高考科学复习解决方案物理上册3

高考科学复习解决方案物理第讲万有引力定律及其应用(对应人教版必修第二册相关内容及问题)第七章第1节阅读“开普勒定律”的有关内容，写出开普勒行星运动定律的表述。提示：开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。第七章第1节阅读“行星轨道简化为圆轨道”的有关内容，写出对行星运动轨道简化为圆轨道后的开普勒三个定律的表述。提示：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。(3)所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(r3,T2)＝k。第七章第1节[练习与应用]T2。提示：近地点的速度较大。第七章第2节阅读“行星与太阳间的引力”这一部分内容，太阳与行星间引力的公式是依据什么推导出来的？提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式及牛顿第三定律推导出来的。第七章第2节阅读“月—地检验”这一部分内容，什么是月—地检验？提示：验证地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力是否遵从相同的规律。第七章第2节阅读“引力常量”这部分内容及后面的[拓展学习]，引力常量是如何测得的？数值为多少？提示：英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置测得G＝6．67×10－11N·m2/kg2。第七章第3节，万有引力理论的成就有哪些？提示：“称量”地球的质量、计算天体的质量、发现未知天体、预言哈雷彗星回归。第七章[复习与提高]B组T2；T3。提示：T2：将行星看作球体，设半径为R，质量为m星，则行星的密度为ρ＝eq\f(m星,V)＝eq\f(m星,\f(4πR3,3))。卫星贴近行星表面运行时，运动半径为R，由万有引力提供向心力可知eq\f(Gm星m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，即m星＝eq\f(4π2R3,GT2)。由此可以解得ρT2＝eq\f(3π,G)，式中G为引力常量，可见ρT2是一个对任何行星都相同的常数。温馨提示：当卫星贴着行星表面飞行时，只要有一个计时工具就可以知道行星的密度。T3：eq\f(7Gmm′,36R2)。质量分布均匀的球体之间的万有引力可以等效为质量集中在两球心的两个质点之间的万有引力，直接代公式可求。本题采用先填补成完整的球体，再减去补上的小球部分产生的引力的方法来求解。考点一开普勒定律1．定律内容(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是eq\x(\s\up1(01))椭圆，太阳处在椭圆的一个eq\x(\s\up1(02))焦点上。(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的eq\x(\s\up1(03))面积相等。(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的eq\x(\s\up1(04))半长轴的三次方跟它的eq\x(\s\up1(05))公转周期的二次方的比都相等，即eq\x(\s\up1(06))eq\f(a3,T2)＝k。2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。1．微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由开普勒第二定律可知eq\f(1,2)va·Δt·a＝eq\f(1,2)vb·Δt·b，可得va＝eq\f(vbb,a)。可推知，行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。4．开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的星体之间。例1有关开普勒三大定律，结合地球和火星的轨道示意图，下列说法正确的是()A．地球靠近太阳的过程中，运行速度的大小不变B．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上C．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等D．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短[答案]B[解析]根据开普勒第二定律可知，对同一个行星而言，行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故地球靠近太阳的过程中，运行速度的大小将增大，故A错误；开普勒第二定律仅对同一行星适用，故C错误；根据开普勒第一定律可知，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，地球也不例外，故B正确；根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，由于火星轨道的半长轴比地球的大，所以火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故D错误。例2(人教版必修第二册·第七章第3节[练习与应用]T4节选)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示，天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍。[答案]17．8[解析]设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，由题意可知T＝2061年－1986年＝75年根据开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，有eq\f(a3,T2)＝eq\f(Req\o\al(3,0),Teq\o\al(2,0))则eq\f(a,R0)＝eq\r(3,\f(T2,Teq\o\al(2,0)))≈17．8。考点二万有引力定律万有引力与重力的关系1．万有引力定律的内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与eq\x(\s\up1(01))物体的质量m1和m2的乘积成正比，与eq\x(\s\up1(02))它们之间距离r的二次方成反比。2．公式：F＝eq\x(\s\up1(03))Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量，G＝6．67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。3．公式的适用条件：计算两个eq\x(\s\up1(04))质点间的万有引力。(1)当物体不能看成质点时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和计算它们的合力。(2)两个质量分布均匀的球体之间的万有引力，等于位于两球心处、质量分别与两球体相等的质点间的万有引力。4．万有引力理论的主要成就(1)发现未知天体。(2)计算天体质量。1．万有引力与重力的关系如图所示，地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)地球表面的重力加速度g(不考虑地球自转的影响)：由eq\f(GMm,R2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空的重力加速度：设地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)。例3(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0．2 B．0．4C．2．0 D．2．