2025年新高考数学一轮复习（基础版）第2章　§2.7　指数与指数函数

§2.7指数与指数函数课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1增函数减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)eq\r(4,－44)＝－4.(×)(2)2a·2b＝2ab.(×)(3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(√)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)2．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于()A．不确定B．0C．1D．2答案C解析由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.3．已知关于x的不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－4≥3－2x，则该不等式的解集为()A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞)C．(－∞，－4) D．(－4,1]答案A解析不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－4≥3－2x，即34－x≥3－2x，由于y＝3x是增函数，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．4．(2023·福州质检)eq\r(3,－43)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＋×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－4＝________.答案5解析eq\r(3,－43)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＋×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－4＝－4＋1＋0.5×16＝5.题型一指数幂的运算例1计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\f(1,16)))0.5－2×－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2＋π)))0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－2；(2)2eq\r(3)×3eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12).解(1)原式＝＝eq\f(9,4)－2×eq\f(9,16)－2＋eq\f(9,16)＝eq\f(9,4)－eq\f(9,8)－2＋eq\f(9,16)＝－eq\f(5,16).(2)原式＝＝6×3＝18.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1(多选)下列计算正确的是()A.eq\r(12,－34)＝eq\r(3,－3)B．C.eq\r(\r(3,9))＝eq\r(3,3)D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2答案BC解析对于A，eq\r(12,－34)＝eq\r(12,34)＝＝eq\r(3,3)≠eq\r(3,－3)，所以A错误；对于B，所以B正确；对于C，eq\r(\r(3,9))＝＝eq\r(3,3)，所以C正确；对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误．题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为()A．a＝b B．0<b<aC．a<b<0 D．0<a<b答案ABC解析由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确；作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确；当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴实数b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则()A．a>1 B．0<a<1C．b>1 D．0<b<1答案BD解析观察图象得，函数f(x)＝ax－b是减函数，因此0<a<1，设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0<y0<1，当x＝0时，y＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0<b<1，所以0<a<1,0<b<1.题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－0.4，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.3，则()A．c<b<a B．a<b<cC．c<a<b D．b<c<a答案D解析a＝1.30.6>1.30＝1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－0.4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.4，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.3，因为指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x是减函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.4<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0＝1，所以b<c<1，所以b<c<a.命题点2解简单的指数方程或不等式例4(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围可以是()A．[2,4] B．(－∞，0)C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]答案D解析∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.又2x>0，∴0<2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝eq\f(8x＋a·2x,a·4x)(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．解(1)f(x)＝eq\f(1,a)·2x＋eq\f(1,2x)，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(1,a)·eq\f(1,2x)＋2x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)·2x＋\f(1,2x)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,2x)))＝0，即eq\f(1,a)＋1＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知a＝－1，所以f(x)＝eq\f(1,2x)－2x，x∈[1,2]，所以eq\f(1,22x)－22x≥meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－2x))，所以m≥eq\f(1,2x)＋2x，x∈[1,2]，令t＝2x，t∈[2,4]，设y＝eq\f(1,2x)＋2x，则y＝t＋eq\f(1,t)，t∈[2,4]，由于y＝t＋eq\f(1,t)在[2,4]上单调递增，所以m≥4＋eq\f(1,4)＝eq\f(17,4).所以实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)，＋∞)).思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(－1,1)C．函数f(x)是奇函数D．函数f(x)为减函数答案ABC解析因为ex>0，所以ex＋1>0，所以函数f(x)的定义域为R，故A正确；f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)＝1－eq\f(2,ex＋1)，由ex>0⇒ex＋1>1⇒0<eq\f(1,ex＋1)<1⇒－2<－eq\f(2,ex＋1)<0⇒－1<1－eq\f(2,ex＋1)<1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)，故B正确；因为f(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)＝eq\f(\f(1,ex)－1,\f(1,ex)＋1)＝eq\f(1－ex,1＋ex)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故C正确；因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1，所以函数y＝eq\f(2,ex＋1)是减函数，所以函数y＝－eq\f(2,ex＋1)是增函数，故f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)＝1－eq\f(2,ex＋1)是增函数，故D不正确．(2)(2023·银川模拟)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，则a的值为________．