2025年福建省福鼎市中考数学考试彩蛋押题及1套完整答案详解

福建省福鼎市中考数学考试彩蛋押题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题25分）一、单选题（5小题，每小题2分，共计10分）1、定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（

）A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根2、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）A． B． C． D．3、把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（

）A． B． C． D．4、一个黑色布袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外其它都相同，从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是（）A． B． C． D．5、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）A．80° B．70° C．60° D．50°二、多选题（5小题，每小题3分，共计15分）1、下列关于x的一元二次方程中，没有两个不相等的实数根的方程是（

）A． B． C． D．2、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论中正确的是（）A．b2﹣4ac＜0B．当x＞﹣1时，y随x增大而减小C．a+b+c＜0D．若方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2E．3a+c＜03、下列各组图形中，由左边变成右边的图形，分别进行了平移、旋转、轴对称、中心对称等变换，其中进行了旋转变换的是（

）组，进行轴对称变换的是（

）．A． B． C． D．4、关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题，其中正确的命题是（）A．当c=0时，函数的图象经过原点；B．当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；C．函数图象最高点的纵坐标是；D．当b=0时，函数的图象关于y轴对称．5、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），其对称轴为直线x＝﹣1，下列结论正确的是（

）A．a+b+c＜0B．abc＜0C．2a+b＝0D．若P（﹣6，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则﹣6＜m＜4第Ⅱ卷（非选择题75分）三、填空题（5小题，每小题3分，共计15分）1、在一个布袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个红球的概率是________．2、如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留）3、如图，在等腰直角中，已知，将绕点逆时针旋转60°，得到，连接，若，则________．4、如图，正三角形ABC的边长为，D、E、F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，长为半径作圆，图中阴影部分面积为______．5、如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．四、简答题（2小题，每小题10分，共计20分）1、定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形中，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”；（2）如图2，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长．2、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD＝∠BAC．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；③连接BP交AC于点D．线段BD就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接PC．∵AB＝AC，∴点C在⊙A上．∵点P在⊙A上，∴∠CPB＝∠BAC．（）（填推理的依据）∵BC＝PC，∴∠CBD＝．（）（填推理的依据）∴∠CBD＝∠BAC．五、解答题（4小题，每小题10分，共计40分）1、如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．从左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的平面图形．2、如图，已知在中，，D、E是BC边上的点，将绕点A旋转，得到，连接．（1）当时，时，求证：；（2）当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．（3）在（2）的结论下，当，BD与DE满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）3、如图，是的弦，是上的一点，且，于点，交于点．若的半径为6，求弦的长．4、为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.【详解】解：根据新运算法则可得：，则即为，整理得：，则，可得：，；，方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.【考点】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.2、A【分析】如图，记过A，G，H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点，记的交点为的交点为延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：再设利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：如图，记过A，G，H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点，记的交点为的交点为延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：四边形为正方形，则设而AB＝2，CD＝3，EF＝5，结合正方形的性质可得：而又而解得：故选A【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G，H三点的圆的圆心是解本题的关键.3、A【解析】【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，1），∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标是（1，3）∴所得抛物线解析式是．故选：A．【考点】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．4、D【分析】根据随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A），进行计算即可．【详解】解：∵一个黑色布袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外其它都相同，∴抽到每个球的可能性相同，∴布袋中任意摸出1个球，共有5种可能，摸到白球可能的次数为2次，摸到白球的概率是，∴P（白球）．故选：D．【点睛】本题考查了随机事件概率的求法，熟练掌握随机事件概率公式是解题关键．5、A【分析】根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．【详解】证明：∵绕点C逆时针旋转得到，∴，，∴∠ADC=∠DAC，∵点A，D，E在同一条直线上，∴，∴∠DAC=50°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°故选A．【点睛】本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．二、多选题1、ABC【解析】【分析】根据根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号，可以判定个方程实数根的情况，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：A、∵Δ=b2-4ac=02-4×1×4=-16＜0，∴此方程没有实数根，故本选项符合题意；B、∵Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×4=0，∴此方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；C、∵Δ=b2-4ac=12-4×1×3=-11＜0，∴此方程没有实数根，故本选项符合题意；D、∵Δ=b2-4ac=22-4×1×（-1）=8>0，∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；故选：ABC．【考点】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．2、BCDE【解析】【分析】利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．