5-二阶线性微分方程解的结构与通解性质

§6二阶线性微分方程解性质与通解结构二阶线性微分方程概念二阶线性齐次微分方程解性质与通解结构二阶线性非齐次微分方程解性质与通解结构常数变易法第1页一.二阶线性微分方程概念

定义1：

第2页二.二阶线性微分方程解性质

与通解结构设有二阶线性齐次微分方程(2)关于(2)解，我们有：第3页定理1

都是方程(2)解，线性齐次方程解含有可叠加性。第4页说明:不一定是所给二阶方程通解.比如,是某二阶齐次方程解,也是齐次方程解

并不是通解不过则为处理通解判别问题,

下面引入函数线性相关与线性无关概念.

第5页定义2

成立，则称此n个函数在I内线性相关，不然线性无关。第6页比如，

在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则依据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.尤其地:第7页两个函数在区间I上线性相关与线性无关充要条件:线性相关存在不全为0使(无妨设线性无关常数思索:中有一个恒为0,则必线性相关(证实略)线性无关第8页Dec.15Wed.

Review1.二阶线性微分方程第9页(2)定理1若是方程(2)解，则它们任意组合：都是方程(2)解，其中为任意常数。2.线性齐次方程解含有可叠加性第10页3.线性相关与线性无关成立，则称此n个函数在I内线性相关，不然线性无关。第11页定理2第12页对高阶线性齐次方程，有类似定理：定理3若是n阶线性齐次方程其中为任意常数。n个线性无关特解，则它通解为：第13页三.二阶线性非齐次微分方程

解性质与通解结构定理4设是非齐次方程一个特解，为对应齐次方程通解，则为非齐次方程通解。第14页证实：由假设知：第15页例已知是对应齐次方程通解，轻易验证：故该方程通解为，为该方程一个特解.第16页例1证实：假如和是

两个线性无关解，则是对应齐次方程解。已知二阶线性非齐次方程3个特解为求该方程满足初始条件特解。第17页证实：第18页要求出非齐次方程通解，须先结构齐次方程通解.只有零解。第19页故得齐次方程两个线性无关特解，非齐方程通解为：第20页例2.已知微分方程个解求此方程满足初始条件特解.解:是对应齐次方程解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三

第21页解叠加原理第22页定理5.是对应齐次方程n个线性无关特解,

给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程特解,则非齐次方程通解为齐次方程通解非齐次方程特解第23页四、常数变易法复习:

常数变易法:

对应齐次方程通解:

设非齐次方程解为代入原方程确定

对二阶非齐次方程

情形1.已知对应齐次方程通解:

设③解为

③

因为有两个待定函数,所以要建立两个方程:④第24页⑤令于是将以上结果代入方程③:

得⑥故⑤,⑥系数行列式是对应齐次方程解第25页积分得:

代入③即得非齐次方程通解:

于是得

说明:将③解设为

只有一个必须满足条件即方程③,

所以必需再附加一个条件,

方程⑤引入是为了简化计算.第26页情形2.仅知③齐次方程一个非零特解代入③化简得设其通解为

积分得(一阶线性方程)由此得原方程③通解:

第27页例5.通解为

通解.解:将所给方程化为:已知齐次方程求利用⑤,⑥建立方程组:

积分得故所求通解为第28页例6.通解.解:对应齐次方程为已知对应齐次方程有特解:令代入非齐次方程