2025山东省荣成市中考数学常考点试卷带答案详解（培优A卷）

山东省荣成市中考数学常考点试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题25分）一、单选题（5小题，每小题2分，共计10分）1、在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为（）A．12个 B．9个 C．6个 D．3个2、下列各点中，关于原点对称的两个点是（）A．（﹣5，0）与（0，5） B．（0，2）与（2，0）C．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1） D．（2，﹣1）与（﹣2，1）3、把四张扑克牌所摆放的顺序与位置如下，小杨同学选取其中一张扑克牌把他颠倒后在放回原来的位置，那么扑克牌的摆放顺序与位置都没变化，那么小杨同学所选的扑克牌是（

）A． B． C． D．4、正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为(

)A． B． C． D．5、为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．身高人数60260550130根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（

）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87二、多选题（5小题，每小题3分，共计15分）1、如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是（

）A． B．方程有两个相等的实根C． D．点P到直线AB的最大距离2、如图，二次函败y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论中正确的有（）A．abc＜0 B．2a+b=0 C．3a+2c＞0 D．对于任意x均有ax2﹣a+bx﹣b≥03、已知直角三角形的两条边长恰好是方程的两个根，则此直角三角形斜边长是（

）A． B． C．3 D．54、下面一元二次方程的解法中，不正确的是（

）A．(x-3)(x-5)=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．(2-5x)+(5x-2)2=0，∴(5x-2)(5x-3)=0，∴x1=，x2=C．(x+2)2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x两边同除以x，得x=15、下列说法不正确的是（

