《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第二课时）》课件

九年级上册初中数学二次函数y=a(x-h)2+k

的图象和性质二次函数的图象和性质说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：(1)

y=ax2(2)

y=ax2+k(3)

y=a(x-h)2yxOxyOyxOyxO知识回顾yxOyxOyxOyxOyxOyxO1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质并会应用.3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.学习目标二次函数图象可以互相平移得到y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k课堂导入左右平移上下平移

先列表知识点1新知探究x…-4-3-2-1012………-5.5-5.5-3-1.5-1-1.5-3再描点、连线：12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10直线x=-1开口方向向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1，-1).

向左平移1个单位长度

平移方法1向下平移1个单位长度

12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10

平移方法2向左平移1个单位长度向下平移1个单位长度

12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10

二次函数

y=ax2与

y=a(x-h)2+k图象间的关系可以互相平移得到：y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移函数平移有规律，左加右减自变量，上加下减常数项.

y=a(x-h)2+ka＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性向上向下直线x=h（h，k）当x=h时，y最小值=k.当x=h时，y最大值=k.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.从y=a(x-h)2+k(a≠0)中可以直接看出抛物线的顶点坐标是(h，k)，所以通常把它称为二次函数的顶点式.y=a(x-h)2+ka,h决定增减性h,k决定顶点坐标a决定开口方向和大小h决定对称轴k决定最值二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,-2)向下向下(3,7)(2,-6)向上直线x=-3直线x=1直线x=3直线x=2(-3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:跟踪训练新知探究

CA.1 B.2 C.3 D.4例题精讲例1已知抛物线的顶点为(-1，2)且过原点，求抛物线的函数解析式.解：因为抛物线的顶点为(-1，2)，所以可设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)2+2.又因为抛物线过(0，0),所以0=a(0+1)2+2,解得a=-2,所以抛物线的函数解析式为y=-2(x+1)2+2.想一想：上述问题可以抽象成什么数学问题呢？例2要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为

1m

处达到最高，高度为

3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？OA31BC3？OA31BC(3,0)(1,3)yx解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．因为这段抛物线的顶点B的坐标为(1，3)，故可设这段抛物线对应的函数解析式是y＝a(x-1)2+3(0≤x≤3)．又因为落地点C的坐标为(3，0)，

所以有0＝a(3-1)2+3，当x=0时，y＝2.25,即水管长2.25米.OA31BCyx方法一OA3-2BCyx方法二OA32BCyx方法三想一想：除了上述这种建坐标系的方法外，还有别的建坐标系的方法吗？1.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，那么所得抛物线是___________________.

y=-3(x-1)2+2随堂练习注意：二次函数图象的平移是“左加右减”，且改变的是自变量.2.下列关于二次函数y＝-2(x-2)2＋1图象的叙述,其中错误的是(

)

A．开口向下

B．对称轴是直线x＝2

C．此函数有最小值是1

D．当x＞2时，y随x的增大而减小C3．二次函数

y＝2(x＋2)2－1的图象是(

)CABCD二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质图象特点当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.对称轴是x=h.顶点坐标是（h,k).平移规律左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.课堂小结思想方法：转化思想，模型思想，数形结合.利用二次函数解决实际问题基本流程：1.将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是

.y＝(x＋2)2-2对接中考2.已知二次函数y=(x-m)2+2，当

x≤3时，y

随x

的增大而减小，则m

的取值范围是

.m≥3解：二次函数y=(x-m)2+2的图象的对称轴为直线x=m，而抛物线开口向上，所以当x＜m时，y随x的增大而减小.又因为当x≤3时，y随x的增大而减小，所以m≥3．3.当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4，则实数m

的值为()解：二次函数的图象对称轴为直线

x=m，

3.当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4，则实数m

的值为()

C

1.(1)抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的形状大小、开口方向都完全

,但

和

不同.

(2)抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为

,对称轴是

.

(3)抛物线y=ax2向左平移h个单位长度,即为抛物线

,抛物线y=ax2向右平移h个单位长度,即为抛物线

.

2.抛物线y=-4x2与y=-(x-1)2共有的性质是(

)A.开口向上

B.对称轴都是y轴C.都有最高点

D.顶点坐标为原点相同

顶点

对称轴

(h,0)x=hy=a(x+h)2y=a(x-h)2C3.一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)

,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据

的值来决定.

4.抛物线y=(x+2)2-4的开口向

,对称轴为

,顶点坐标为

,它可以看作是由抛物线y=x2先向

平移2个单位长度,再向

平移4个单位长度得到.

平移

h,k上

直线x=-2(-2,-4)左

下

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质【例】

画出二次函数y=(x-1)2-4的图象.(1)指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴;(2)当x取哪些值时,y随x的增大而减小?当x取哪些值时,y随x的增大而增大?(3)写出该函数图象上的最高点或最低点的坐标及函数的最大值或最小值.(4)将抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,求所得抛物线的解析式.分析:首先根据函数关系式确定函数图象的对称轴,然后在对称轴左右两侧适当地选取x值(一般是在对称轴左右对称取值),从而列表、描点、连线,画出函数图象.通过观察函数图象,我们可以得出它的性质,进而解决相关问题.解：列表、描点、连线,画出函数图象如图.(1)函数y=(x-1)2-4的图象开口向上,顶点坐标为(1,-4),对称轴是直线x=1.(2)当x<1时,y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大而增大.(3)函数y=(x-1)2-4图象上的最低点(即顶点)坐标是(1,-4),此时函数有最小值,当x=1时,y最小值=-4.(4)抛物线y=(x-1)2-4向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线的解析式为y=(x+1)2-5,即y=x2+2x-4.点拨:二次函数y=a(x-h)2+k图象的顶点坐标是(h,k),对称轴是过顶点(h,k)且与y轴平行的直线,在其顶点处取得函数的最大(小)值,同时其顶点也是函数值增减变化的“分界点”.抛物线平移的结果与平移的先后顺序无关,主要看顶点的平移,也可根据规律口诀“左加右减,上加下减”进行平移.抛物线的平移特征如下:67123451.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是(

)答案答案关闭D67123452.由二次函数y=2(x-3)2+1可知(

)A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x=-3C.其最小值为1D.当x<3时,y随x的增大而增大答案答案关闭C67123453.抛物线y=3(x-1)2+8的顶点坐标为

.

答案答案关闭(1,8)67123454.将抛物线y=3(x-4)2+2向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,平移后抛物线的解析式是

.

答案答案关闭y=3(x-5)2-167123455.请你写一个开口向下、对称轴为直线