2025年新高考数学一轮复习（基础版）第8章　§8.1　直线的方程

§8.1直线的方程课标要求1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．知识梳理1．直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(α≠90°)(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角．(√)(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(×)(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(×)(4)经过P0(x0，y0)的任意直线方程可表示为y－y0＝k(x－x0)．(×)2．(选择性必修第一册P55T4改编)已知点A(2,0)，B(3，eq\r(3))，则直线AB的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B解析由题意得直线AB的斜率k＝eq\f(\r(3)－0,3－2)＝eq\r(3)，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝eq\r(3)，∵0°≤α<180°，∴α＝60°.3．(选择性必修第一册P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.4．(选择性必修第一册P80T16改编)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为________．答案(1，－1)解析直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋1＝0，,y＋x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))故所过的定点坐标为(1，－1).题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－eq\r(3)，1]B．(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)答案B解析如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝eq\f(1－0,2－1)＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．延伸探究本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))(2)(2023·绵阳模拟)已知直线l的方程为xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，α∈R，则直线l倾斜角的范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))答案B解析xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，则k＝－eq\f(\r(3),3)sinα∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，故k＝tanθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以当k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))时，直线l的倾斜角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))；当k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))时，直线l的倾斜角θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，综上所述，直线l的倾斜角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．跟踪训练1(1)(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)，cos\f(π,3)))，则直线l的倾斜角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)答案A解析由题意可得，直线l的斜率k＝eq\f(cos\f(π,3),sin\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)，又倾斜角的范围是[0，π)，所以k＝eq\f(\r(3),3)＝taneq\f(π,6)，即直线l的倾斜角为eq\f(π,6).(2)若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析因为倾斜角为锐角，所以斜率大于0，设斜率为k，则k＝eq\f(2a－1＋a,3－1－a)＝eq\f(a－1,a＋2)>0，得a>1或a<－2.题型二求直线的方程例2求符合下列条件的直线方程：(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－eq\f(1,4)；(2)斜率为eq\f(3,4)，且与两坐标轴围成的面积为6；(3)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍．解(1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－eq\f(1,4)，∴y＋3＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.(2)设直线方程为y＝eq\f(3,4)x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－eq\f(4,3)b，∴eq\f(1,2)|b|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))＝6，解得b＝±3，∴直线方程为y＝eq\f(3,4)x±3，即3x－4y±12＝0.(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2,1)，∴1＝2k，解得k＝eq\f(1,2)，∴直线方程为y＝eq\f(1,2)x，即x－2y＝0；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,a＝2b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))∴直线方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0；综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.思维升华求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2(1)(多选)经过点P(6，－3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为()A．x＋2y＝0 B．x－y－9＝0C．x＋y－3＝0 D．2x－y－15＝0答案AC解析若直线在两坐标轴上的截距均为0，则直线的方程为x＋2y＝0，A正确；若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，将P(6，－3)代入方程得a＝3，则直线的方程为x＋y－3＝0，C正确．(2)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为()A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0答案A解析设C(x，y)，M(0，m)，N(n,0)，因为A(5，－2)，B(7,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,2)＝0，,\f(y－2,2)＝m))且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋7,2)＝n，,\f(y＋3,2)＝0，))解得x＝－5，y＝－3，m＝－eq\f(5,2)，n＝1，即C(－5，－3)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1,0)，所以MN所在直线的方程为eq\f(y＋\f(5,2),\f(5,2))＝eq\f(x,1)，即5x－2y－5＝0.题型三直线方程的综合应用例3已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．解方法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)，S△AOB＝eq\f(1,2)(1－2k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋－4k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)×(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法二设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2,1)，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，则1＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，故ab≥8，故S△AOB的最小值为eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)×8＝4，当且仅当eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)，即a＝4，b＝2时，等号成立，故直线l的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.思维升华直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．跟踪训练3(1)(2023·河南大学附属中学模拟)过点P(1,3)的直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A，B，则|OA|＋|OB|的可能取值是()A．7B．7.4C．4＋2eq\r(2)D．