2025年下学期初中数学竞赛人机对战试卷

2025年下学期初中数学竞赛人机对战试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1.已知实数(a,b)满足(a^2+b^2=5)，(ab=1)，则(a^4+b^4)的值为（）A.20B.21C.23D.252.如图，在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(AD=6)，点(E)为(BC)中点，点(F)在(CD)上且(CF=1)，连接(AE)、(BF)交于点(G)，则(\triangleAGB)的面积为（）A.(\frac{12}{5})B.(\frac{18}{5})C.(\frac{24}{5})D.(\frac{36}{5})3.若关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的两个根为连续整数，则(m)的值为（）A.-3B.2C.-3或2D.3或-24.从1到2025的所有正整数中，能被3整除但不能被7整除的数的个数为（）A.580B.582C.584D.5865.定义新运算“(\otimes)”：(a\otimesb=a^2-b^2+ab)，则满足(x\otimes(x-1)=11)的整数(x)有（）个A.0B.1C.2D.3二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6.已知(a+\frac{1}{a}=3)，则(a^3+\frac{1}{a^3}=)。7.如图，(\odotO)是边长为6的等边三角形(ABC)的内切圆，(\odotO')与(\odotO)外切且与(AB)、(AC)相切，则(\odotO')的半径为。8.若正整数(m,n)满足(m^2-n^2=2025)，则((m,n))的组数为__________。9.某机器人在平面直角坐标系中沿格点运动，从原点出发，每次移动1个单位长度，方向为上、下、左、右中的一种。若机器人经过6次移动后回到原点，则不同的移动路径有__________种。10.已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像过点((-1,0))、((3,0))，且与(y)轴交于点((0,k))，若该函数图像与线段(y=x+1)（(0\leqx\leq2)）有公共点，则(k)的取值范围为__________。三、解答题（共4小题，每小题20分，满分80分）11.（1）计算：(\frac{2025^2-2024^2}{2025+2024}+\sqrt{25^2-7^2}-\pi^0)；（2）若(x,y)为实数，且(x^2+4y^2=4)，求(x+2y)的最大值。12.如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=120^\circ)，点(D)为(BC)中点，点(E)在(AB)延长线上，且(BE=BD)，连接(ED)并延长交(AC)于点(F)。（1）求证：(\triangleAEF)为等边三角形；（2）若(AB=6)，求(CF)的长度。13.某工厂生产(A)、(B)两种零件，已知生产1个(A)零件需耗材3千克、耗时2小时，生产1个(B)零件需耗材2千克、耗时1小时。工厂现有耗材1000千克，每天工作时间不超过800小时，且(A)零件每个利润50元，(B)零件每个利润30元。（1）设每天生产(A)零件(x)个，(B)零件(y)个，求(x,y)满足的约束条件；（2）如何安排生产才能使每天利润最大？最大利润为多少？14.已知函数(f(x)=|x-1|+|x+2|)。（1）在平面直角坐标系中画出函数(f(x))的图像；（2）若关于(x)的方程(f(x)=a)有三个不同的实数解，求(a)的取值范围；（3）设(g(x)=f(x)-kx)，若对任意(x\in\mathbb{R})，(g(x)\geq0)恒成立，求(k)的取值范围。四、人机对战附加题（共2小题，每小题25分，满分50分）15.（AI算法模拟）现有一个由正整数组成的数列，满足：第1项为1，第2项为2，从第3项起，每一项等于前两项之和的个位数。（1）写出该数列的前12项；（2）求该数列的周期；（3）若该数列前(n)项和为2025，求(n)的最小值。16.（动态几何探究）在平面直角坐标系中，点(A(0,4))、(B(3,0))，点(P)为线段(AB)上一动点（不与(A,B)重合），过点(P)作(PD\perpx)轴于(D)，(PE\perpy)轴于(E)。（1）设(P)点横坐标为(t)，用含(t)的代数式表示矩形(PDOE)的面积(S)；（2）当(t)为何值时，(S)取得最大值？最大值为多少？（3）在点(P)运动过程中，(\triangleAEP)与(\triangleBDP)能否相似？若能，求出此时(t)的值；若不能，说明理由。五、编程应用题（共1小题，满分20分）17.（Python实现）设计一个程序，输入一个正整数(n)（(n\leq1000)），输出所有小于(n)且满足以下条件的数：该数为完全平方数；该数的各位数字之和为质数。例如：输入50，输出[4,25,49]（4：(2^2)，4为质数；25：(5^2)，2+5=7为质数；49：(7^2)，4+9=13为质数）。（注：试卷总分230分，考试时间150分钟，允许使用无编程功能的计算器）试卷设计说明：知识覆盖：严格遵循2025年初中数学竞赛大纲，涵盖代数（函数、方程、不等式）、几何（三角形、圆、面积计算）、数论（整除、同余）、组合（计数、概率）四大模块，附加题融入动态几何与编程思想，体现“人机对战”特色。难度梯度：选择