答案eq\f(3,2)或eq\f(1,2)解析当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，由题意可得，f(2)－f(1)＝a2－a＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(3,2)或a＝0(舍去)；当0<a<1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，由题意可得，f(1)－f(2)＝a－a2＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(1,2)或a＝0(舍去)，综上所述，a＝eq\f(3,2)或a＝eq\f(1,2).课时精练一、单项选择题1．下列结论中，正确的是()A．若a>0，则＝aB．若m8＝2，则m＝±eq\r(8,2)C．若a＋a－1＝3，则＝±eq\r(5)D.eq\r(4,2－π4)＝2－π答案B解析对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得当a＝1时，＝a；当a≠1时，≠a，故A错误；对于B，m8＝2，故m＝±eq\r(8,2)，故B正确；对于C，a＋a－1＝3，则＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0，所以＝eq\r(5)，故C错误；对于D，eq\r(4,2－π4)＝|2－π|＝π－2，故D错误．2．已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0,1)，因为a>1，所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示．故函数f(x)的图象不经过第二象限．3．(2023·宜昌模拟)设a＝30.8，b＝90.5，c＝，则()A．a>b>c B．c>b>aC．b>a>c D．b>c>a答案C解析因为a＝30.8，b＝90.5＝(32)0.5＝31，c＝又函数y＝3x是增函数，且1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5，所以b>a>c.4．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2,0)C．(0,2] D．[2，＋∞)答案D解析函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－eq\f(a2,4)在区间(0,1)上单调递减，因此eq\f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．5．(2023·广州模拟)已知正数a，b满足eq\r(a,9)·eq\r(b,27)＝3，则3a＋2b的最小值为()A．10B．12C．18D．24答案D解析eq\r(a,9)·eq\r(b,27)＝所以eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝1，因为a，b为正数，所以3a＋2b＝(3a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(3,b)))＝12＋eq\f(4b,a)＋eq\f(9a,b)≥12＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(9a,b))＝24，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(9a,b)，即a＝4，b＝6时，等号成立，所以3a＋2b的最小值为24.6．(2023·潍坊模拟)“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是()A．a≤eq\f(1,2) B．a>1C．a≤eq\f(1,2)或a≥1 D．a<eq\f(1,2)或a≥1答案C解析a(2|x|＋1)＝2|x|，因为2|x|＋1>0，所以a＝eq\f(2|x|,2|x|＋1)＝1－eq\f(1,2|x|＋1)，因为2|x|≥20＝1，所以2|x|＋1≥2,0<eq\f(1,2|x|＋1)≤eq\f(1,2)，eq\f(1,2)≤1－eq\f(1,2|x|＋1)<1，要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解，则a<eq\f(1,2)或a≥1，由于a<eq\f(1,2)或a≥1不能推出a≤eq\f(1,2)，故A不成立；由于a<eq\f(1,2)或a≥1不能推出a>1，故B不成立；由于a<eq\f(1,2)或a≥1⇒a≤eq\f(1,2)或a≥1，且a≤eq\f(1,2)或a≥1不能推出a<eq\f(1,2)或a≥1，故C正确；D为充要条件，不符合要求．二、多项选择题7．(2023·重庆模拟)已知函数y＝，则下列说法正确的是()A．定义域为RB．值域为(0,2]C．在[－2，＋∞)上单调递增D．在[－2，＋∞)上单调递减答案ABD解析由函数y＝，可得函数的定义域为R，故A正确；设t＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1∈[－1，＋∞)，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t，t∈[－1，＋∞)，由指数函数的单调性，可得函数的值域为(0,2]，故B正确；t＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t在[－1，＋∞)上单调递减，根据复合函数单调性法则，可得函数在[－2，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确．8．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则()A．2a＋2b>2B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1C．2a＋2b＝2D．a＋b<0答案CD解析画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；由基本不等式可得2＝2a＋2b>2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确．三、填空题9．＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)×\r(3,3)))6＝________.答案81解析原式＝＝2－1＋8＋(23×32)＝81.10．已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，且是增函数，因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2，则g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)，又因为g(x)是奇函数，所以g(a2)>g(2－a)，又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a，解得a<－2或a>1，故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．四、解答题11．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．解令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，又函数y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，又函数y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上单调递增，则ymax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))2－2＝14，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,5)(舍去)．综上，a＝3或a＝eq\f(1,3).12．已知函数f(x)＝2x＋eq\f(a,2x).(1)若f(0)＝7，解关于x的方程f(x)＝5；(2)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)若f(x)<3在[1,3]上恒成立，求实数a的取值范围．解(1)由题意得f(0)＝1＋a＝7，∴a＝6，f(x)＝2x＋eq\f(6,2x)，∴由f(x)＝5可得2x＋eq\f(6,2x)＝5，整理得(2x)2－5×2x＋6＝0，可得2x＝2或2x＝3，∴x＝1或x＝log23.(2)由题意可知，函数f(x)的定义域为R，①当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，∴2－x＋eq\f(a,2－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,2x)))，∴(1＋a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,2x)))＝0，∵2x＋eq\f(1,2x)≠0，∴a＝－1，经检验，当a＝－1时，f(x)为奇函数；②当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，∴2－x＋eq\f(a,2－x)＝2x＋eq\f(a,2x)，∴(a－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2x)))＝0，∴a＝1，经检验，当a＝1时，f(x)为偶函数；③当a≠±1时，f(x)为非奇非偶函数，综上，当a＝－1时，f(x)为奇函数；当a＝1时，f(x)为偶函数；当a≠±1时，f(x)为非奇非偶函数．(3)若f(x)<3在[1,3]上恒成立，即2x＋eq\