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文档简介

向量空间、基和维数

2021/10/101一、向量空间概念则称V是向量空间定义设V是非空的n维向量的集合，如果（1）V对加法运算具有封闭性，即，有（2）V对数乘运算具有封闭性，即2021/10/102特例：1、只有一个零向量所构成的向量空间称为零空间。2、所有的n维向量全体构成一个最大的向量空间2021/10/103例：对于向量的加法和数乘是否是R上的向量空间？2021/10/104二、向量空间的基与维数定义且满足：(1)

1,

2,…,

r

线性无关；(2)V

中任一向量都可以由

1,

2,…,

r

线性表示；则称

1,

2,…,

r

为V的一组基底，简称基，r

为V的维数，并称V

为r

维向量空间。设V为向量空间，若存在

1,

2,…,

r

V.2021/10/105注1：若将向量空间V看成无穷个向量组成的向量组，其基就是其极大线性无关组，其维数就是其秩。注2：零空间没有基，规定其维数为0。2021/10/106例如：对于Rn(1)基本单位向量组

是一组基，称为标准基。(2)

1=(1,0,0,…,0),

2=(1,1,0,…,0),…，

n=(1,1,…,1)也是基。原因是什么？2021/10/107三、向量在给定基下的坐标定义4.2设

1,

2,…,

n

是向量空间V的一组基，任取

V,都有

=

x1

1+

x2

2+…+xn

n且组合系数x1,x2,…,xn唯一，称为向量

在基

1,

2,…,

n下的坐标，记为(x1,x2,…,x

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