x

为何值时，S有最大值？请求出最大值.解：(1)由题意得AD=(28-x)m，则S=x(28-x)=-x2+28x(0<x<28).(2)因为S=-x2+28x=-(x-14)2+196，所以当x=14时，S有最大值，最大值是196.跟踪训练新知探究1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边分别为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？

随堂练习2.如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm2.(1)求S

与x

之间的函数关系式及自变量x

的取值范围；

解：(2)∵S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36，∴当x=3时，S最大值=36.

2.如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm2.(2)当x

取何值时，围成的花圃面积最大，最大面积是多少？答：当x取3时围成的花圃面积最大，最大面积是36m2．解：(3)∵0<24-4x≤8，∴4≤x<6，由(2)知，当x>3时，S随x的增大而减小，∴当x=4时，S取得最大值，且S最大值=32.答：当x取4时所围成的花圃面积最大，最大面积是32m2．2.如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm2.(3)若墙的最大可用长度为8m，则花圃的最大面积是多少？3.如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF

与GH

将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD

的面积ym2最大时，AB的长为

m.

3.如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF

与GH

将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD

的面积ym2最大时，AB的长为

m.15几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定课堂小结1.在一个腰长为10cm

的等腰直角三角形的内部截一个矩形ABCD，使三角形的直角为矩形的一个内角，则矩形ABCD

面积的最大值是

.25cm2解：∵三角形AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE=10cm，∠E=∠F=45°.∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠CDE=90°，∴∠ECD=45°，∴ED=CD.设AD=xcm，矩形面积为ycm2，∴ED=CD=(10-x）cm，y=x(10-x)=-x2+10x=-(x-5)2+25，∴当x=5时，y取最大值为25．对接中考

2.有一条长7.2m的木料，做成如图所示的“日”字形的窗框，窗框的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？(不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积)3.如图，在足够大的空地上有一段长为a

m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m木栏.(1)若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450m2，求所利用旧墙AD

的长；解：(1)设AB=t

m，则BC=(100-2t)m，根据题意得t(100-2t)=450，解得t1=5，t2=45，当t=5时，100-2t=90＞20，不合题意，舍去；当t=45时，100-2t=10.答：AD的长为10

m.

3.如图，在足够大的空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m木栏.(2)求矩形菜园ABCD

面积的最大值.1.因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,所以当x=______

时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值

.

2.当x=

时,二次函数y=x2+2x-2有最小值.

3.利用二次函数求最大利润时,若列出的二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内,则二次函数的最

就是所要求的最大利润;当求得的二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内,我们先要搞清自变量的取值在对称轴

侧还是

侧,然后结合二次函数的增减性求出最大利润;当在不同的自变量取值范围内,函数表达式不同时,我们需要分段讨论,求出每种情况下的

,然后综合考虑.

-1大值

左

右

最大值

4.某商店经营一种水产品,成本为40元/千克,据市场分析,若按50元/千克销售,一个月能售出500千克;销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,销售单价定为

元时,获得的利润最多.

701.利用二次函数解决几何问题【例1】

如图,已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形CBFG都是正方形,设BC=x.(1)试用x表示AC.(2)设正方形ACDE和正方形CBFG的总面积为S,请写出用x表示S的函数解析式,并画出其图象.(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?(4)总面积S取最大值或最小值时,点C在AB的什么位置?分析:根据线段和差关系用x表示出正方形ACDE的边长AC,利用正方形面积公式表示它们的面积,构建二次函数解决最值问题即可.解:(1)当BC=x时,AC=2-x(0<x<2).(2)S正方形ACDE=(2-x)2,S正方形CBFG=x2,故S=(2-x)2+x2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2,画出函数S=2(x-1)2+2(0<x<2)的图象,如图.(3)由图象可知,当x=1时,S最小值=2;没有最大值.(4)当x=1时,总面积S取得最小值,此时点C恰好在AB的中点处.点拨:此题中的图形为规则图形,可直接求面积,对于不规则图形的求面积问题,一般通过割补法,将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差来求.用二次函数求最值时,一定要考虑题目的实际意义,确定自变量的取值范围,图象也应该只画出自变量允许范围内的部分图象.2.利用二次函数解决经济问题【例2】

某化工材料经销公司购进一种化工原料共7000千克,购进价格为30元/千克,物价部门规定其销售价格不得高于70元/千克,也不得低于30元/千克.市场调查发现,价格定为70元/千克时,日均销售60千克;单价每降低1元,日均多售出2千克,在销售的过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足1天时,按整天计算).设销售价格为x元/千克,日均获利y元.(1)试求y关于x的二次函数解析式,并注明x的取值范围.(2)将(1)中所求出的二次函数配方成y=a(x-h)2+k的形式,写出函数图象的顶点坐标,画出草图,观察图形,指出销售价格定为多少元/千克时日均获利最多?最多是多少?(3)若将这种化工原料全部售出,比较日均获利最多和销售价格最高这两种方式,哪一种获总利较多?多多少?分析:(1)由日均获利=每千克获利×日均销售数量-支出费用,可列出关系式;(2)画草图的关键是确定抛物线顶点的坐标,这可由二次函数配方实现;(3)在(1)(2)的基础上通过计算可解.解:(1)若销售价格为x元/千克,则每千克降价(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利为(x-30)元.依题意得y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x2+260x-6

500(30≤x≤70).(2)y=-2x2+260x-6

500=-2(x2-130x)-6

500=-2(x-65)2+1

950(30≤x≤70),顶点坐标为(65,1

950).

二次函数的草图如图,经观察可知,当销售价格定为65元/千克时,日均获利最多,最多获利为1

950元.(3)当日均获利最多时,销售价格为65元/千克,日均销售60+2×(70-65)=70(千克),获得总利为

=195

000(元).当销售价格最高为70元/千克时,日均销售60千克,将这种化工原料全部售完需7

000÷60≈117(天),获得总利为(70-30)×7

000-117×500=221

500(元).因为221

500>195

000,且221

500-195

000=26

500(元),所以销售价格最高时获总利较多,且多获利26

500元.点拨:为了用图象更好地表示二次函数的关系,针对不同的情况要具体分析,如x轴和y轴的单位长度可以不统一,但在同一坐标轴上的单位长度必须统一.123451.某公司准备修建一个长方体的污水处理池,若池底矩形的周长为100m,则池底的最大面积是(

)A.600m2 B.625m2

C.650m2 D.675m2答案解析解析关闭设矩形的一边长为x

m,则与其相邻的另一边长为(50-x)m,若面积为S,则S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625.∵-1<0,∴S有最大值.当x=25时,最大值为625.故选B.答案解析关闭B123452.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S的最大值为(

)A.196m2 B.195m2 C.190m2 D.180m2答案解析解析关闭S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196,因为在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15

m和6

m,所以x≥6,28-x≥15,所以6≤x≤13.因为a=-1<0,且对称轴为直线x=14,所以在6≤x≤13范围内,S随x的增大而增大,故当x=13时,S有最大值,S最大值=-(13-14)2+196=195(m2).答案解析关闭B123453.老刘准备在某地投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村,并将其全部利润用于当地建设.据测算,若每个房间的定价为60元/天,则房间将会住满;每个房间的定价每增加5元/天,就会有一个房间空闲.度假村对旅客住宿的房间每