考点解析人教版9年级数学上册【旋转】综合练习试卷（附答案详解）

人教版9年级数学上册【旋转】综合练习考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（

）A． B．3 C．1 D．22、如图，在钝角中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．平分3、如图，在中，，，D为内一点，分别连接PA、PB、PC，当时，，则BC的值为（

）A．1 B． C． D．24、已知点与点关于原点对称，则点的坐标（

）A． B． C． D．5、如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（

）A． B． C． D．6、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．7、如图，已知正方形的边长为3，点E是边上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接，则当之和取最小值时，的周长为（

）A． B． C． D．8、小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（

）A．15°或45° B．15°或45°或90°C．45°或90°或135° D．15°或45°或90°或135°9、下列命题是真命题的是（

）A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行C．等边三角形是中心对称图形 D．旋转改变图形的形状和大小10、如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12° B．16° C．20° D．24°第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置（点F在正方形ABCD内部），连接DG．若AB＝10，BE＝6，，则CH＝___．2、如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且，以AB为边构造菱形ABEF（点E在x轴正半轴上），将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第27次旋转结束时，点的坐标为________．3、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.4、如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为____________________．5、将点绕原点O顺时针旋转得到点，则点落在第____________象限．6、在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是____________．7、在△ABC中，∠C=90°，cm，cm，绕点C将△ABC旋转使一直角边的另一个端点落在直线AB上一点K，则线段BK的长为_________cm8、已知点与点关于原点对称，则的值为_________．9、如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到EG，连接DG、CG，则DG+CG的最小值为_____．10、若点和关于原点对称，则的值是___________．三、解答题（6小题，每小题5分，共计30分）1、在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为，记旋转角为．(1)如图①，当时，求点的坐标；(2)如图②，当点落在的延长线上时，求点的坐标；(3)当点落在线段上时，求点的坐标（直接写出结果即可）．2、在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）3、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是，FG与直线BC的位置关系是；【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？①请在图2中补全图形；②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AB＝AC=，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．4、如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；(2)已知BH＝7，DH＝17，求BC的长．5、如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．6、在RtABC中，∠ABC＝90°，∠A＝α，O为AC的中点，将点O沿BC翻折得到点，将ABC绕点顺时针旋转，使点B与C重合，旋转后得到ECF．（1）如图1，旋转角为．（用含α的式子表示）（2）如图2，连BE，BF，点M为BE的中点，连接OM，①∠BFC的度数为．（用含α的式子表示）②试探究OM与BF之间的关系．（3）如图3，若α＝30°，请直接写出的值为．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．【详解】解：如图：∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴ΔBFG是等边三角形，∴BF=BG=FG，∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”，∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示：∴∠EBH=60°，∵，∴，EH=3，∴EC=2EH=6，∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴,故选：D．【考点】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．2、D【解析】【分析】根据旋转可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，结合∠BAC=35°，可知∠BAE=35°，则可证得△CAB≌△EAB，即可作答．【详解】根据旋转的性质可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=70°-35°=35°，AC=AE，AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE，故A、B错误，∴∠CAB=∠EAB，∵AC=AE，AB=AB，∴△CAB≌△EAB，∴△EAB≌△EAD∴∠BEA=∠DEA，∴AE平分∠BED，故D正确，∴AD+BE=AB+BE＞AE=AC，故C错误，故选：D．【考点】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，求出∠BAE=35°是解答本题的关键．3、C【解析】【分析】将△BPA顺时针旋转60°，到△BMN处，得到△BPM，△ABN是等边三角形，证明C、P、M、N四点共线，且∠CAN=90°，设BC=x，则AB=BN=2x，AC=，利用勾股定理计算即可．【详解】将△BPA顺时针旋转60°，到△BMN处，则△BPM，△ABN是等边三角形，∠BPM=∠BMP=60°，∠BAN=60°，PM=PB，BA=BN，PA=MN，∵∠CPB=∠BPA=∠APC=∠BMN=120°，∴∠BMP+∠BMN=180°，∠BPC+∠BPM=180°，∴C、P、M、N四点共线，∴CP+PM+MN=CP+PB+PA=，∵∠BAC=30°，∠BAN=60°，∴∠CAN=90°，设BC=x，则AB=BN=2x，AC=，∴，解得x=，x=-，舍去，故选C．