7.8答案D解析设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，由题意得eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(3,b)))＝4＋eq\f(3a,b)＋eq\f(b,a)≥4＋2eq\r(\f(3a,b)·\f(b,a))＝4＋2eq\r(3)>7.46.(2)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．答案(1，－4)[3，＋∞)解析直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x＋y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－4，))∴直线l过定点(1，－4)，∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3，又直线l不经过第三象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1<0，,a－3≥0，))解得a≥3.课时精练一、单项选择题1．(2024·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为()A．45°B．135°C．90°D．180°答案A解析由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k＝tanα＝eq\f(2－0,0－－2)＝1，故倾斜角α＝45°.2．若直线l的方程y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b)，ab>0，ac<0，则此直线必不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析由y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b)，ab>0，ac<0，知直线l的斜率k＝－eq\f(a,b)<0，在y轴上的截距－eq\f(c,b)>0，所以此直线必不经过第三象限．3．(2023·南京师范大学附中模拟)若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是()A．－eq\f(3,2)B.eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)答案C解析由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，则平移后直线的方程为y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)，可得kx＋b＝kx＋(b－3k－2)，即k＝－eq\f(2,3).4．经过直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2的定点，且斜率为－2的直线方程为()A．10x＋5y－6＝0 B．2x＋y－6＝0C．10x＋5y＋6＝0 D．2x－y－6＝0答案C解析直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2化简为a(x＋2y)－x＋3y－2＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－x＋3y－2＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,5)，,y＝\f(2,5)，))则恒过的定点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(2,5)))，所以经过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(2,5)))，且斜率为－2的直线方程为y－eq\f(2,5)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,5)))，即10x＋5y＋6＝0.5．(2023·广西统考)直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若直线l的倾斜角为α，则cos2α等于()A．－eq\f(3,5)B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5)D.eq\f(4,5)答案D解析由题意可知tan(α＋45°)＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝2，∴tanα＝eq\f(1,3)，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(4,5).6．(2023·南通联考)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为()A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0答案C解析因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.二、多项选择题7．已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是()A．若ab>0，则直线l的斜率小于0B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°C．直线l可能经过坐标原点D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°答案ABD解析若ab>0，则直线l的斜率－eq\f(a,b)<0，故A正确；若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝eq\f(2,a)，其倾斜角为90°，故B正确；将(0,0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝eq\f(2,b)，其倾斜角为0°，故D正确．8．下列说法正确的是()A．不经过原点的直线都可以表示为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1B．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B且AB的中点为(4,1)，则直线l的方程为eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1C．过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2D．直线3x－2y＝4的截距式方程为eq\f(x,\f(4,3))＋eq\f(y,－2)＝1答案BCD解析A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)，则直线l的方程为eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，故B对；C中，直线过原点时方程为y＝x，不过原点时方程为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为eq\f(x,\f(4,3))＋eq\f(y,－2)＝1，故D对．三、填空题9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6≤0，,3－2k≤0，))得k≥eq\f(3,2).10．直线l的倾斜角是直线eq\r(3)x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点(eq\r(3)，－1)，则直线l的方程为___________________．答案eq\r(3)x＋y－2＝0解析直线eq\r(3)x－y－1＝0可化为y＝eq\r(3)x－1，其斜率为eq\r(3)，∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°，∴kl＝tan120°＝－eq\r(3)，∴直线l的方程为y＋1＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x＋y－2＝0.四、解答题11．根据所给条件求直线方程．(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为eq\f(3,5)；(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；(3)直线过点A(2,4)，B(－2,8)．解(1)因为sinα＝eq\f(3,5)，所以k＝tanα＝±eq\f(3,4)，则所求直线方程为y－2＝±eq\f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，可设直线方程为eq\f(x,m)＋eq\f(y,8－m)＝1，代入点A(1,3)，可得eq\f(1,m)＋eq\f(3,8－m)＝1，解得m＝2或m＝4，所以所求直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1或eq\f(x,4)＋eq\f(y,4)＝1，即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.(3)直线斜率k＝eq\f(4－8,2－－2)＝－1，则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.12．已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程．解(1)当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；当k≠0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为y＝eq\f(1,k)x＋eq\f(2,k)＋1，要使直线不经过第一象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)≤0，,\f(2,k)＋1≤0，))解得－2≤k<0.综上，k的取值范围为[－2,0]．(2)由题意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，令x＝0得y＝eq\f(2＋k,k)，所以S＝eq\f(1,2)|OA||OB|＝eq\f(1,2)·eq\f(2＋k,k)·(2＋k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(4,k)＋4))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(k·\f(4,k))＋4))＝4，当且仅当k＝eq\f(4,k)，即k＝2时取等号，此时Smin＝4，直线l的方程为x－2