八年级数学期末复习讲义及典型习题

八年级数学期末复习讲义及典型习题亲爱的同学们，期末考试的脚步日益临近，数学作为一门逻辑性强、注重应用的学科，复习时更需要系统性和针对性。这份讲义旨在帮助大家梳理本学期核心知识，通过典型习题的解析与练习，查漏补缺，提升解题能力，从容应对考试。请大家务必结合课本、笔记和错题本，高效利用这份资料。一、复习导航与建议期末复习不是简单的重复，而是一个再学习、再巩固、再提高的过程。建议大家：1.回归课本，夯实基础：教材是知识的源泉，所有题目都源于课本概念和例题。务必吃透定义、公理、定理、公式及其适用条件。2.梳理脉络，构建体系：将零散的知识点串联起来，形成知识网络，例如，全等三角形与轴对称的联系，一次函数与方程、不等式的关系等。3.重视错题，反思总结：错题是暴露薄弱环节的最佳途径。认真分析错误原因，是概念不清、计算失误还是方法不当？及时订正并定期回顾。4.勤于练习，规范解题：适量的练习是必要的，但更要注重质量。选择典型题、中档题进行训练，注意解题步骤的规范性和书写的清晰性。5.调整心态，从容应考：保持积极乐观的心态，合理安排复习时间，劳逸结合。二、核心知识梳理与典型习题（一）全等三角形核心知识梳理：*全等形与全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（引申：全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线也相等，周长相等，面积相等。）*全等三角形的判定：*SSS(边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS(边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。*ASA(角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS(角角边)：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL(斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形）*全等三角形的应用：证明线段相等、角相等，解决实际测量问题等。证明时要注意图形中的隐含条件（如公共边、公共角、对顶角相等）。典型习题解析：例题1：已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。分析：要证∠A=∠D，观察图形，可尝试证明△ABC≌△DEF。已知两边对应相等（AB=DE，AC=DF），第三边是否对应相等呢？证明：∵BE=CF(已知)∴BE+EC=CF+EC(等式的性质)即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE(已知)AC=DF(已知)BC=EF(已证)∴△ABC≌△DEF(SSS)∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)方法总结：利用“SSS”判定三角形全等时，要注意寻找或通过简单计算得到三边对应相等的条件。例题2：如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C在BD上，且BC=DE，AB=CD。求证：AC⊥CE。分析：要证AC⊥CE，即证∠ACE=90°。可以通过证明∠ACB+∠ECD=90°。由已知垂直条件可得∠B=∠D=90°，结合BC=DE，AB=CD，可证△ABC和△CDE全等，从而得到角的关系。证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD(已知)∴∠B=∠D=90°(垂直的定义)在△ABC和△CDE中AB=CD(已知)∠B=∠D(已证)BC=DE(已知)∴△ABC≌△CDE(SAS)∴∠A=∠ECD(全等三角形的对应角相等)∵在Rt△ABC中，∠A+∠ACB=90°(直角三角形两锐角互余)∴∠ECD+∠ACB=90°(等量代换)∵点B、C、D在同一直线上∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义)∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠ECD)=180°-90°=90°∴AC⊥CE(垂直的定义)方法总结：利用三角形全等证明角的关系，进而解决垂直等位置关系问题是常见题型。注意直角三角形的性质以及平角、邻补角等隐含条件的运用。练习：1.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C。求证：AD=AE。2.已知：如图，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F。求证：BE=CF。（二）轴对称核心知识梳理：*轴对称图形与轴对称：*轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。*轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点。*轴对称的性质：*对称轴是对应点连线的垂直平分线。*对应线段相等，对应角相等。*线段的垂直平分线：*性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。*判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。*等腰三角形：*性质：两腰相等；等边对等角（等腰三角形的两个底角相等）；三线合一（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）。*判定：等角对等边（如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）。*等边三角形：*性质：三边都相等；三个内角都等于60°。*判定：三边都相等的三角形；三个角都相等的三角形；有一个角是60°的等腰三角形。典型习题解析：例题1：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC上一点，且AD=AE。求∠CDE的度数。（提示：设∠CDE=x，用含x的代数式表示相关角，利用三角形内角和定理求解）分析：本题涉及等腰三角形“三线合一”的性质以及等腰三角形的内角关系。设未知数，利用角之间的关系建立方程是常用方法。解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线∴AD⊥BC(等腰三角形三线合一)，∠BAD=∠CAD(等腰三角形三线合一)∠B=∠C(等边对等角)设∠CDE=x，∠CAD=y，则∠BAD=y。