5[答案]B[解析]设该物体质量为m，则在火星表面有F火＝Geq\f(M火m,Req\o\al(2,火))，在地球表面有F地＝Geq\f(M地m,Req\o\al(2,地))，由题意知eq\f(M火,M地)＝eq\f(1,10)，eq\f(R火,R地)＝eq\f(1,2)。联立以上各式可得eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火,M地)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R火)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,10)×eq\f(4,1)＝0．4，故B正确。例4某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1．1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为()A．eq\r(\f(GM,10R3)) B．eq\r(\f(GM,11R3))C．eq\r(\f(1.1GM,R3)) D．eq\r(\f(GM,R3))[答案]B[解析]设该行星“赤道”上某处的重力加速度大小为g，该行星自转的角速度为ω，物体的质量为m，物体在“两极”处所受行星的万有引力大小等于重力大小，即Geq\f(Mm,R2)＝1．1mg，物体在“赤道”上某处时所受行星的万有引力按效果进行分解，有Geq\f(Mm,R2)＝mg＋mω2R，联立解得ω＝eq\r(\f(GM,11R3))，故选B。例5如图所示，《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为2．5kg的物体重力为16N。已知地球半径为6371km，不考虑地球自转，地球表面处重力加速度g取10m/s2，则此时太空电梯距离地面的高度约为()A．1593km B．3584kmC．7964km D．9955km[答案]A[解析]设地球的质量为M，物体的质量为m，此时太空电梯距离地面的高度为h，太空电梯所在位置处的重力加速度为g′，不考虑地球自转，则物体所受重力等于地球的引力，根据万有引力公式，物体在地球表面时，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，物体在太空电梯中距地面h高度处，有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝mg′，两式相比可得eq\f(R2,（R＋h）2)＝eq\f(mg′,mg)，由题意知，mg′＝16N，又mg＝2．5×10N＝25N，解得h＝eq\f(1,4)R＝1593km，故选A。考点三天体质量和密度的估算1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天体质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v，利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(v2r,G)。若已知v、T，可先求出r＝eq\f(vT,2π)，再利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)或Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r求M。若已知ω、T则不能求出M。例6宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处开始下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；(2)月球的质量M；(3)月球的密度ρ。[答案](1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)[解析](1)羽毛和铁锤在月球表面附近做自由落体运动，有h＝eq\f(1,2)g月t2解得g月＝eq\f(2h,t2)。(2)不考虑月球自转的影响，对在月球表面上质量为m的物体，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月解得M＝eq\f(2hR2,Gt2)。(3)假设月球为均匀球体，则其体积V＝eq\f(4,3)πR3根据密度公式可知，ρ＝eq\f(M,V)解得ρ＝eq\f(3h,2πRGt2)。例7(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为()A．eq\f(3π（1＋k）3,GT2k3) B．eq\f(3π,GT2)C．eq\f(π（1＋k）,3GT2k) D．eq\f(3π,GT2)(1＋k)3[答案]D[解析]设月球的质量为M，半径为R，嫦娥六号的质量为m，轨道高度为h，由题意知h＝kR，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，又月球的体积V＝eq\f(4,3)πR3，月球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)，联立可得ρ＝eq\f(3π,GT2)(1＋k)3，故选D。估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径。(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有eq\f(GMm,R2)＝mg。课时作业[A组基础巩固练]1．(2025·新疆高三上第一次模拟)南山—哈恩彗星是被新疆南山观测站和德国天文学家哈恩共同发现的一颗新彗星。如图所示，已知该彗星的近日点接近火星轨道，远日点接近木星轨道，火星、木星的公转轨道半径分别为地球公转轨道半径的p倍和q倍，则南山—哈恩彗星的运动周期为()A．(p＋q)eq\s\up6(\f(3,2))年 B．(p＋q)eq\s\up6(\f(2,3))年C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)))eq\s\up6(\f(3,2))年 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)))eq\s\up6(\f(2,3))年答案：C解析：设地球公转轨道半径为R，则火星公转轨道半径R火＝pR，木星公转轨道半径R木＝qR，南山—哈恩彗星的公转轨道半长轴为a＝eq\f(R火＋R木,2)＝eq\f(p＋q,2)R，根据开普勒第三定律有eq\f(R3,Teq\o\al(2,地))＝eq\f(a3,Teq\o\al(2,彗))，联立解得南山—哈恩彗星的运动周期T彗＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)))eq\s\up6(\f(3,2))T地＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)))eq\s\up6(\f(3,2))年，故C正确。2．(2025·广西南宁市高三上摸底测试)某飞船绕地球做椭圆运动的轨迹如图所示，AB是椭圆的长轴，CD是椭圆的短轴，E、F两点关于椭圆中心对称。比较飞船沿顺时针分别从C运动到E和从D运动到F的两个过程，以下说法正确的是()A．从D运动到F的过程平均速率小B．两个过程运动时间相等C．两个过程飞船与地心连线扫过的面积相等D．飞船在C点所受万有引力小于在F点所受万有引力答案：D解析：C、D两点关于长轴AB对称，由飞船做椭圆运动的规律可知飞船在C、D两点的速度大小相等，飞船从C点运动到E点的过程，地球的万有引力做负功，由动能定理可知飞船的动能减小，速度减小，则在CE段的平均速度小于在C点时的速度，同理可知，飞船在DF段的平均速度大于在D点时的速度，由t＝eq\f(s,\o(v,\s\up6(－)))可知飞船在CE段运动的时间长，由开普勒第二定律可知两个过程飞船与地心连线扫过的面积不相等，故A、B、C错误；由于C点到地心的距离比F点到地心的距离远，根据F＝Geq\f(Mm,r2)，飞船在C点所受万有引力小于在F点所受万有引力，故D正确。3．(2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则()A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度C．