【详解】∵二次函数与x轴有两个交点，∴b²-4ac＞0，故A错误，观察图象可知：当x＞-1时，y随x增大而减小，故B正确，∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，∴x=1时，y=a+b+c＜0，故C正确，∵当m＞2时，抛物线与直线y=m没有交点，∴方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，故D正确，∵对称轴x=-1=，∴b=2a，∵a+b+c＜0，∴3a+c＜0，故E正确，故答案为BCDE．【考点】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3、AC【解析】【分析】旋转是一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，各对应点之间的位置关系也保持不变；在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴．据此即可解答．【详解】由旋转是一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，各对应点之间的位置关系也保持不变，分析可得，进行旋转变换的是A；左边图形能轴对称变换得到右边图形，则进行轴对称变换的是C；根据平移是将一个图形从一个位置变换到另一个位置，各对应点间的连线平行，分析可得，D是平移变化；故答案为：A；C．【考点】本题考查了几何变换的定义，注意结合几何变换的定义，分析图形的位置的关系，特别是对应点之间的关系．4、ABD【解析】【分析】根据c与0的关系判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的情况；根据顶点坐标与抛物线开口方向判断函数的最值；根据函数y＝ax2＋c的图象与y＝ax2图象相同，判断函数y＝ax2＋c的图象对称轴．【详解】解：A.c是二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点，所以当c＝0时，函数的图象经过原点；B.c＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点在y轴的正半轴，又因为函数的图象开口向下，所以方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；C.当a＜0时，函数图象最高点的纵坐标是；当a＞0时，函数图象最低点的纵坐标是；由于a值不定，故无法判断最高点或最低点；D.当b＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c变为y＝ax2＋c，又因为y＝ax2＋c的图象与y＝ax2图象相同，所以当b＝0时，函数的图象关于y轴对称．故选：ABD．【考点】二次函数y＝ax2＋bx＋c最值，掌握当a＜0时，函数的最大值是；当a＞0时，函数的最小值是是解题关键．5、ABD【解析】【分析】根据题意可得点A（﹣4，0）关于对称轴的对称点，从而得到当时，，再由，可得在对称轴右侧随的增大而增大，从而得到当时，；根据图象可得，，可得；再由，可得；然后根据P（﹣6，y1）关于对称轴的对称点，可得当y1＞y2时，﹣6＜m＜4，即可求解．【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），其对称轴为直线x＝﹣1，∴点A（﹣4，0）关于对称轴的对称点，即当时，，∵抛物线开口向上，∴，∴在对称轴右侧随的增大而增大，∴当时，，故A正确；∵抛物线与交于负半轴，∴，∵对称轴为直线x＝﹣1，，∴，即，∴，故B正确；∵，∴，故C错误；∵P（﹣6，y1）关于对称轴的对称点，∴当y1＞y2时，﹣6＜m＜4，故D正确．故选：ABD【考点】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．三、填空题1、【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，摸到的两个球颜色红色的结果有2个，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果，摸到的两个红球的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查列表法或画树状图求概率，解题的关键是准确画出树状图或列出表格．2、【解析】【分析】由，根据圆周角定理得出，根据S阴影=S扇形AOB－可得出结论．【详解】解：∵，∴，∴S阴影=S扇形AOB－，故答案为：．【考点】本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．3、【分析】如图连接并延长，过点作交于点，，由题意可知为等边三角形，，，在中；在中计算求解即可．【详解】解：如图连接并延长，过点作交于点，由题意可知，，为等边三角形在中在中故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形，勾股定理，含的直角三角形等知识．解题的关键在于做辅助线构造直角三角形．4、【分析】阴影部分的面积等于等边三角形的面积减去三个扇形面积，而这三个扇形拼起来正好是一个半径为半圆的面积，即阴影部分面积=等边三角形面积−半径为半圆的面积，因此求出半圆面积，连接AD，则可求得AD的长，从而可求得等边三角形的面积，即可求得阴影部分的面积．【详解】连接AD，如图所示则AD⊥BC∵D点是BC的中点∴由勾股定理得∴∵S半圆=∴S阴影=S△ABC−S半圆故答案为：【点睛】本题是求组合图形的面积，扇形面积及三角形面积的计算．关键是把不规则图形面积通过割补转化为规则图形的面积计算．5、【分析】过O作OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，然后由OA=OB，且∠AOB为直角，得到三角形OAB为等腰直角三角形，由斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边OA的长即可；再由C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形OAC中，由OA及AC的长，利用勾股定理即可求出OC的长，即为O点到AB的距离．【详解】解：过O作OC⊥AB，则有C为AB的中点，∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=a，∴根据勾股定理得：OA2+OB2=AB，∴OA=，在Rt△AOC中，OA=，AC=AB=，根据勾股定理得：OC==．故答案为：；【点睛】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据近垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．四、简答题1、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的，得到，过点E作，可得出EQ，根据即可求解；【详解】（1）证明：∵，平分，∴，∴．∵，∴．，∴∴是四边形ABCD的“相似对角线”．（2）∵是四边形EFGH的“相似对角线”，∴三角形EFH与三角形HFG相似．又，∴，∴，∴．过点E作，垂足为．则．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键．2、（1）见解析；（2）圆周角定理；，圆周角定理的推论【解析】【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据圆周角定理得到，再利用等腰三角形的性质得到，从而得到．【详解】解：（1）如图，为所作；（2）证明：连接，如图，，点在上．点在上，（圆周角定理），，（圆周角定理的推论）．故答案为：圆周角定理；；圆周角定理的推论．【考点】本题考查了作图复杂作图、也考查了圆周角定理，解题的关键是掌握复杂作图的五种基本作图的基本方法，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．五、解答题1、见解析【分析】根据几何体的三视图画法作图．【详解】解：如图，．【点睛】此题考查了画小正方体组成的几何体的三视图，正确掌握几何体的三视图的画图方法是解题的关键．2、（1）见解析；（2）∠DAE＝∠BAC，见解析；（3）DE＝BD，见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠D′AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AD′E全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据旋转的性质可得AD＝AD′，再利用“边边边”证明△ADE和△AD′E全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠D′AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解；（3）求出∠D′CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得D′E＝CD′，再根据旋转的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，∴AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D′AE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC−∠DAE＝120°−60°＝60°，∴∠DAE＝∠D′AE，在△ADE和△AD′E中，，∴△ADE≌△AD′E（SAS），∴DE＝D′E；（2）解：∠DAE＝∠BAC．理由如下：在△ADE和△AD′E中，，∴△ADE≌△AD′E（SSS），∴∠DAE＝∠D′AE，∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠BAC；（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°，∴∠D′CE＝45°＋45°＝90°，∵△D′EC是等腰直角三角形，∴D′E＝CD′，由（2）DE＝D′E，