【考点】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4、B【解析】【分析】根据关于原点对称点的坐标变化特征直接判断即可．【详解】解：点与点关于原点对称，则点的坐标为，故选：B．【考点】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数．5、C【解析】【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．故选C．【考点】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．6、C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【考点】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7、A【解析】【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，求出DC'=3即可．【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF=DE，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG=AE，∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，∵EG=DA，FG=AE，∴AE=BG，∴BG=FG，∴∠FBG=45°，∴∠CBF=45°，∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，∴C'点在AB的延长线上，当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，∴DC'=3，∴DF+CF的最小值为3，∴此时的周长为．故选：A．【考点】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．8、D【解析】【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．【详解】解：设旋转的度数为α，若DE∥AB，则∠E=∠ABE=90°，∴α=90°-30°-45°=15°，若BE∥AC，则∠ABE=180°-∠A=120°，∴α=120°-30°-45°=45°，若BD∥AC，则∠ACB=∠CBD=90°，∴α=90°，当点C，点B，点E共线时，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE，∴α=180°-45°=135°，综上三角板DEF旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°．故选：D【考点】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．9、B【解析】【分析】由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确；C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、旋转不改变图形的形状和大小，故D错误；故选：B．【考点】本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断．10、A【解析】【分析】根据点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,所以求出点E旋转的角度即可.【详解】解:如图设圆心为O,连接OA,OB,点E落在圆上的点E'处.AB=OA=OB,∠OAB=,同理∠OAE'=,∠EAB=,∠EAO=∠EAB-∠OAB=,∠EAE'=∠OAE'-∠EAO=-=点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,点C旋转的角度为,故选A.【考点】本题主要考查旋转的性质，注意与圆的性质的综合.二、填空题1、【解析】【分析】由“HL”可证，可得，由“AAS”可证，可得，可得，再由勾股定理可求AP、FN、DH，即可求解．【详解】如图，连接AH，过点F作FN⊥CD于点N，FP⊥AD于点P，将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置，，，四边形ABCD是正方形，，，又，，，，，，，，，，FN⊥CD，FP⊥AD，，四边形PDNF是矩形，，，，，，，，故答案为：．【考点】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．2、（2，-2）【解析】【分析】先求出点F坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解．【详解】解：∵点B（2，0），∴OB=2，∴OA=2，∴AB=OA=2，∵四边形ABEF是菱形，∴AF=AB=2，∴点F（2，2），由题意可得每4次旋转一个循环，∴27÷4=6…3，∴点F27的坐标与点F3的坐标一样，在第四象限，如下图，过F3作F3H⊥y轴，∵F3H⊥y轴，AF⊥y轴，∴∠OAF=∠F3HO=90°，∴∠AOF+∠HOF3=90°，∵OF⊥OF3，∴∠AOF+∠AFO=90°，∴∠AFO=∠HOF3，∴△OAF≌△F3HO，∴HF3=OA=2，OH=AF=2，∴F3（2，-2），∴点F27的坐标（2，-2），故答案为：（2，-2）【考点】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定及旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键．3、【解析】【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H，由旋转的性质可得AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=45°，AH=3，进而得∠HAF=30°，继而求出AF长即可求得答案.【详解】过点A作AH⊥DE，垂足为H，∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，∴DE=，∠HAE=∠DAE=45°，∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，∴AF=，∴CF=AC-AF=，故答案为.【考点】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.4、（6053，2）．【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.【详解】第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，1），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，∴P2017（6053，2），故答案为（6053，2）．考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．5、四【解析】【分析】画出图形，利用图象解决问题即可．【详解】解：如图，所以在第四象限，故答案为：四．【考点】本题考查坐标与图形变化—旋转，解题的关键是正确画出图形，属于中考常考题型．6、（3，﹣2）【解析】【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．