小行星甲与乙的运行周期之比eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(Req\o\al(3,1),Req\o\al(3,2)))D．甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比eq\f(t1,t2)＝eq\r(\f(（R1＋R）3,（R2＋R）3))答案：D解析：根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；由题图可知，小行星乙的远日点到太阳的距离等于地球到太阳的距离，根据万有引力定律和牛顿第二定律，则小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；由题图可知，小行星甲轨道的半长轴a甲＝eq\f(1,2)(R1＋R)，小行星乙轨道的半长轴a乙＝eq\f(1,2)(R2＋R)，根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(aeq\o\al(3,甲),aeq\o\al(3,乙)))＝eq\r(\f(（R1＋R）3,（R2＋R）3))，故C错误；甲、乙两星从远日点到近日点的时间均为各自的半个公转周期，则两者之比eq\f(t1,t2)＝eq\f(0.5T1,0.5T2)＝eq\r(\f(（R1＋R）3,（R2＋R）3))，故D正确。4．(2024·福建省福州市高三上2月质量检测)(多选)牛顿著名的“月—地检验”证明思路如下：设月球在半径为r(r＝60R，R为地球半径)的轨道上绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，从运动学角度得到月球的向心加速度为a；假定物体在地面受到的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力，都遵从与距离的平方成反比的规律，从动力学角度得到物体在地面处的重力加速度为g和物体在月球所在轨道处的加速度为g′。根据牛顿的思路，下列关系正确的是()A．g′＝eq\f(g,3600) B．g′＝eq\f(g,60)C．a＝eq\f(4π2r,T2) D．a＝eq\f(g′,3600)答案：AC解析：根据万有引力定律有eq\f(GMm,R2)＝mg，eq\f(GMm,r2)＝mg′，又r＝60R，可得g′＝eq\f(g,3600)，故A正确，B错误；根据万有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝mg′＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r＝ma，可得a＝g′＝eq\f(4π2r,T2)，故C正确，D错误。5．(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的eq\f(1,6)。下列说法正确的是()A．在环月飞行时，样品所受合力为零B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小答案：D解析：在环月飞行时，样品做曲线运动，所受合力不为零，故A错误；若将样品放置在月球正面，由平衡条件知，样品在月球表面所受的重力大小等于月球表面对样品的支持力大小，由牛顿第三定律知，月球表面对样品的支持力大小等于样品对月球表面的压力大小，则样品对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小，故B错误；质量是物体的固有属性，样品在不同过程中受到的引力不同，但质量不变，故C错误；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的eq\f(1,6)，则样品在月球表面的重力小于在地球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故D正确。6．利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案：D解析：根据Geq\f(Mm,R2)＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)及v＝eq\f(2πR,T)可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。7．北京时间2019年4月10日21时，天文学家召开全球新闻发布会，宣布首次直接拍摄到黑洞的照片。黑洞是体积极小的天体，它的引力很大，连光都无法逃脱。若某黑洞表面的物体速度达到光速c时，恰好围绕其表面做匀速圆周运动，已知该黑洞的半径为R，引力常量为G，忽略相对论效应，则可推测这个黑洞的密度为()A．eq\f(3c2,4πGR2) B．eq\f(4c2,3πGR2)C．eq\f(3cR,4πG) D．eq\f(4cR,3πG)答案：A解析：设黑洞的质量为M，则黑洞的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3M,4πR3)，物体绕黑洞表面做匀速圆周运动的速度为光速c，该物体的质量为m，由万有引力提供向心力有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mc2,R)，联立可得ρ＝eq\f(3c2,4πGR2)，故选A。[B组综合提升练]8．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1．8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2．8×105m。已知火星半径约为3．4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3．7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m答案：C解析：设沿火星表面运动的卫星的绕行周期为T0，则有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))eq\s\up12(2)R，在火星表面处有eq\f(GMm,R2)＝mg，联立可得T0＝2πeq\r(\f(R,g))；设“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最近距离为d1，最远距离为d2，则停泊轨道的半长轴为a＝eq\f(d1＋d2＋2R,2)，由开普勒第三定律可知eq\f(a3,T2)＝eq\f(R3,Teq\o\al(2,0))，由以上各式联立，可得d2＝2eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－d1－2R≈6×107m，故C正确。9．(2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为()A．eq\r(\f(r3,a3)) B．eq\r(\f(a3,r3))C．eq\f(r3,a3) D．eq\f(a3,r3)答案：D解析：“鹊桥二号”中继星在半长轴为a的椭圆轨道环绕月球运行时，周期T＝24h，根据开普勒第三定律可知，环绕月球以半径a做匀速圆周运动的卫星的周期也是T；设该月球卫星质量为m，根据万有引力提供向心力，可得Geq\f(M月m,a2)＝meq\f(4π2,T2)a，设地球的同步卫星质量为m同，则根据万有引力提供向心力，有Geq\f(M地m同,r2)＝m同eq\f(4π2,T2)r，联立可得eq\f(M月,M地)＝eq\f(a3,r3)，故D正确。10．一颗质量均匀、可看作球体的小行星，其过去自转对该行星表面重力的影响可以忽略。现该行星自转加快，角速度为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为过去的eq\f(2,3)。已知引力常量为G，则该行星的密度ρ为()A．eq\f(9ω2,8πG) B．eq\f(ω2,3πG)C．eq\f(3ω2,2πG) D．