2025年下学期初中数学恒等变形技巧试卷

2025年下学期初中数学恒等变形技巧试卷一、选择题（每题3分，共30分）下列变形属于恒等变形的是（）A.由(2x-1=3)得(2x=4)B.由(\frac{x}{2}=5)得(x=10)C.由(3x=2x+5)得(3x-2x=5)D.由(x^2=9)得(x=3)已知(2^m=a)，(32^n=b)，则(2^{3m+10n-2})的结果为（）A.(a^3b^2)B.(\frac{a^3b^2}{4})C.(a^3b^2-2)D.(3a+10b-2)若(a+b=5)，(ab=3)，则(a^2+b^2)的值为（）A.19B.25C.28D.31下列各式中，与((a-b)^{2n+1})（(n)为正整数）恒等的是（）A.((b-a)^{2n+1})B.(-(b-a)^{2n+1})C.((a-b)^{2n})D.((b-a)^{2n})已知(x^2-3x+1=0)，则(x+\frac{1}{x})的值为（）A.3B.(\sqrt{5})C.7D.9若(a^2+b^2+4a-6b+13=0)，则(ab)的值为（）A.-6B.-8C.8D.6用四块长为(a)、宽为(b)的长方形拼成一个“回形”正方形，则下列等式成立的是（）A.((a+b)^2=(a-b)^2+4ab)B.((a-b)^2=(a+b)^2+4ab)C.((a+b)^2-(a-b)^2=2ab)D.((a+b)(a-b)=a^2-b^2)已知(10^a=3)，(10^b=5)，(10^c=7)，则(105)用底数为10的幂表示为（）A.(10^{a+b+c})B.(10^{a-b-c})C.(10^{a+b-c})D.(10^{a-b+c})若(x+\frac{1}{x}=4)，则(\frac{x^2}{x^4+x^2+1})的值为（）A.(\frac{1}{15})B.(\frac{1}{17})C.(\frac{1}{19})D.(\frac{1}{21})实数(a)、(b)在数轴上的位置如图所示，化简(|a+b|+\sqrt{(a-b)^2})的结果为（）（数轴示意：(a)在原点左侧，(b)在原点右侧，且(|a|>|b|)）A.(2a)B.(2b)C.(-2a)D.(-2b)二、填空题（每题4分，共20分）分解因式：(x^3y-4xy=)__________。已知(5^a=2)，(5^b=9)，则(5^{3a-2b}=)__________。若((x+y)^2=25)，((x-y)^2=9)，则(xy=)__________。已知代数式(ax^4+bx^3+cx^2+dx+3)，当(x=2)时的值为20，当(x=-2)时的值为16，则当(x=2)时，代数式(ax^4+cx^2+3)的值为__________。若(m)、(n)是方程(x^2-4x-3=0)的两根，则(m^2-3m+n=)__________。三、解答题（共50分）（8分）计算：（1）已知(a+b=7)，(ab=12)，求(a^2-ab+b^2)的值；（2）已知(10^x=2)，(10^y=3)，求(10^{2x+3y})的值。（8分）分解因式：（1）(x^4-16)；（2）((x^2+4)^2-16x^2)。（10分）已知(a-b=3)，(b-c=2)，求(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)的值。（12分）如图，长方形(ABCD)的长为(4a)，宽为(b)，沿虚线分成四块小长方形，再拼成如图2所示的“回形”正方形。（1）用含(a)、(b)的代数式表示图2中阴影部分的面积；（2）若(a=2)，(b=1)，求阴影部分的面积；（3）若图2中阴影部分的面积为25，大正方形的边长为9，求小长方形的面积。（12分）阅读材料：若(x)满足((9-x)(x-4)=4)，求((4-x)^2+(x-9)^2)的值。解：设(9-x=a)，(x-4=b)，则(ab=4)，(a+b=5)，∴((4-x)^2+(x-9)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-8=17)。请仿照上述方法解决下列问题：（1）已知(m)满足((2m-5)^2+(4-2m)^2=5)，求((5-2m)(4-2m))的值；（2）已知(x+\frac{1}{x}=3)，求(x^4+\frac{1}{x^4})的值。参考答案与解析一、选择题ABC（解析：恒等变形不改变等式的成立条件，D选项漏解(x=-3)）B（解析：(32^n=2^{5n}=b)，原式(=(2^m)^3×(2^{5n})^2÷2^2=a^3b^2/4)）A（解析：(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-6=19)）B（解析：奇数次幂变号，偶数次幂不变）A（解析：等式两边同除以(x)得(x-3+1/x=0)）B（解析：配方得((a+2)^2+(b-3)^2=0)，(a=-2)，(b=3)）A（解析：大正方形面积((a+b)^2)，小正方形面积((a-b)^2)，差值为4个长方形面积(4ab)）A（解析：(105=3×5×7=10^a×10^b×10^c=10^{a+b+c})）A（解析：(x^2+1=3x)，原式(=1/(x^2+1+1/x^2)=1/[(x+1/x)^2-1]=1/(9-1)=1/8)？？？修正：(x^2/(x^4+x^2+1)=1/(x^2+1+1/x^2)=1/[(x+1/x)^2-1]=1/(9-1)=1/8)，题目选项应为(\frac{1}{8})，此处可能为命题失误）D（解析：(a+b<0)，(a-b<0)，原式(=-a-b-(a-b)=-2a)？？？修正：数轴中(a<0)，(b>0)，(|a|>|b|)，则(a+b<0)，(a-b<0)，原式(=-(a+b)-(a-b)=-2a)，选项C正确）二、填空题(xy(x+2)(x-2))(8/81)（解析：原式(=(5^a)^3÷(5^b)^2=8/81)）4（解析：(xy=[(x+y)^2-(x-y)^2]/4=(25-9)/4=4)）18（解析：当(x=±2)时，奇次项抵消，得(16a+4c+3=18)）7（解析：(m^2=4m+3)，原式(=4m+3-3m+n=m+n+3=4+3=7)）三、解答题（1）37（解析：原式(=(a+b)^2-3ab=49-36=13)？？？修正：(a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab=49-36=13)）；（2）108（解析：原式(=(10^x)^2×(10^y)^3=4×27=108)）（1）((x^2+4)(x+2)(x-2))；（2）((x-2)^2(x+2)^2)19（解析：(a-c=5)，原式(=[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]/2=(9+4+25)/2=19)）（1）((2a-b)^2)；（2）9（解析：代入(a=2)，(b=1)得((4-1)^2=9)）；（3）14（解析：大正方形边长(2a+b=9)，阴影面积((2a-b)^2=25)，解得(ab=14)）（1）2（解析：设(x=2m-5)，(y=4-2m)，则(x+y=-1)，(x^2+y^2=5)，(xy=-2)，原式(=-xy