【详解】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），故答案为（3，﹣2）．【考点】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小．7、3或8【解析】【分析】由勾股定理可求AB的长，由面积可求CH的长，由勾股定理可求AH，BH的长，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB=90°，cm，cm，∴AB=cm，∵S△ABC=×AC×BC=×AB×CH，∴×2=5×CH，∴CH=2cm，∴AH=cm，∴BH=4cm，当点A落在直线AB上时，则AC=CK，∵CH⊥AB，∴KH=AH=1cm，∴BK=5-2=3cm，当点B落在直线AB上时，则CB=CK'，∵CH⊥AB，∴K'H=BH=4cm，∴BK'=8cm，综上所述：BK=3cm或8cm，故答案为：3或8．【考点】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．8、【解析】【分析】根据已知条件求出a，b，代入求值即可；【详解】∵点与点关于原点对称，∴，，∴；故答案是．【考点】本题主要考查了平面直角坐标系点的对称，准确计算是解题的关键．9、【解析】【分析】取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延长线于H．根据菱形的性质，可得△ADB是等边三角形，从而得到△AEN是等边三角形，可证得△AEF≌△NEG，进而得到点G的运动轨迹是射线NG，继而得到GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH和Rt△ECH中，由勾股定理，即可求解．【详解】如图，取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GND＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，∴D，E关于射线NG对称，∴GD＝GE，∴GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH中，∠H＝90°，BE＝1，∠EBH＝60°，∴BH＝BE＝，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝，∴GD+GC≥，∴GD+GC的最小值为．故答案为：．【考点】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．10、-3．【解析】【分析】先求出的值，然后相加即可．【详解】解：点和关于原点对称，则a=-1，b=-2，，故答案为：-3．【考点】本题考查了关于原点对称点的坐标变化规律，解题关键是熟知变化规律，准确进行计算．三、解答题1、（1）点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为．【解析】【分析】(1)过点作轴于根据已知条件可得出AD=6，再直角三角形ADG中可求出DG，AG的长，即可确定点D的坐标.(2)过点作轴于于可得出，根据勾股定理得出AE的长为10，再利用面积公式求出DH，从而求出OG,DG的长，得出答案(3)连接，作轴于G，由旋转性质得到，从而可证，继而可得出结论.【详解】解：(1)过点作轴于，如图①所示：点，点．，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，，在中，，，点的坐标为；(2)过点作轴于于，如图②所示：则，，，，，，，点的坐标为；(3)连接，作轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：，，，，，，在和中，，，，，点的坐标为．【考点】本题考查的知识点是坐标系内矩形的旋转问题，用到的知识点有勾股定理，全等三角形的判定与性质等，做此类题目时往往需要利用数形结合的方法来求解，根据每一个问题做出不同的辅助线是解题的关键.2、见解析.【解析】【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：【考点】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念．3、（1）FG=BD，FG⊥BC；（2）①补全图形见解析；②结论仍然成立，理由见解析；（3）△BDF的面积为或．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质以及中位线定理可得结果；（2）①根据题意画出图形即可；②根据旋转的性质证明△ABD≌△ACE，结合中位线定理证明结论；（3）分两种情况进行讨论：当点D在点B的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别画出图形结合等边三角形的性质解答．【详解】（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵F，G分别是DE，CD的中点，∴FGAD，FG∥AD，∴FGBD，FG⊥BC，故答案为：FGBD，FG⊥BC；（2）①补全图形如图所示；②结论仍然成立，理由如下：如图2，连接CE，∵把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝90°，∵F，G分别是DE，CD的中点，∴FGCEBD，FG∥CE，∴FG⊥BC；（3）当点D在点B的左侧时，如图3﹣1中，作AM⊥BC于M，连接FG，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2，BM＝CM＝AMBC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，∵△AFC是等边三角形，∴AF＝AC＝FC，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，∴∠CAE＝15°＝∠BAD，∴∠ADM＝∠ABC﹣∠BAD＝30°，∴DMAM，∴BD＝DM﹣BM，由（2）的结论可得：FG⊥BC，FGBD，∴△BDF的面积；当点D在点C的右侧时，如图3﹣2中，作AM⊥BC于M，连接FG，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2，BM＝CM＝AMBC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，∠DAF＝45°，∵△AFC是等边三角形，∴AF＝AC＝FC，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，∴∠CAD＝∠CAF﹣∠DAF＝15°，∴∠ADM＝∠ACB﹣∠CAD＝30°，∴DMAM，∴BD＝DM+BM1，由（2）的结论可得：FG⊥BC，FGBD，∴△BDF的面积．综上所述：△BDF的面积为或．【考点】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上性质定理是解本题的关键．4、(1)四边形AFHE是正方形，理由见解析；(2)13．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，∠EAF＝90°，AE＝AF，从而可得四边形AFHE是正方形；（2）连接BD，先在Rt△DHB中利用勾股定理求出BD，再在Rt△BCD中求出BC，即可解答．(1)解：四边形AFHE是正方形，理由：由旋转得：∠AEB＝∠AFD＝90°，∠EAF＝90°，∴∠AFH＝180°﹣∠AFD＝90°，∴四边形AFHE是矩形，由旋转得：AE＝AF，∴四边形