动态规划在多重背包问题中的优化

动态规划在多重背包问题中的优化一、动态规划概述

动态规划（DynamicProgramming,DP）是一种通过将复杂问题分解为更小的子问题并存储子问题解来优化计算效率的算法思想。其核心特点是利用重叠子问题和最优子结构特性，避免重复计算。

（一）动态规划的基本要素

1.最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解。

2.重叠子问题：不同决策路径中存在相同子问题的计算。

3.无后效性：子问题的解仅依赖于其输入，与后续决策无关。

（二）动态规划分类

1.按决策序列划分：递推式（自底向上）和递归式（自顶向下）。

2.按子问题依赖划分：线性DP、树形DP和区间DP。

二、多重背包问题

多重背包问题属于组合优化问题，要求在不超过总容量限制的情况下，选择若干物品以最大化总价值，且每种物品数量有限。

（一）问题描述

-物品集合：\(n\)种物品，每种物品价值为\(v_i\)，重量为\(w_i\)，最多可取\(c_i\)件。

-背包容量：\(W\)。

-目标：最大化背包内物品总价值。

（二）基础解法

1.完全背包变形：将每种物品拆分为\(c_i\)件完全背包物品，转化为完全背包问题。

2.朴素DP：使用三维DP数组记录状态，时间复杂度\(O(nWc)\)。

三、动态规划优化策略

为降低多重背包问题的时间复杂度，可采用以下优化方法。

（一）二进制优化

1.核心思想：将每种物品的取量分解为若干二进制数之和（如最多取5件可表示为1+2+2）。

2.步骤：

(1)对每种物品，用\(\left\lfloor\frac{c_i}{2}\right\rfloor\)个二进制物品替代原物品。

(2)剩余\(c_i\%2\)件单独处理。

(3)剩余部分按原物品处理。

3.复杂度：时间复杂度降为\(O(nW\logc)\)。

（二）滚动数组优化

1.适用场景：当状态转移仅依赖于前一维时（如完全背包）。

2.实现方式：使用一维数组循环覆盖前一维状态，减少空间复杂度。

（三）单调栈优化

1.适用场景：解决多重背包时价值递增或递减导致的重复状态计算。

2.步骤：

(1)对每种物品，按价值从高到低排序。

(2)使用单调栈维护有效状态，避免重复计算。

3.效果：时间复杂度进一步降低至\(O(nW\logn)\)。

四、算法实现示例

（一）初始化

1.定义DP数组：`dp[W+1]`，初始为0。

2.遍历所有物品：按二进制拆分和剩余部分分别处理。

（二）状态转移

1.对每个物品：

-二进制拆分：取\(\left\lfloor\frac{c_i}{2}\right\rfloor\)次循环，每次更新DP数组。

-剩余部分：单独遍历1次，更新DP数组。

（三）代码伪代码

foreachiteminitems:

forkfrom1tofloor(c_i/2):

forjfromWdowntow_i:

ifj>=w_ik:

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w_ik]+v_ik)

forjfromWdowntow_i:

ifj>=w_i(c_i%2):

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w_i(c_i%2)]+v_i(c_i%2))

五、总结

一、动态规划概述

动态规划（DynamicProgramming,DP）是一种通过将复杂问题分解为更小的子问题并存储子问题解来优化计算效率的算法思想。其核心特点是利用重叠子问题和最优子结构特性，避免重复计算。

（一）动态规划的基本要素

1.最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解。这意味着可以通过组合子问题的最优解来构造原问题的最优解。例如，在最长公共子序列问题中，两个序列的最长公共子序列包含了它们各自子序列的最长公共子序列。

2.重叠子问题：不同决策路径中存在相同子问题的计算。这意味着在求解过程中，许多子问题会被重复计算多次。动态规划通过存储这些子问题的解（通常使用数组或哈希表），在后续计算中直接调用，从而避免重复计算。

3.无后效性：子问题的解仅依赖于其输入，与后续决策无关。这意味着在求解子问题时，不需要考虑其解如何影响后续的子问题。这种特性使得动态规划能够高效地解决问题。

（二）动态规划分类

1.按决策序列划分：

-递推式（自底向上）：从最小的子问题开始，逐步求解更大的子问题，直到解决原问题。这种方法通常使用循环来实现。

-递归式（自顶向下）：从原问题开始，通过递归调用求解子问题，直到最小的子问题被解决。为了防止重复计算，通常使用备忘录（memoization）或记忆化数组来存储子问题的解。

