八年级数学等腰三角形导学案详解

八年级数学等腰三角形导学案详解各位同学，大家好。今天我们一同深入学习等腰三角形这一重要的几何图形。等腰三角形在我们的生活中随处可见，它不仅具有独特的对称美，更蕴含着丰富的数学性质与判定方法。掌握好等腰三角形，对于我们后续学习更复杂的几何知识，乃至培养逻辑推理能力，都至关重要。这份导学案将引领大家一步步揭开等腰三角形的面纱，希望大家能主动思考，积极参与。一、认识等腰三角形：从定义出发我们研究任何几何图形，通常都是从定义开始。那么，什么是等腰三角形呢？1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。在这个定义中，我们要抓住核心要素：“两边相等”。这两条相等的边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。（请同学们在笔记本上画一个等腰三角形，并标出它的腰、底边、顶角和底角。）思考：*你能举出生活中一些等腰三角形的实例吗？*等边三角形（三条边都相等的三角形）是不是等腰三角形？为什么？（提示：从定义出发思考）二、探究等腰三角形的性质：对称性的体现等腰三角形是一种特殊的三角形，特殊之处在于它的两条边相等。这种特殊性必然导致它在角和边上具有一些一般三角形所不具备的性质。我们主要通过折叠、观察和推理来探究。2.等腰三角形的性质定理：性质1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）*文字语言：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。*符号语言：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。（请结合你画的图，写出对应顶点的字母）*探究与证明思路：我们如何说明∠B=∠C呢？回忆一下我们学过的全等三角形的知识。如果能将∠B和∠C分别放在两个全等的三角形中，问题就解决了。（引导学生思考：如何添加辅助线？）通常，我们可以作等腰三角形顶角的平分线AD，交BC于点D。这样，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，根据“SAS”可证△ABD≌△ACD，从而得到∠B=∠C。（同学们也可以尝试作底边上的中线或底边上的高，看看是否也能证明这个结论。）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（简写成“三线合一”）*文字语言：等腰三角形顶角的平分线，既是底边上的中线，也是底边上的高。*符号语言：在△ABC中，AB=AC，①若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD=CD；②若BD=CD（AD是BC边上的中线），则AD平分∠BAC，AD⊥BC；③若AD⊥BC（AD是BC边上的高），则AD平分∠BAC，BD=CD。*探究与理解：“三线合一”是等腰三角形非常重要的性质，它将角平分线、中线、高这三条线段的性质浓缩在一个条件下。其实，我们在证明“等边对等角”时所作的辅助线，就已经不经意地触及了“三线合一”。比如，作顶角平分线AD，我们不仅证明了∠B=∠C，也同时证明了AD是底边BC上的中线和高。（请同学们结合自己画的图，分别对“三线合一”的三种表述进行理解和简单推导。）重要说明：*“三线合一”的前提条件是“等腰三角形”。*“三线”指的是“顶角的平分线”、“底边上的中线”、“底边上的高”。注意，是“顶角”和“底边”，这点很重要。3.等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形。它的对称轴是什么？（提示：结合“三线合一”思考）答：等腰三角形底边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线就是它的对称轴。三、等腰三角形的判定：如何识别等腰三角形？我们已经知道了等腰三角形的定义和性质，那么反过来，如何判定一个三角形是不是等腰三角形呢？1.等腰三角形的判定定理：判定定理1（定义法）：有两边相等的三角形是等腰三角形。（这是最直接的判定方法）判定定理2：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）*文字语言：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。*符号语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC。*探究与证明思路：要证明AB=AC，思路与性质定理的证明类似，也可以通过构造全等三角形来实现。例如，我们可以作∠BAC的平分线AD交BC于点D。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，根据“AAS”可证△ABD≌△ACD，从而得到AB=AC。（同学们也可以尝试作BC边上的高AD，用“AAS”或“ASA”来证明。）思考与讨论：*“等边对等角”与“等角对等边”有什么区别和联系？（区别：一个是性质，由边相等得到角相等；一个是判定，由角相等得到边相等。联系：它们都揭示了等腰三角形中边和角的关系。）四、等腰三角形性质与判定的应用：解决问题学习了性质和判定，关键在于运用它们来解决实际问题。例题分析：例1：已知在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，求∠B和∠C的度数。分析：由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，∠B和∠C是底角，根据“等边对等角”可知∠B=∠C。又因为三角形内角和为180°，所以∠B=∠C=(180°-∠A)/2。解：（请同学们自行写出详细解题过程）例2：如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，∠A=40°，求∠DBC的度数。分析：要求∠DBC，可先求出∠ABC和∠ABD。由AB=AC，∠A=40°，可求出∠ABC的度数。BD是高，所以∠ADB=90°，在Rt△ABD中可求出∠ABD，进而求出∠DBC。解：（请同学们自行写出详细解题过程，并思考是否有更简便的方法，比如利用“三线合一”的思想构造辅助线？）例3：如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC。求证：AB=AC。分析：要证AB=AC，可证∠B=∠C。由AD∥BC，可得∠EAD=∠B（同位角），∠DAC=∠C（内错角）。又因为AD平分∠EAC，所以∠EAD=∠DAC，从而∠B=∠C，得证。证明：（请同学们写出完整的证明步骤，注意几何语言的规范性）思考与拓展：*等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于顶角的一半吗？（提示：分顶角为锐角、直角、钝角三种情况讨论）*如何利用尺规作图的方法作一个等腰三角形？（至少给出两种方法，并说明理由）五、总结与反思通过本节课的学习，我们主要掌握了：1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形。2.等腰三角形的性质：*等边对等角；*三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；*是轴对称图形。3.等腰三角形的判定：*定义法：两边相等；*等角对等边。核心思想方法：*转化思想：将等腰三角形问题转化为全等三角形问题来解决。*分类讨论思想：在解决等腰三角形有关边长、角度问题时，有时需要考虑不同情况。*数形结合思想：通过画图来帮助理解题意和解决问题。易错点提醒：*应用“三线合一”时，务必注意是“顶角”和“底边”。*在使用“等角对等边”时，必须确保两个角在同一个三角形中。*涉及等腰三角形边长计算时，要注意三角形三边关系定理的应用，防止出现“两边之和小于第三边”的情况。六、课后作业与拓展1.基础巩固：完成教材对应练习题，重点关注利用性质求角度、长度，利用判定证明等腰三角形的题目。2.能力提升：*已知等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，求其他两边的长。（注意分类讨论）*如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE。求证：BD=CE。（提示：可作高，或利用全等，或利用等腰三角形的性质）3.拓展探究：*已知等腰三角形底边上的中点到