∵AD=AE∴∠ADE=∠AED(等边对等角)在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=90°-∠CAD=90°-y。∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-x。在△CDE中，∠DEC=180°-∠C-∠CDE=180°-(90°-y)-x=90°+y-x。又∵∠AED+∠DEC=180°(邻补角定义)且∠AED=∠ADE=90°-x∴(90°-x)+(90°+y-x)=180°化简得：180°+y-2x=180°∴y=2x。在△ADE中，∠CAD+∠ADE+∠AED=180°y+(90°-x)+(90°-x)=180°y+180°-2x=180°y=2x。(与前面结论一致，说明设定合理)由于题目未给出具体角度，我们发现∠CDE=x=y/2=∠CAD/2。若题目给出例如∠BAC=40°，则y=20°，x=10°。本题若为填空题，通常会有具体角度，此处重点在于方法。方法总结：在等腰三角形中，遇到求角度问题，常设未知数，利用等边对等角、三角形内角和定理、平角定义等建立方程求解，思路清晰。例题2：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E。求证：CD⊥BE。分析：要证CD⊥BE，可证BE是线段CD的垂直平分线，或者证明BE平分∠CBD且BD=BC（等腰三角形三线合一）。已知BD=BC，若能证BE平分∠CBD即可。可通过证明Rt△BCE≌Rt△BDE。证明：∵ED⊥AB(已知)∴∠BDE=90°(垂直定义)∵∠ACB=90°(已知)∴∠BDE=∠ACB=90°在Rt△BCE和Rt△BDE中BE=BE(公共边)BC=BD(已知)∴Rt△BCE≌Rt△BDE(HL)∴∠CBE=∠DBE(全等三角形对应角相等)即BE平分∠CBD。又∵BC=BD∴△BCD是等腰三角形。∴BE⊥CD(等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合)即CD⊥BE。方法总结：利用“HL”判定直角三角形全等是常用方法。本题巧妙结合了全等三角形的判定与等腰三角形的性质（三线合一）来证明垂直关系。练习：1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的顶角的度数为多少？2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于点E。找出图中的所有等腰三角形，并选择其中一个进行证明。（三）一次函数核心知识梳理：*函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。*一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx（k≠0），叫做正比例函数。*一次函数的图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线。我们称它为直线y=kx+b。*正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的一条直线。*画一次函数图像时，通常选取与坐标轴的两个交点(0,b)和(-b/k,0)（k≠0）。*一次函数的性质：*k的符号决定直线的倾斜方向：k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小。*b的符号决定直线与y轴交点的位置：b>0时，交y轴正半轴；b=0时，过原点；b<0时，交y轴负半轴。*用待定系数法求一次函数解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法。通常需要两个独立的条件。*一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系：*一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。*对于一次函数y=kx+b，当y>0（或y<0）时，相应的x的取值范围就是一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解集。*一次函数的应用：解决实际问题时，要先分析题意，找出等量关系，列出函数关系式，再根据函数性质或图像解决问题。注意自变量的取值范围要符合实际意义。典型习题解析：例题1：已知一次函数的图像经过点A(2,-1)和点B(-1,5)，求此一次函数的解析式，并判断点C(1,1)是否在该函数图像上。分析：求一次函数解析式，使用待定系数法。设y=kx+b，将A、B两点坐标代入，得到关于k、b的方程组，解方程组即可。判断点是否在图像上，只需将点的坐标代入解析式，看左右两边是否相等。解：设此一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)。∵函数图像经过点A(2,-1)和点B(-1,5)∴将A(2,-1)代入得：2k+b=-1①将B(-1,5)代入得：-k+b=5②①-②得：3k=-6，解得k=-2。将k=-2代入②得：-(-2)+b=5，即2+b=5，解得b=3。∴此一次函数的解析式为y=-2x+3。检验点C(1,1)是否在图像上：将x=1代入y=-2x+3得：y=-2×1+3=1。∵计算得到的y值与点C的纵坐标相等。∴点C(1,1)在该函数图像上。方法总结：待定系数法是求函数解析式的核心方法，关键是根据条件列出关于系数的方程（组）并求解。例题2：已知一次函数y=(m-1)x+m²-1。(1)若函数图像经过原点，求m的值。(2)若函数图像平行于直线y=2x，求m的值，并判断该函数的增减性。(3)若函数图像与y轴的交点在x轴的上方，求m的取值范围。分析：本题综合考查一次函数的定义、图像性质及与坐标轴交点问题。解：(1)∵函数图像经过原点(0,0)∴将(0,0)代入y=(m-1)x+m²-1得：0=(m-1)×0+m²-1即m²-1=0，解得m=1或m=-1。又∵一次函数中k=m-1≠0，即m≠1。∴m=-1。(2)∵函数图像平行于直线y=2x∴两直线斜率相等，即m-1=2，解得m=3。此时k=2>0，∴该函数y随x的增大而增大。(3)函数与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入得y=m²-1。∵交点在x轴上方，∴y>0，即m²-1>0。解得m>1或m<-1。又∵是一次函数，∴m-1≠0，即m≠1。综上，m的取值范