）A．经过三个点有且只有一个圆B．经过两点的圆的圆心是这两点连线的中点C．钝角三角形的外心在三角形外部D．等腰三角形的外心即为其中心第Ⅱ卷（非选择题75分）三、填空题（5小题，每小题3分，共计15分）1、如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点，则_____度．2、有五张正面分别标有数字，，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，将该卡片放回洗匀后从中再任取一张，将该卡片上的数字记为，则为非负数的概率为________．3、要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米?设AB=x米，根据题意可列出方程的为_________．4、皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是______（填写“平行投影”或“中心投影”）5、关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．四、简答题（2小题，每小题10分，共计20分）1、定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形中，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”；（2）如图2，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长．2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC=2，tan∠AOC=1．(1)求反比例函数解析式；(2)点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC-PD|最大时a的值；(3)连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．五、解答题（4小题，每小题10分，共计40分）1、如图，和中，，，，连接，点M，N，P分别是的中点．（1）请你判断的形状，并证明你的结论．（2）将绕点A旋转，若，请直接写出周长的最大值与最小值．2、一个二次函数y=（k﹣1）．求k值．3、如图，已知AB是⊙O的直径，，连接OC，弦，直线CD交BA的延长线于点．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若，，求OC的长．4、受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A、B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）A型600900200B型8001200400根据市场行情，该销售商对A手写板降价销售，同时对B手写板提高售价，此时发现A手写板每降低5就可多卖1，B手写板每提高5就少卖1，要保持每天销售总量不变，设其中A手写板每天多销售x，每天总获利的利润为y（1）求y、x间的函数关系式并写出x取值范围；（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B手写板，就捐a元给因“新冠疫情”影响的困难家庭，当时，每天的最大利润为229200元，求a的值．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【详解】解：∵口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，∴口袋中球的总数为：4÷=12（个）．故选A．2、D【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：A、（﹣5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故A错误；B、（0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故B错误；C、（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）关于x轴对称，故C错误；D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．3、D【解析】【分析】根据题意，图形是中心对称图形即可得出答案．【详解】由题意可知，图形是中心对称图形，可得答案为D，故选：D．【考点】本题考查了图形的中心对称的性质，掌握中心图形的性质是解题的关键．4、C【解析】【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．【详解】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，∴y=（x+4）2-16=x2+8x，故选：C．【考点】本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．5、C【解析】【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．【考点】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．二、多选题1、BCD【解析】【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系、坐标系内直线的平移、利用配方法求二次三项式的最值即可一一判断．【详解】解：由图象可知，，则，故A选项错误；由图象可知，直线与抛物线只有一个交点，则方程有两个相等的实根，故B选项正确；当时，抛物线由最大值，则，即，故C选项正确；设直线AB的表达式为，且A（1，3），B（4，0）在直线上，则，解得，，即，由抛物线的对称轴为得，则，即，又A（1，3），B（4，0）在抛物线上，则，解得，，将直线向上平移与抛物线有一个交点时至，要求点P到直线AB的最大距离，即点P为直线与抛物线的交点，过点作于，轴，如图所示，由直线AB可得，为等腰直角三角形，又直线由直线平移得到，且轴，,,是等腰直角三角形，由平移的性质可设直线的表达式为，当与抛物线有一个交点时，即，整理得，由于只有一个交点，则，解得，即直线AB向上平移了：，则，则，点P到直线AB的最大距离，故D选项正确，故选BCD．【考点】本题考查了二次函数的图象及性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系、平面直角坐标系内直线的平移，解题的关键学会利用函数图象解决问题，灵活运用相关知识解决问题，本题难点在于要求抛物线上的点到直线的最大距离即求直线平移至与抛物线有一个交点时交点到直线的距离．2、BD【解析】【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线与x轴的交点问题和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，即-=1，所以b=-2a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对A进行判断；利用b=-2a可对B进行判断；由于x=-1时，y=0，所以a-b+c=0，则c=-3a，3a+2c=-3a＜0，于是可对C进行判断；根据二次函数性质，x=1时，y的值最小，所以a+b+c≤ax2+bx+c，于是可对D进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与x轴的交点的坐标分别为（-1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=1，即-=1，∴b=-2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以A错误；∵b=-2a，∴2a+b=0，所以B正确；∵x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，即a+2a+c=0，∴c=-3a，∴3a+2c=3a-6a=-3a＜0，所以C错误；∵x=1时，y的值最小，∴对于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c，即ax2-a+bx-b≥0，所以D正确．故选：BD．【考点】本题考查了二次函数与不等式（组）：函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围；利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．