2.按子问题依赖划分：

-线性DP：子问题之间存在线性关系，通常用于解决序列问题，如最长递增子序列、最长公共子序列等。

-树形DP：子问题之间存在树形结构，通常用于解决树形结构上的问题，如树形DP中的树形DP问题。

-区间DP：子问题之间存在区间关系，通常用于解决区间问题，如区间最值问题、区间覆盖问题等。

二、多重背包问题

多重背包问题属于组合优化问题，要求在不超过总容量限制的情况下，选择若干物品以最大化总价值，且每种物品数量有限。

（一）问题描述

-物品集合：\(n\)种物品，每种物品价值为\(v_i\)，重量为\(w_i\)，最多可取\(c_i\)件。

-背包容量：\(W\)。

-目标：最大化背包内物品总价值。

（二）基础解法

1.完全背包变形：将每种物品拆分为\(c_i\)件完全背包物品，转化为完全背包问题。具体操作是将每种物品\(i\)拆分为\(c_i\)个完全背包物品，每个物品的价值和重量分别为\(v_i\)和\(w_i\)，然后使用完全背包的解法求解。

2.朴素DP：使用三维DP数组记录状态，时间复杂度\(O(nWc)\)。具体实现如下：

-定义DP数组：`dp[n+1][W+1]`，其中`dp[i][j]`表示前`i`种物品在容量为`j`时的最大价值。

-初始化：`dp[0][0]=0`，其他值为负无穷（表示不可达状态）。

-状态转移：对于每种物品`i`，重量`w_i`，价值和数量`v_i`，最多可取`c_i`件，状态转移方程为：

\[

dp[i][j]=\max(dp[i][j],dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i,dp[i-1][j-2w_i]+2v_i,\ldots,dp[i-1][j-c_i\cdotw_i]+c_i\cdotv_i)

\]

三、动态规划优化策略

为降低多重背包问题的时间复杂度，可采用以下优化方法。

（一）二进制优化

1.核心思想：将每种物品的取量分解为若干二进制数之和（如最多取5件可表示为1+2+2）。这种优化利用了二进制表示的特性，将多重背包问题转化为多个完全背包问题的组合。

2.步骤：

(1)对每种物品，用\(\left\lfloor\frac{c_i}{2}\right\rfloor\)个二进制物品替代原物品。具体操作是，对于每种物品，创建\(\left\lfloor\frac{c_i}{2}\right\rfloor\)个新的物品，每个新物品的重量和值为原物品的一半。

(2)剩余\(c_i\%2\)件单独处理。如果\(c_i\)为奇数，则保留一个原物品。

(3)剩余部分按原物品处理。剩余的原物品直接加入完全背包问题中。

3.复杂度：时间复杂度降为\(O(nW\logc)\)，其中\(\logc\)表示将取量分解为二进制数的次数。

（二）滚动数组优化

1.适用场景：当状态转移仅依赖于前一维时（如完全背包）。滚动数组优化通过使用一维数组循环覆盖前一维状态，减少空间复杂度。

2.实现方式：使用一维数组`dp[W+1]`，在每次处理物品时，从后向前更新数组，以避免覆盖还未使用的前一维状态。具体步骤如下：

-初始化`dp`数组为0。

-对于每种物品`i`，重量`w_i`，价值和数量`v_i`，从`W`到`w_i`，更新`dp[j]`为`max(dp[j],dp[j-w_i]+v_i)`。

3.效果：空间复杂度降为\(O(W)\)，时间复杂度仍为\(O(nWc)\)，但在实际应用中，由于避免了三维数组的内存消耗，性能提升显著。

（三）单调栈优化

1.适用场景：解决多重背包时价值递增或递减导致的重复状态计算。单调栈优化通过维护一个单调栈来记录有效状态，避免重复计算。

2.步骤：

(1)对每种物品，按价值从高到低排序。如果价值相同，则按重量从低到高排序。

(2)使用单调栈维护有效状态。初始时，栈中只有一个元素`[0,W]`，表示容量为`W`时的状态。

(3)对于每个物品，遍历栈中的元素，如果当前物品的重量小于栈顶元素的容量，则将当前物品的价值加到栈顶元素的容量上，并弹出栈顶元素，直到栈顶元素的容量小于当前物品的重量。

(4)将当前物品和新的栈顶元素加入栈中。

3.效果：时间复杂度进一步降低至\(O(nW\logn)\)，其中\(\logn\)表示单调栈的操作次数。

四、算法实现示例

（一）初始化

1.定义DP数组：`dp[W+1]`，初始为0。

2.遍历所有物品：按二进制拆分和剩余部分分别处理。

（二）状态转移

1.对每个物品：

-二进制拆分：取\(\left\lfloor\frac{c_i}{2}\right\rfloor\)次循环，每次更新DP数组。具体步骤如下：

-初始化当前容量`j=W`。

-对于每个二进制物品，从`j`到`w_i`，更新`dp[j]`为`max(dp[j],dp[j-w_i]+v_i)`，然后`j-=w_i`。

-剩余部分：单独遍历1次，更新DP数组。具体步骤如下：

-初始化当前容量`j=W`。

-如果`c_i`为奇数，则从`j`到`w_i`，更新`dp[j]`为`max(dp[j],dp[j-w_i]+v_i)`，然后`j-=w_i`。

（三）代码伪代码

foreachiteminitems:

forkfrom1tofloor(c_i/2):

j=W

whilej>=w_i:

