2025年新高考数学一轮复习（基础版）第2章　§2.4　函数的对称性

§2.4函数的对称性课标要求1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．知识梳理1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0)．2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．(√)(2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)(3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称．(×)(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(√)2．函数f(x)＝eq\f(x＋1,x)的图象的对称中心为()A．(0,0)B．(0,1)C．(1,0)D．(1,1)答案B解析因为f(x)＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，由y＝eq\f(1,x)的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋eq\f(1,x)的图象，又y＝eq\f(1,x)的图象关于点(0,0)对称，所以f(x)＝1＋eq\f(1,x)的图象关于点(0,1)对称．3．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则()A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)答案A解析因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3)．4．(2023·南昌检测)已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点________．答案(－1,2)解析y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2).题型一轴对称问题例1(1)(2024·株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))等于()A.eq\f(1,8)B．－eq\f(1,8)C.eq\f(27,8)D．－eq\f(27,8)答案A解析由函数f(x＋1)为偶函数，可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2＋x)＝f(－x)，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)，可得函数f(x)的周期为4，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))3＝eq\f(1,8).(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________．答案(－1,1)解析∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，∴－x2>－1，即x2<1，∴－1<x<1，∴原不等式的解集为(－1,1)．思维升华函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．跟踪训练1(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是()A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(2)<f(1)答案D解析因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以f(x)的对称轴为直线x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)．(2)(2023·承德统考)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4等于()A．－4B．0C．4D．8答案D解析由f(x)＝f(4－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8.题型二中心对称问题例2(1)(多选)下列说法中，正确的是()A．函数f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)的图象关于点(－2,2)中心对称B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1,0)中心对称C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)D．函数y＝eq\f(x－1,x－b)的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2答案ABC解析对于A，f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)＝eq\f(2x＋2－5,x＋2)＝2－eq\f(5,x＋2)，其图象可以由y＝－eq\f(5,x)的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－eq\f(5,x)的图象关于原点对称，故f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)的图象关于点(－2,2)中心对称，A正确；对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确；对于D，函数y＝eq\f(x－1,x－b)＝eq\f(x－b＋b－1,x－b)＝1＋eq\f(b－1,x－b)的图象关于点(3，c)中心对称，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－b＝0，,c＝1，))解得b＝3，c＝1，所以b＋c＝4，D不正确．(2)(2024·南京模拟)已知函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2＋x)，其图象关于点(2,0)对称，f(2)＝0，则f(18)＝________.答案0解析因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(－x)＝－f(4＋x)，又f(－x)＝f(2＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的一个周期为4，所以f(18)＝f(2)＝0.思维升华函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心对称．跟踪训练2(1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是()A．(－1,2)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案D解析因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1,0)对称，因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在R上单调递减，所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1，所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．(2)已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则3m＋n等于()A．7B．2C．－2D．－eq\f(1,2)答案C解析因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则f(3)＝－f(－1)＝7.故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2.题型三两个函数图象的对称例3已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称D．关于点(3,0)对称答案A解析设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．思维升华函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq\f(b－a,2)对称．跟踪训练3下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ex－1 B．y＝e1－xC．y＝e2－x D．y＝lnx答案C解析与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.课时精练一、单项选择题1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝lg|x|C．y＝tanx D．y＝x3答案A解析y＝eq\f(1,x)的图象关于y＝x、坐标原点(0,0)分别成轴对称和中心对称，故A正确；y＝lg|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，但无对称中心，故B错误；y＝tanx关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)成中心对称，但无对称轴，故C错误；y＝x3为奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)成中心对称，但无对称轴，故D错误．2．(2024·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象()A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x轴对称答案C解析令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x，∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称．3．(2023·襄阳模拟)已知函数f(x)＝2x＋eq\f(4,2x)(x∈R)，则f(x)的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于点(1,0)对称C．关于直线x＝0对称D．关于原点对称答案A解析由已知可得，f(2－x)＝22－x＋eq\f(4,22－x)＝eq\f(4,2x)＋4·eq\f(2x,4)＝eq\f(4,2x)＋2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确；因为f(2－x)＝2x＋eq\f(4,2x)，则f(2－x)≠－f(x)，故B项错误；f(－x)＝2－x＋eq\f(4,2－x)＝4·2x＋eq\f(1,2x)，则f(－x)≠f(x)，故C项错误；因为f(－x)＝4·2x＋eq\f(1,2x)，则f(－x)≠－f(x)，故D项错误．4．(2023·赣州联考)已知函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增，满足对任意x∈R，都有f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，若f(x)在区间(a，2a－1)上单调递减，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))) D．(－∞，2]答案C解析由f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，得函数f(x)图象的对称轴是直线x＝eq\f(3,2)，因为函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上单调递减，因为f(x)在区间(a，2a－1)上单调递减，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≤\f(3,2)，,a<2a－1，))解得1<a≤eq\f(5,4).所以实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))).5．已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m等于()A．3B.eq\f(3,2)C．－1D．－eq\f(1,2)答案D解析设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点Q(x′，y′)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋x′＝2m，,y＝y′，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2m－x′，,y＝y′，))则y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－eq\f(1,2).6．(2023·重庆模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0 B．f(0)＝1C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0 D．f(1)＝1答案B解析因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称，且f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1.二、多项选择题7．设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是()A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)为奇函数C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．f(x)的图象关于点(1,0)对称答案ABD解析∵f(x)＝2x－1＋21－x，∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A，D错误；∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，故B错误．8．已知函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1－x)＝f(1＋x)，则()A．f(0)＝f(2) B．f(－1)<f(4)C．f(2x＋1)<f(1) D．f(x＋1)为偶函数答案ABD解析由f(1－x)＝f(1＋x)知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(0)＝f(2)，故A正确；又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1]上单调递减，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－1)＝f(3)<f(4)，故B正确；因为1<2x＋1，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(1)<f(2x＋1)，故C错误；因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，即函数f(x＋1)的图象关于y轴对称，所以f(x＋1)为偶函数，故D正确．三、填空题9．(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数．则f(x)＝________.答案cosπx(形如acosπx＋b或aeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin

\f(πx,2)))＋b或aeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinπx))＋b或aeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos

\f(πx,2)))＋b等)解析因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1，故可取函数f(x)＝cosπx.10．(2023·荆州统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(－x)，设函数f(x)与函数y＝eq\f(1,x－1)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)的值为________．答案n解析∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则f(2－x)＋f(x)＝0，∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，∵函数y＝eq\f(1,x－1)的图象是由函数y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位长度得到的，∴函数y＝eq\f(1,x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数f(x)与函数y＝eq\f(1,x－1)的图象的交点也关于点(1,0)对称，∴eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)＝eq\i\su(i＝1,n,xi)＋eq\i\su(i＝1,n,yi)＝2×eq\f(n,2)＋0×eq\f(n,2)＝n.四、解答题11．(2024·邢台检测)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x.(1)判断并证明函数f(x)的对称性；(2)求f(x)的单调区间．解(1)f(x)的图象关于直线x＝2对称．证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x，当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增，故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增．又f(x)的图象关于直线x＝2对称，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．12．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．解(1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.整理得(3a