eq\f(9ω2,4πG)答案：D解析：该行星的自转可以忽略时，由万有引力定律、牛顿第三定律和平衡条件可得，质量为m的物体对行星的压力大小FN＝eq\f(GMm,R2)，当行星自转角速度为ω时，由牛顿第三定律和牛顿第二定律有eq\f(GMm,R2)－eq\f(2,3)FN＝mRω2，行星的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，联立解得ρ＝eq\f(9ω2,4πG)，故选D。11．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是()答案：A解析：根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的内部离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的同心球体对质点的万有引力，所以F＝Geq\f(ρ·\f(4πx3,3)·m,x2)＝Geq\f(4πρm,3)x，其中ρ为地球的密度，m为质点的质量；当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力F＝Geq\f(Mm,x2)，其中M为地球的质量。综上所述，当x<R时，F与x成正比，当x≥R后，F与x的平方成反比，所以A正确。12．如图甲所示，南京紫金山天文台展示的每隔2h拍摄的某行星及其一颗卫星的照片。小齐同学取向左为正方向，在图甲照片上用刻度尺测得行星球心与卫星之间的距离L如图乙所示。已知该卫星围绕行星做匀速圆周运动，在图甲照片上测得行星的直径为2cm，引力常量为G＝6．67×10－11N·m2/kg2。下列说法正确的是()A．该卫星围绕行星运动的周期为T＝24hB．该卫星围绕行星运动的周期为T＝32hC．该行星的平均密度ρ＝5×103kg/m3D．该行星的平均密度ρ＝5×105kg/m3答案：C解析：由题图乙可知，从t＝0时刻到t＝24h时刻卫星绕行星转动半周，则该卫星绕行星做匀速圆周运动的周期为T＝2×24h＝48h，故A、B错误；照片上行星的半径为R′＝1cm，照片上的轨道半径r′＝10cm，设实际尺寸是照片上尺寸的k倍，则实际行星的半径为R＝kR′，轨道半径为r＝kr′，由万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，行星的体积为V＝eq\f(4,3)πR3，行星的密度为ρ＝eq\f(M,V)，联立解得ρ＝5×103kg/m3，故C正确，D错误。13．(2023·辽宁高考)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为()A．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) B．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)C．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) D．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)答案：D解析：设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力，可得Geq\f(m地m月,req\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r1，Geq\f(m地m日,req\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r2，由题图中几何关系可知eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)，由题意可知R地＝kR月，又地球的平均密度ρ地＝eq\f(m地,\f(4,3)πReq\o\al(3,地))，太阳的平均密度ρ日＝eq\f(m日,\f(4,3)πReq\o\al(3,日))，联立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)，故选D。[C组拔尖培优练]14．(多选)某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图像，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是()A．图线①反映木星卫星运动的规律B．地球的质量为eq\f(4π2d,Gc)C．木星的密度为eq\f(3π,Gc)D．木星与地球的密度之比为eq\f(c,b)答案：AC解析：对于绕中心天体做圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，得eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，可知中心天体的质量越大，图线的斜率越大，因木星质量大于地球质量，故图线①反映木星卫星运动的规律，A正确；图线②反映地球卫星运动的规律，故eq\f(a,b)＝eq\f(GM地,4π2)，解得地球的质量M地＝eq\f(4π2a,Gb)，同理可得，木星的质量M木＝eq\f(4π2d,Gc)，图线①中c的左侧部分为虚线，故木星的半径的三次方Req\o\al(3,木)＝d，木星的密度ρ木＝eq\f(M木,\f(4,3)πReq\o\al(3,木))＝eq\f(3π,Gc)，同理可得，地球的密度ρ地＝eq\f(3π,Gb)，故木星与地球的密度之比eq\f(ρ木,ρ地)＝eq\f(b,c)，C正确，B、D错误。第讲人造卫星宇宙速度(对应人教版必修第二册相关内容及问题)第七章第4节阅读“宇宙速度”这一部分内容，发射地球卫星的最小速度是多少？有哪两种计算方法？提示：7．9km/s。方法一：eq\f(Gm地m,R2)＝eq\f(mv2,R)，v＝eq\r(\f(Gm地,R))＝7．9km/s；方法二：mg＝eq\f(mv2,R)，v＝eq\r(gR)＝7．9km/s。第七章第4节[科学漫步]，黑洞的特点是什么？提示：黑洞是引力非常大的天体，光以3×108m/s的速度都不能从其表面逃逸。第七章[复习与提高]B组T4。提示：4h。地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由eq\f(Gm地m,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝eq\r(\f(4π2r3,Gm地))，故卫星与地球间的距离变小。要想仅用三颗同步卫星来实现地球赤道上任意两点之间保持无线电通信的目的，最小的轨道半径对应的几何关系为卫星连线正好和地球相切，如图所示。由几何关系可推出最小半径，从而得到最小周期。考点一卫星运动参量的分析1．环绕天体(卫星)运行问题分析将环绕天体或卫星的运动看成eq\x(\s\up1(01))匀速圆周运动时，其所需向心力由中心天体对其的eq\x(\s\up1(02))万有引力提供。2．物理量随轨道半径变化的规律Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\x(\s\up1(03))\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\x(\s\up1(04))\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\x(\s\up1(05))\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\x(\s\up1(06))\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))即r越大，v、ω、aeq\x(\s\up1(07))越小，Teq\x(\s\up1(08))越大。(越高越慢)拓展：天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。3．人造卫星卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道。