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w_i]+v_i2)

j-=w_i2

ifc_i%2==1:

j=W

whilej>=w_i:

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w_i]+v_i)

j-=w_i

五、总结

动态规划在多重背包问题中的优化主要通过二进制优化、滚动数组优化和单调栈优化来实现。这些优化方法能够显著降低算法的时间复杂度，提高求解效率。在实际应用中，可以根据问题的规模和特点选择合适的优化策略。通过合理设计DP数组和状态转移方程，可以高效地解决多重背包问题。

一、动态规划概述

动态规划（DynamicProgramming,DP）是一种通过将复杂问题分解为更小的子问题并存储子问题解来优化计算效率的算法思想。其核心特点是利用重叠子问题和最优子结构特性，避免重复计算。

（一）动态规划的基本要素

1.最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解。

2.重叠子问题：不同决策路径中存在相同子问题的计算。

3.无后效性：子问题的解仅依赖于其输入，与后续决策无关。

（二）动态规划分类

1.按决策序列划分：递推式（自底向上）和递归式（自顶向下）。

2.按子问题依赖划分：线性DP、树形DP和区间DP。

二、多重背包问题

多重背包问题属于组合优化问题，要求在不超过总容量限制的情况下，选择若干物品以最大化总价值，且每种物品数量有限。

（一）问题描述

-物品集合：\(n\)种物品，每种物品价值为\(v_i\)，重量为\(w_i\)，最多可取\(c_i\)件。

-背包容量：\(W\)。

-目标：最大化背包内物品总价值。

（二）基础解法

1.完全背包变形：将每种物品拆分为\(c_i\)件完全背包物品，转化为完全背包问题。

2.朴素DP：使用三维DP数组记录状态，时间复杂度\(O(nWc)\)。

三、动态规划优化策略

为降低多重背包问题的时间复杂度，可采用以下优化方法。

（一）二进制优化

1.核心思想：将每种物品的取量分解为若干二进制数之和（如最多取5件可表示为1+2+2）。

2.步骤：

(1)对每种物品，用\(\left\lfloor\frac{c_i}{2}\right\rfloor\)个二进制物品替代原物品。

(2)剩余\(c_i\%2\)件单独处理。

(3)剩余部分按原物品处理。

3.复杂度：时间复杂度降为\(O(nW\logc)\)。

（二）滚动数组优化

1.适用场景：当状态转移仅依赖于前一维时（如完全背包）。

2.实现方式：使用一维数组循环覆盖前一维状态，减少空间复杂度。

（三）单调栈优化

1.适用场景：解决多重背包时价值递增或递减导致的重复状态计算。

2.步骤：

(1)对每种物品，按价值从高到低排序。

(2)使用单调栈维护有效状态，避免重复计算。

3.效果：时间复杂度进一步降低至\(O(nW\logn)\)。

四、算法实现示例

（一）初始化

1.定义DP数组：`dp[W+1]`，初始为0。

2.遍历所有物品：按二进制拆分和剩余部分分别处理。

（二）状态转移

1.对每个物品：

-二进制拆分：取\(\left\lfloor\frac{c_i}{2}\right\rfloor\)次循环，每次更新DP数组。

-剩余部分：单独遍历1次，更新DP数组。

（三）代码伪代码

foreachiteminitems:

forkfrom1tofloor(c_i/2):

forjfromWdowntow_i:

ifj>=w_ik:

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w_ik]+v_ik)

forjfromWdowntow_i:

ifj>=w_i(c_i%2):

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w_i(c_i%2)]+v_i(c_i%2))

五、总结

一、动态规划概述

动态规划（DynamicProgramming,DP）是一种通过将复杂问题分解为更小的子问题并存储子问题解来优化计算效率的算法思想。其核心特点是利用重叠子问题和最优子结构特性，避免重复计算。

（一）动态规划的基本要素

1.最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解。这意味着可以通过组合子问题的最优解来构造原问题的最优解。例如，在最长公共子序列问题中，两个序列的最长公共子序列包含了它们各自子序列的最长公共子序列。

2.重叠子问题：不同决策路径中存在相同子问题的计算。这意味着在求解过程中，许多子问题会被重复计算多次。动态规划通过存储这些子问题的解（通常使用数组或哈希表），在后续计算中直接调用，从而避免重复计算。