3、AC【解析】【分析】先解出一元二次方程，再根据勾股定理计算即可；【详解】，，∴或，当2、3是直角边时，斜边；∵，∴3可以是三角形斜边；故选AC．【考点】本题主要考查了一元二次方程的求解、勾股定理，准确计算是解题的关键．4、ACD【解析】【分析】各方程求出解，即可作出判断．【详解】解：A、方程整理得：x2-8x-5=0，这里a=1，b=-8，c=-5，∵△=64+20=84，∴，故选项A符合题意；B、提取公因式得：（2-5x）（1+2-5x）=0，解得：x1=，x2=，故选项B不符合题意；C、方程整理得：x2+8x+4=0，解得：，故选项C符合题意；D、方程整理得：x2-x=0，即x（x-1）=0，解得：x1=0，x2=1，故选项D符合题意，故选：ACD．【考点】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5、ABD【解析】【分析】A.根据确定圆的条件求解即可；B.根据确定圆心的方法求解即可；C.根据三角形外心的性质求解即可；D.根据三角形外心的性质求解即可；【详解】解：A、如果三个点在一条直线上，不存在经过这三个点的圆，故选项错误，符合题意；B、经过两点的圆的所有圆心在两点连线的垂直平分线上，不仅仅是这两点连线的中点，故选项错误，符合题意；C、钝角三角形的外心是三边垂直平分线的交点，在三角形外部，选项正确，不符合题意；D、等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不是其中心，故选项错误，符合题意；故选：ABD．【考点】此题考查了确定圆的条件，确定圆心的方法，三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件，确定圆心的方法，三角形的外心．三、填空题1、【解析】【分析】先连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案.【详解】如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，∵，的垂直平分线交于点，∴点是旋转中心，∵，∴旋转角.故答案为.【考点】本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.2、【分析】求出为负数的事件个数，进而得出为非负数的事件个数，然后求解即可．【详解】解：两次取卡片共有种可能的事件；两次取得卡片数字乘积为负数的事件为等8种可能的事件∴为非负数共有种∴为非负数的概率为故答案为：．【点睛】本题考查了列举法求随机事件的概率．解题的关键在于求出事件的个数．3、x（100-4x）=400【解析】【分析】由题意，得BC的长为（100-4x）米，根据矩形面积列方程即可.【详解】解：设AB为x米，则BC的长为（100-4x）米由题意，得x（100-4x）=400故答案为：x（100-4x）=400.【考点】本题主要考查了一元二次方程的实际问题，解决问题的关键是通过图形找到对应关系量，根据等量关系式列方程.4、中心投影【分析】根据平行投影和中心投影的定义解答即可．【详解】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影．故答案是中心投影．【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．5、且【解析】【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，还要使二次项系数不为0．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴解得：，又二次项系数故答案为且【考点】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.四、简答题1、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的，得到，过点E作，可得出EQ，根据即可求解；【详解】（1）证明：∵，平分，∴，∴．∵，∴．，∴∴是四边形ABCD的“相似对角线”．（2）∵是四边形EFGH的“相似对角线”，∴三角形EFH与三角形HFG相似．又，∴，∴，∴．过点E作，垂足为．则．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键．2、(1)(2)|PC−PD|最大时a的值为6(3)存在，点M的坐标为（，）【解析】【分析】（1）先确定出OE=CE=2，即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先求出OC解析式，由平行四边形的性质可得BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，利用待定系数法可求AB解析式，求出点D的坐标，再根据三角形关系可得出当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|最大，求出直线CD的解析式，令y=0即可求解；（3）若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形且AC为一条直角边，根据直角顶点需要分两种情况，画出图形分别求解即可．(1)解：如图1，过点C作CE⊥x轴于E，∴∠CEO=90°，∵tan∠AOC=1，∴∠COA=45°，∴∠OCE=45°，∵OC=2，∴OE=CE=2，∴C（2，2），∵点C在反比例函数图象上，∴k=2×2=4，∴反比例函数解析式为y=；(2)解：∵点C（2，2），点O（0，0），∴OC解析式为：y=x，∵四边形OABC是平行四边形，点A坐标为（3，0），∴BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，∴点B（5，2），∴设AB解析式为：y=x+b，∴2=5+b，∴b=-3，∴AB解析式为：y=x-3，联立方程组可得：，∴或（舍去），∴点D（4，1）；在△PCD中，|PC-PD|＜CD，则当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|=CD，此时，|PC-PD|取得最大值，由（1）知C（2，2），D（4，1），设直线CD的解析式为：y=mx+n，∴，解得，∴直线CD的解析式为：y=x+3，令y=0，即x+3=0，得x=6，∴|PC-PD|最大时a的值为6；(3)（3）存在，理由如下：若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形，则①当点A为直角顶点时，如图2，过点A作AC的垂线与y=交于点M，分别过点C，M作x轴的垂线，垂足分别为点F，G，由“一线三等角”模型可得△AFC∽△MGA，则AF：MG=CF：AG，∵C（2，2），A（3，0），∴OF=CF=2，AF=1，∴1：MG=2：AG，即MG：AG=1：2，设MG=t，则AG=2t，∴M（2t+3，t），∵点M在反比例函数y=的图象上，则t（2t+3）=4，解得t=，（负值舍去），∴M（，）；②当点C为直角顶点时，这种情况不成立；综上，点M的坐标为（，）．【考点】本题考查了反比例函数综合问题，涉及矩形的判定与性质，相似三角形的性质与判定．第一问的关键是求出点C的坐标，第二问的关键是知道当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|取得最大值，第三问的关键是利用矩形的内角是直角进行分类讨论，利用相似三角形的性质建立等式．五、解答题1、（1）是等腰直角三角形，证明见解析（2）周长最小值为。最大值为【分析】（1）连接BD，CE，根据SAS证明得BD=CE，根据三角形中位线性质可证明PM=PN；，进而可得结论；（2）当BD最小时即点D在AB上，此时周长最小，当点D在BA的延长线上时，BD最大，此时周长最大，均为，求出BD的长即可解决问题．（1）连接BD，CE，如图，∵，，，∴∴∴∴BD=CE，∵点M，N，P分别是的中点∴//，，PN//BD，PN=BD∴PM=PN，∵PN//BD∴∠PNC=∠DBC∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECA+∠ACD+∠PCN+∠PNC=∠ACB+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=90°∴∴是等腰直角三角形；（2）由（1）知，是等腰直角三角形∴∴的周长为∵∴的周长为当BD最小时即点D在AB上，此时周长最小，∵AB=8，AD=3∴BD的最小值为AB-AD=8-3=5∴周长