(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)地球同步卫星①其中的静止卫星，轨道平面与eq\x(\s\up1(09))赤道共面，且与地球自转的方向相同。②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝eq\x(\s\up1(10))24h＝86400s。③角速度大小一定：与地球自转的角速度大小相同。④高度一定：据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝4．23×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。(3)近地卫星近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7．9km/s。1．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。()2．地球同步卫星一定在赤道的正上方。()答案：1．√2．×例1(2025·陕西省安康市高三上期中)地球可看作半径为R的均质球体，已知地球同步卫星距地面的高度为h，地球表面的重力加速度大小为g(不考虑地球自转造成的影响)，则地球同步卫星绕地球做圆周运动的环绕速度为()A．eq\r(gR) B．eq\r(gh)C．eq\r(\f(gR2,R＋h)) D．eq\r(\f(gh2,R＋h))[答案]C[解析]设地球的质量为M，对地球表面一质量为m′的物体，有eq\f(GMm′,R2)＝m′g，可得GM＝gR2，设同步卫星的质量为m，由万有引力提供向心力可得eq\f(GMm,（R＋h）2)＝meq\f(v2,R＋h)，可得地球同步卫星绕地球做圆周运动的环绕速度为v＝eq\r(\f(GM,R＋h))＝eq\r(\f(gR2,R＋h))，故选C。例2(2024·辽宁省辽阳市高三下第一次模拟)(多选)设想将来发射一颗人造卫星，其绕地球运行的轨道半径是月球绕地球运行轨道半径的eq\f(1,4)。该卫星与月球绕地球做匀速圆周运动时的()A．周期之比为1∶8 B．线速度大小之比为8∶1C．向心加速度大小之比为16∶1 D．角速度之比为4∶1[答案]AC[解析]对绕地球做匀速圆周运动的人造卫星和月球，根据万有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝meq\f(v2,r)＝ma＝mω2r，可知T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，则周期之比为eq\f(T,T月)＝eq\r(\f(r3,req\o\al(3,月)))＝eq\f(1,8)，线速度大小之比为eq\f(v,v月)＝eq\r(\f(r月,r))＝eq\f(2,1)，向心加速度大小之比为eq\f(a,a月)＝eq\f(req\o\al(2,月),r2)＝eq\f(16,1)，角速度之比为eq\f(ω,ω月)＝eq\r(\f(req\o\al(3,月),r3))＝eq\f(8,1)，故A、C正确，B、D错误。例3(教科版必修第二册·第三章[本章复习题]T3改编)经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨利伟星”的轨道均处在火星和木星轨道之间，已知“神舟星”平均每天绕太阳运行174万公里，“杨利伟星”平均每天绕太阳运行145万公里，假设两行星均绕太阳做匀速圆周运动，则两星相比较()A．“神舟星”的轨道半径大B．“神舟星”的公转周期大C．“神舟星”的加速度大D．“神舟星”受到的向心力大[答案]C[解析]由题意可知，相同时间t内，“神舟星”绕太阳运行的弧长较“杨利伟星”的弧长长，根据v＝eq\f(l,t)知，两星相比较，“神舟星”的线速度v大，设太阳质量为M，行星质量为m，行星轨道半径为r，根据万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(GM,v2)，则“神舟星”的轨道半径小，A错误；根据T＝eq\f(2πr,v)知，“神舟星”的轨道半径小，线速度大，则“神舟星”的公转周期小，B错误；根据a＝eq\f(v2,r)知，“神舟星”的加速度大，C正确；两行星质量大小关系未知，故无法比较两星受到的向心力的大小，D错误。例4有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是()A．a的向心加速度大于b的向心加速度B．四颗卫星的速度大小关系是：va＞vb＞vc＞vdC．在相同时间内d转过的弧长最长D．d的运动周期可能是30h[答案]D[解析]由题意可知，卫星a、c的角速度相同，根据an＝ω2r，可知a的向心加速度小于c；b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝man，得：an＝eq\f(GM,r2)，可知b的向心加速度大于c；综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误。因为a、c的角速度相同，根据v＝ωr，可知a的速度大小小于c，即va＜vc；b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得：v＝eq\r(\f(GM,r))，因rb＜rc＜rd，则vb＞vc＞vd，故B错误。因b的线速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误。c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c，而c的周期是24h，则d的运动周期可能是30h，故D正确。考点二宇宙速度1．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度数值为eq\x(\s\up1(01))7．9km/s。(2)第一宇宙速度是物体在eq\x(\s\up1(02))地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。(3)第一宇宙速度是在地面附近发射飞行器，使飞行器成为绕地球运动的人造地球卫星的最小eq\x(\s\up1(03))发射速度，也是飞行器环绕地球运动的最大eq\x(\s\up1(04))环绕速度。(4)第一宇宙速度的计算方法①由Geq\f(mm地,R2)＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(05))eq\r(\f(Gm地,R))；②由mg＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(06))eq\r(gR)。拓展：第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R、g必须与相应星球对应，不能套用地球的参数。2．第二宇宙速度在地面附近发射飞行器，使飞行器挣脱eq\x(\s\up1(07))地球引力束缚，永远离开地球的最小发射速度，其数值为eq\x(\s\up1(08))11．2km/s。3．第三宇宙速度在地面附近发射飞行器，使飞行器挣脱eq\x(\s\up1(09))太阳引力束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其数值为eq\x(\s\up1(10))16．7km/s。1．地球同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。()2．发射火星探测器的速度必须大于11．2km/s。()答案：1．√2．√例5(2025·八省联考四川卷)我国某研究团队提出以磁悬浮旋转抛射为核心的航天器发射新技术。已知地球和月球质量之比约为81∶1，半径之比约为4∶1。若在地球表面抛射绕地航天器，在月球表面抛射绕月航天器，所需最小抛射速度的比值约为()A．20 B．6C．4．5 D．1．9[答案]C[解析]要抛射航天器，所需要的最小速度为中心天体的第一宇宙速度，对在中心天体表面环绕飞行的航天器，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得中心天体的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，结合题意可得地球和月球的第一宇宙速度之比为eq\f(v地,v月)＝eq\r(\f(M地,M月)×\f(R月,R地))＝eq\r(\f(81,1)×\f(1,4))＝4．