3.无后效性：子问题的解仅依赖于其输入，与后续决策无关。这意味着在求解子问题时，不需要考虑其解如何影响后续的子问题。这种特性使得动态规划能够高效地解决问题。

（二）动态规划分类

1.按决策序列划分：

-递推式（自底向上）：从最小的子问题开始，逐步求解更大的子问题，直到解决原问题。这种方法通常使用循环来实现。

-递归式（自顶向下）：从原问题开始，通过递归调用求解子问题，直到最小的子问题被解决。为了防止重复计算，通常使用备忘录（memoization）或记忆化数组来存储子问题的解。

2.按子问题依赖划分：

-线性DP：子问题之间存在线性关系，通常用于解决序列问题，如最长递增子序列、最长公共子序列等。

-树形DP：子问题之间存在树形结构，通常用于解决树形结构上的问题，如树形DP中的树形DP问题。

-区间DP：子问题之间存在区间关系，通常用于解决区间问题，如区间最值问题、区间覆盖问题等。

二、多重背包问题

多重背包问题属于组合优化问题，要求在不超过总容量限制的情况下，选择若干物品以最大化总价值，且每种物品数量有限。

（一）问题描述

-物品集合：\(n\)种物品，每种物品价值为\(v_i\)，重量为\(w_i\)，最多可取\(c_i\)件。

-背包容量：\(W\)。

-目标：最大化背包内物品总价值。

（二）基础解法

1.完全背包变形：将每种物品拆分为\(c_i\)件完全背包物品，转化为完全背包问题。具体操作是将每种物品\(i\)拆分为\(c_i\)个完全背包物品，每个物品的价值和重量分别为\(v_i\)和\(w_i\)，然后使用完全背包的解法求解。

2.朴素DP：使用三维DP数组记录状态，时间复杂度\(O(nWc)\)。具体实现如下：

-定义DP数组：`dp[n+1][W+1]`，其中`dp[i][j]`表示前`i`种物品在容量为`j`时的最大价值。

-初始化：`dp[0][0]=0`，其他值为负无穷（表示不可达状态）。

-状态转移：对于每种物品`i`，重量`w_i`，价值和数量`v_i`，最多可取`c_i`件，状态转移方程为：

\[

dp[i][j]=\max(dp[i][j],dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i,dp[i-1][j-2w_i]+2v_i,\ldots,dp[i-1][j-c_i\cdotw_i]+c_i\cdotv_i)

\]

三、动态规划优化策略

为降低多重背包问题的时间复杂度，可采用以下优化方法。

（一）二进制优化

1.核心思想：将每种物品的取量分解为若干二进制数之和（如最多取5件可表示为1+2+2）。这种优化利用了二进制表示的特性，将多重背包问题转化为多个完全背包问题的组合。

2.步骤：

(1)对每种物品，用\(\left\lfloor\frac{c_i}{2}\right\rfloor\)个二进制物品替代原物品。具体操作是，对于每种物品，创建\(\left\lfloor\frac{c_i}{2}\right\rfloor\)个新的物品，每个新物品的重量和值为原物品的一半。

(2)剩余\(c_i\%2\)件单独处理。如果\(c_i\)为奇数，则保留一个原物品。

(3)剩余部分按原物品处理。剩余的原物品直接加入完全背包问题中。

3.复杂度：时间复杂度降为\(O(nW\logc)\)，其中\(\logc\)表示将取量分解为二进制数的次数。

（二）滚动数组优化

1.适用场景：当状态转移仅依赖于前一维时（如完全背包）。滚动数组优化通过使用一维数组循环覆盖前一维状态，减少空间复杂度。

2.实现方式：使用一维数组`dp[W+1]`，在每次处理物品时，从后向前更新数组，以避免覆盖还未使用的前一维状态。具体步骤如下：

-初始化`dp`数组为0。

-对于每种物品`i`，重量`w_i`，价值和数量`v_i`，从`W`到`w_i`，更新`dp[j]`为`max(dp[j],dp[j-w_i]+v_i)`。

3.效果：空间复杂度降为\(O(W)\)，时间复杂度仍为\(O(nWc)\)，但在实际应用中，由于避免了三维数组的内存消耗，性能提升显著。

（三）单调栈优化

1.适用场景：解决多重背包时价值递增或递减导致的重复状态计算。单调栈优化通过维护一个单调栈来记录有效状态，避免重复计算。

2.步骤：

(1)对每种物品，按价值从高到低排序。如果价值相同，则按重量从低到高排序。

(2)使用单调栈维护有效状态。初始时，栈中只有一个元素`[0,W]`