2025年下学期初中数学竞赛科研入门试卷

2025年下学期初中数学竞赛科研入门试卷一、选择题（共5小题，每题7分，满分35分）设实数(a=\sqrt{5}+\sqrt{3})，(b=\sqrt{6}+\sqrt{2})，则(a)与(b)的大小关系为（）A.(a>b)B.(a=b)C.(a<b)D.无法确定在平面直角坐标系中，点(P(x,y))满足(x^2+y^2=25)，且(x,y)均为整数，则这样的点(P)共有（）个A.4B.8C.12D.16已知(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，点(D)为(BC)边上一动点，连接(AD)，则(AD)的最小值为（）A.3B.4C.(\sqrt{13})D.5若关于(x)的方程(x^2-(m+1)x+m=0)的两个根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，且该直角三角形的面积为6，则(m)的值为（）A.3B.4C.5D.6定义新运算“(\otimes)”：(a\otimesb=a^2-ab+b^2)，则方程((x\otimes2)-5=0)的解为（）A.(x=1)或(x=3)B.(x=-1)或(x=3)C.(x=1)或(x=-3)D.(x=-1)或(x=-3)二、填空题（共5小题，每题7分，满分35分）分解因式：(x^3-4x^2+5x-2=)__________。已知(a,b)为正整数，且(a+b=100)，则(ab)的最大值为__________。如图，在(\odotO)中，弦(AB=8)，半径(OC\perpAB)于点(D)，若(OD=3)，则(\odotO)的半径为__________。一个不透明的袋子中装有3个红球、2个白球和1个黑球，从中任意摸出2个球，则摸出的两个球颜色不同的概率为__________。观察下列等式：(1=1^2)(1+3=2^2)(1+3+5=3^2)(1+3+5+7=4^2)…根据以上规律，(1+3+5+\cdots+(2n-1)=)__________（用含(n)的代数式表示）。三、解答题（共4小题，每题25分，满分100分）已知关于(x)的一元二次方程(x^2-2(k+1)x+k^2+2k=0)。（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根(x_1,x_2)满足(x_1^2+x_2^2=10)，求(k)的值。如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)为直径的(\odotO)交(BC)于点(D)，交(AC)于点(E)，连接(AD)、(BE)交于点(F)。（1）求证：(BD=CD)；（2）若(AB=6)，(\angleBAC=60^\circ)，求(\triangleAEF)的面积。某商店销售一种进价为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足关系(y=-10x+500)（(20\leqx\leq50)）。（1）设该商店每天的销售利润为(w)元，求(w)与(x)之间的函数关系式；（2）该商店每天的销售利润能否达到2000元？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由。阅读下列材料，解决问题：材料：对于任意正整数(n)，定义(f(n))为(n)的各位数字之和，例如(f(123)=1+2+3=6)。问题：（1）求(f(100)+f(101)+\cdots+f(199))的值；（2）若(n)为正整数，且(f(n)=10)，求满足条件的最小正整数(n)。四、拓展探究题（共2小题，每题30分，满分60分）在平面直角坐标系中，点(A(0,3))，(B(4,0))，点(P)是线段(AB)上一动点（不与(A,B)重合），过点(P)分别作(PD\perpx)轴于点(D)，(PE\perpy)轴于点(E)。（1）设点(P)的横坐标为(t)，用含(t)的代数式表示矩形(PDOE)的面积(S)；（2）当(t)为何值时，矩形(PDOE)的面积最大？最大面积是多少？定义：若一个三角形的三边长(a,b,c)满足(a^2+b^2=2c^2)，则称这个三角形为“智慧三角形”。（1）判断下列三角形是否为“智慧三角形”：①三边长分别为(\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5})；②三边长分别为5,5,6。（2）若(\triangleABC)是“智慧三角形”，且(\angleC=90^\circ)，求证：(a=b)。五、综合应用题（共1小题，满分50分）某学校计划在校园内修建一个矩形的花坛，花坛的一边靠墙（墙长20米），另三边用总长为32米的栅栏围成。（1）设花坛的长为(x)米（靠墙的一边为长），宽为(y)米，求(y)与(x)之间的函数关系式，并写出自变量(x)的取值范围；（2）若花坛的面积为120平方米，求此时花坛的长和宽；（3）当花坛的长和宽分别为多少时，花坛的面积最大？最大面积是多少？六、创新设计题（共1小题，满分50分）请你设计一个关于“图形变换”的数学问题，并给出详细的解答过程。要求：（1）问题需涉及平移、旋转或轴对称中的至少两种变换；（2）问题具有一定的探究性和挑战性；（3）解答过程完整，逻辑清晰。（以下为试卷空白区域，供考生作答使用）注意事项：本试卷共6页，满分350分，考试时间180分钟；答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置；所有答案请书写在答题卡上，在本试卷上作答无效；考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。（注