5，即所需最小抛射速度的比值约为4．5，故选C。例6第73届国际宇航大会于2022年9月18日至22日在法国巴黎举行，我国“天问一号”火星探测团队获得了2022年度“世界航天奖”。“天问一号”火星探测器的发射速度()A．大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度B．小于第一宇宙速度C．只有达到第三宇宙速度才可以D．大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度[答案]D[解析]火星探测器前往火星，脱离了地球引力束缚，但还是在太阳系内飞行，所以发射速度应该大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度，D正确。考点三相对论时空观与牛顿力学的局限性1．相对论时空观(1)爱因斯坦的两个假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是eq\x(\s\up1(01))相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是eq\x(\s\up1(02))相同的。(2)同时的相对性：根据爱因斯坦的假设，如果两个事件在一个参考系中是同时的，在另一个参考系中eq\x(\s\up1(03))不一定是同时的。(3)爱因斯坦假设的结果①时间延缓效应如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝eq\x(\s\up1(04))eq\f(Δτ,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))\s\up12(2)))。②长度收缩效应如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝eq\x(\s\up1(05))l0eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))\s\up12(2))。2．牛顿力学的成就与局限性(1)牛顿力学的成就牛顿力学的基础是eq\x(\s\up1(06))牛顿运动定律。牛顿力学在eq\x(\s\up1(07))宏观、eq\x(\s\up1(08))低速的广阔领域里与实际相符，显示了牛顿运动定律的正确性和牛顿力学的魅力。(2)牛顿力学的局限性①物体在以接近eq\x(\s\up1(09))光速运动时所遵从的规律，有些是与牛顿力学的结论并不相同的。②电子、质子、中子等微观粒子不仅具有粒子性，同时还具有eq\x(\s\up1(10))波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明，而eq\x(\s\up1(11))量子力学能够很好地描述微观粒子运动的规律。③基于实验检验的牛顿力学不会被新的科学成就所否定，而是作为某些条件下的eq\x(\s\up1(12))特殊情形，被包括在新的科学成就之中。当物体的运动速度eq\x(\s\up1(13))远小于光速c时，eq\x(\s\up1(14))相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别；当另一个重要常数即普朗克常量h可以忽略不计时，eq\x(\s\up1(15))量子力学和牛顿力学的结论没有区别。相对论与量子力学都没有否定过去的科学，而只认为过去的科学是自己在eq\x(\s\up1(16))一定条件下的特殊情形。课时作业[A组基础巩固练]1．(2025·甘肃省天水市高三上月考)2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星，该卫星绕地球做匀速圆周运动，距离地球表面的高度为h。已知地球的质量为M，半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是()A．该卫星的环绕速度为eq\f(\r(GM),R＋h)B．该卫星的加速度大小为eq\f(GM,R＋h)C．该卫星的角速度为eq\r(\f(GM,（R＋h）3))D．该卫星的周期为4π2(R＋h)eq\r(\f(R＋h,GM))答案：C解析：设该卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(v2,R＋h)＝ma＝mω2·(R＋h)，解得该卫星的环绕速度为v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，加速度大小为a＝eq\f(GM,（R＋h）2)，角速度为ω＝eq\r(\f(GM,（R＋h）3))，故A、B错误，C正确；该卫星的周期为T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(（R＋h）3,GM))，故D错误。2．(2024·贵州高考)土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2，且r1≠r2，向心加速度大小分别为a1、a2，则()A．eq\f(a1,r1)＝eq\f(a2,r2) B．eq\f(a1,req\o\al(2,1))＝eq\f(a2,req\o\al(2,2))C．a1r1＝a2r2 D．a1req\o\al(2,1)＝a2req\o\al(2,2)答案：D解析：设土星的质量为M，两颗卫星的质量分别为m1、m2，对于两颗卫星，根据牛顿第二定律分别有Geq\f(Mm1,req\o\al(2,1))＝m1a1，Geq\f(Mm2,req\o\al(2,2))＝m2a2，整理可得a1req\o\al(2,1)＝a2req\o\al(2,2)，故选D。3．(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是()A．质量 B．向心力大小C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小答案：C解析：设地球质量为M，质量为m的物体以半径r绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)。因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小一定相等；由地球对月球及卫星的万有引力分别提供月球及卫星绕地球匀速圆周运动的向心力，并结合题设条件、万有引力定律可知，C正确，A、B、D错误。4．(2025·广东省高三上12月联考)“戴森环”是人类为了解决地球能源危机提出的一种科学构想，它通过一系列搭载太阳能接收器的卫星来接收能量，并且这些卫星布置在同一个绕太阳公转的轨道上。若这些卫星绕太阳公转的轨道是半径为0．4AU(1AU代表地球到太阳中心的距离)的圆周，则下列说法正确的是()A．这些卫星的发射速度要小于11．2km/sB．这些卫星公转的加速度为地球公转加速度的0．4倍C．这些卫星公转的线速度为地球公转线速度的2．5倍D．这些卫星公转的周期约为0．25年答案：D解析：发射的卫星需克服地球的引力，离开地球围绕太阳做圆周运动，卫星的发射速度要大于地球第二宇宙速度11．2km/s，故A错误；对绕太阳公转的星体，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得公转的加速度a＝eq\f(GM,r2)，由题意知这些卫星的轨道半径为地球轨道半径的0．4倍，故这些卫星公转的加速度为地球公转加速度的eq\f(25,4)倍，故B错误；同理，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得星体绕太阳公转的线速度v＝eq\r(\f(GM,r))，则这些卫星公转的线速度为地球公转线速度的eq\f(\r(10),2)倍，故C错误；根据开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，可得这些卫星公转的周期T卫＝0．4eq\s\up6(\f(3,2))T地≈0．25年，故D正确。5．(2023·新课标卷)2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资()A．质量比静止在地面上时小B．所受合力比静止在地面上时小C．所受地球引力比静止在地面上时大D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大答案：D解析：根据相对论可知，物体的质量会随着它运动速度的增大而增大，但物体在低速(速度远小于光速)条件下质量可视为保持不变，即对接后，这批物资的质量和静止在地面上时相同，A错误；对接后，这批物资近似做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，而静止在地面上时所受合力为零，所以对接后，这批物资所受合力比静止在地面上时大，B错误；由万有引力定律可知，对接后，这批物资与地心的距离比静止在地面上时大，则所受地球引力比静止在地面上时小，C错误；物体绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，有eq\f(GMm,r2)＝mω2r，解得角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，对接后，这批物资的轨道半径比地球同步卫星小，因此这批物资做圆周运动的角速度大小比地球同步卫星大，又地球同步卫星做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，故这批物资做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大，D正确。6．(2024·广西贵港市高三下二模)2024年2月23日，“长征五号”遥七运载火箭搭载通信技术试验卫星十一号发射成功，被誉为龙年首发。卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是()A．地球同步卫星可以静止在北京上空B．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的eq\r(\f(1,n))C．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的eq\f(1,n)D．若忽略地球的自转，则同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的eq\f(1,n)答案：B解析：地球同步卫星只会静止在赤道上空，不可能静止在北京上空，故A错误；对于绕地球做匀速圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，则同步卫星的运行速度与第一宇宙速度的比值为eq\f(v同,v1)＝eq\f(\r(\f(GM,nR)),\r(\f(GM,R)))＝eq\r(\f(1,n))，故B正确；同步卫星、地球赤道上物体角速度相同，根据v＝ωr，则同步卫星的运行速度与地球赤道上物体随地球自转获得的速度的比值为eq\f(v同,v物)＝eq\f(ω×nR,ωR)＝n，故C错误；对地球表面质量为m′的物体，根据万有引力与重力的关系有Geq\f(Mm′,R2)＝m′g，对于地球同步卫星，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm同,（nR）2)＝m同a，则同步卫星的向心加速度与地球表面重力加速度的比值eq\f(a,g)＝eq\f(1,n2)，故D错误。7．(2025·河北名校11月联合测评)2024年5月8日，嫦娥六号探测器在北京航天飞行控制中心的精确控制下，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行。嫦娥六号探测器的环月轨道飞行可看作匀速圆周运动，运动周期为T。已知月球质量与地球质量的比值为p，月球半径与地球半径的比值为q，地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，忽略地球和月球的自转，则下列说法正确的是()A．嫦娥六号探测器发射的速度应大于地球的第二宇宙速度小于地球的第三宇宙速度B．嫦娥六号探测器环月轨道距月球表面的高度为eq\r(\f(pgR2T2,4π2))－qRC．月球的第一宇宙速度大小为eq\r(\f(pgR,q))D．月球表面的重力加速度大小为eq\f(qg,p2)答案：C解析：月球是地球的卫星，则环绕月球飞行的嫦娥六号探测器没有脱离地球引力束缚，所以嫦娥六号探测器发射的速度应大于地球的第一宇宙速度小于地球的第二宇宙速度，故A错误；设嫦娥六号探测器环月轨道距月球表面的高度为h，地球质量为M，嫦娥六号探测器质量为m，对在地球表面上质量为m0的物体，忽略地球自转后，万有引力等于重力，有Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，嫦娥六号探测器在环月轨道做匀速圆周运动，有Geq\f(pMm,（qR＋h）2)＝m(qR＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)，联立解得h＝eq\r(3,\f(pgR2T2,4π2))－qR，故B错误；设月球的第一宇宙速度大小为v，对在月球表面环绕飞行、质量为m2的物体，由万有引力提供向心力有Geq\f(pMm2,（qR）2)＝m2eq\f(v2,qR)，联立解得v＝eq\r(\f(pgR,q))，故C正确；对在月球表面上质量为m3的物体，忽略月球自转后，万有引力等于重力，有Geq\f(pMm3,（qR）2)＝m3g月，联立解得月球表面的重力加速度大小g月＝eq\f(pg,q2)，故D错误。8．(2024·北京市昌平区高三下二模)研究表明，2000年来地球自转周期累计慢了2个多小时。假设这种趋势持续下去，地球其他条件不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在相比()A．距地面的高度变小 B．向心加速度变大C．线速度变小 D．角速度变大答案：C解析：对于地球同步卫星，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，距地面的高度变大，故A错误；根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r，解得a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，地球同步卫星轨道半径变大，则向心加速度变小，线速度变小，角速度变小，故C正确，B、D错误。[B组综合提升练]9．(2023·广东高考)如图a所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图b所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G，关于P的公转，下列说法正确的是()A．周期为2t1－t0 B．半径为eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))C．角速度的大小为eq\f(π,t1－t0) D．加速度的大小为eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))答案：B解析：由图b可知，探测器探测到Q的亮度的变化周期为T＝t1－t0，则P的公转周期也为T＝t1－t0，A错误；根据万有引力提供P绕Q做匀速圆周运动的向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得P公转的半径为r＝eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))，故B正确；P公转的角速度大小为ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,t1－t0)，故C错误；P公转的加速度大小为a＝ω2r＝eq\f(2π,t1－t0)eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))，故D错误。10．(2024·河北省张家口市高三下一模)2023年12月26日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭与远征一号上面级，成功发射第五十七颗、五十八颗北斗导航卫星，该组卫星是我国北斗三号全球卫星导航系统建成开通后发射的首组中圆地球轨道卫星(MEO卫星)，MEO卫星运行的周期为T1。已知地球第一宇宙速度为v，近地卫星运行的周期为T2，卫星绕地球的运动视为匀速圆周运动。则该组卫星在轨道上运行的线速度为()A．veq\r(3,\f(T1,T2)) B．veq\r(3,\f(T2,T1))C．eq\f(vT2,T1) D．eq\f(vT1,T2)答案：B解析：对于绕地球做圆周运动的卫星，由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，消去r可得v3T＝2πGM，则该组卫星在轨道上运行的线速度v′满足v3T2＝v′3T1，解得v′＝veq\r(3,\f(T2,T1))，B正确。11．北京时间2019年4月10日晚21点，人类史上首张黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果将大量物质集中于空间一点，其周围会产生奇异的现象，即在质点周围存在一个界面——事件视界面，一旦进入界面，即使光也无法逃脱，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天体周围事件视界面看作球面，球面的半径称为史瓦西半径。已知地球的半径约为6400km，地球的第一宇宙速度为7．9km/s，天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，光速为3．0×108m/s，假设地球保持质量不变收缩成黑洞，则地球黑洞的史瓦西半径最接近()A．1mm B．1cmC．1m D．1km答案：B解析：设地球半径为R，由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mveq\o\al(2,1),R)可知地球的第一宇宙速度v1＝eq\r(\f(GM,R))；当地球收缩成黑洞时，设史瓦西半径为R0，根据题意，这时的第二宇宙速度v2′＝eq\r(2)v1′＝eq\r(\f(2GM,R0))＝c，联立可得R0＝eq\f(2veq\o\al(2,1),c2)R，代入数据得R0≈9×10－3m≈1cm，B正确。12．目前在轨的中国空间站“天和”核心舱是迄今为止我国发射的最大航天器，也是世界上现役航天器中最大的单体。若空间站绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为S。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则空间站的运行速率为()A．eq\f(gR2,2S) B．eq\f(4S2,gR2)C．eq\f(gR2,4S) D．eq\f(2S,gR2)答案：A解析：设空间站的轨道半径为r，质量为m，运行速率为v，地球质量为M，由扇形面积公式可知，单位时间内空间站与地心连线扫过的面积为S＝eq\f(1,2)vr，由万有引力提供向心力可知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，对于质量为m′的物体，其在地球表面受到的重力近似等于地球引力，有m′g＝Geq\f(Mm′,R2)，联立解得v＝eq\f(gR2,2S)，故B、C、D错误，A正确。13．(2023·浙江6月选考)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则()A．木卫一轨道半径为eq\f(n,16)rB．木卫二轨道半径为eq\f(n,2)rC．周期T与T0之比为neq\s\up6(\f(3,2))D．木星质量与地球质量之比为eq\f(Teq\o\al(2,0),T2)n3答案：D解析：对环绕质量为M的行星做圆周运动的质量为m的卫星，设其轨道半径为r′，公转周期为T′，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r′2)＝meq\f(4π2,T′2)r′，可得M＝eq\f(4π2r′3,GT′2)。已知木卫一、木卫二、木卫三均绕木星做圆周运动，周期之比为T1∶T2∶T3＝1∶2∶4，可得木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶eq\r(3,4)∶eq\r(3,16)，又r3＝nr，则木卫一轨道半径为r1＝eq\f(nr,\r(3,16))，木卫二轨道半径为r2＝eq\f(nr,\r(3,16))×eq\r(3,4)＝eq\f(nr,\r(3,4))，故A、B错误；由M＝eq\f(4π2r′3,GT′2)得T′＝eq\r(\f(4π2r′3,GM))，则eq\f(T,T0)＝eq\r(\f(（nr）3,M木))·eq\r(\f(M地,r3))＝neq\s\up6(\f(3,2))eq\r(\f(M地,M木))，C错误；由M＝eq\f(4π2r′3,GT′2)可知，eq\f(M木,M地)＝eq\f(（nr）3,T2)·eq\f(Teq\o\al(2,0),r3)＝eq\f(Teq\o\al(2,0),T2)n3，D正确。[C组拔尖培优练]14．(2025·山东省聊城市临清市实验中学高三上期中)(多选)航天员进入空间站绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程。已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光。如图所示，某航天员在A点测出她对地球的张角为2θ，OA与太阳光平行，下列说法正确的是()A．空间站距地面的高度为eq\f(R,sinθ)－RB．空间站的运行周期为2πReq\r(\f(R,GMsinθ))C．航天员每次经历“日全食”过程的时间为eq\f(2Rθ,sinθ)eq\r(\f(R,GMsinθ))D．航天员每天经历“日全食”的次数为eq\f(T0sinθ,πR)eq\r(\f(GMsinθ,R))答案：AC解析：空间站绕地球做匀速圆周运动，设空间站的轨道半径为r，由几何关系知sinθ＝eq\f(R,r)，空间站距地面的高度为h＝r－R＝eq\f(R,sinθ)－R，故A正确；万有引力提供向心力，则eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，联立解得T＝eq\f(2πR,sinθ)eq\r(\f(R,GMsinθ))，故B错误；地球自转周期为T0，空间站绕地球一圈时间为T，空间站绕地球一圈会有一次“日全食”，因此，一天内空间站经历“日全食”的次数为n＝eq\f(T0,T)＝eq\f(T0sinθ,2πR)eq\r(\f(GMsinθ,R))，D错误；如图所示，由几何关系可知，空间站在每次“日全食”过程的时间内转过的角度α＝2θ，则每次“日全食”过程的时间为t＝eq\f(α,2π)T＝eq\f(2Rθ,sinθ)eq\r(\f(R,GMsinθ))，故C正确。第讲专题：天体运动的三个综合问题考点一天体的“追及相遇”问题1．天体“追及相遇”问题的理解天体“追及相遇”，指两天体在各自轨道绕中心天体公转时，周期性地追赶至相距最近。以地球和太阳系内其他某地外行星为例，某时刻行星与地球最近(“行星冲日”)，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同，如图甲所示，根据eq\f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公转的角速度ω1较大，行星公转的角速度ω2较小，地球与行星的距离再次最小时，地球比行星多转一圈。2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法(1)根据角度关系列式设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)可解得t＝eq\f(2nπ,ω1－ω2)(n＝1，2，3，…)。(2)根据圈数关系列式设从图甲位置至又相距