2025年新高考数学一轮复习（基础版）第8章　§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系

§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课标要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d>rd＝rd<r2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)图形量的关系外离d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2内切d＝|r1－r2|内含d<|r1－r2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(×)(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．(√)(4)在圆中最长的弦是直径．(√)2．(选择性必修第一册P93T1改编)直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相切或相交答案A解析圆心到直线的距离d＝eq\f(5,\r(32＋42))＝1<4，所以直线与圆相交．3．(选择性必修第一册P93T3改编)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|等于()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(5)D．2eq\r(5)答案B解析因为圆x2＋y2＝8的圆心为(0,0)，半径为2eq\r(2)，所以圆心到直线x－2y＋5＝0的距离d＝eq\f(|5|,\r(12＋－22))＝eq\r(5)，所以|AB|＝2eq\r(8－d2)＝2eq\r(3).4．(选择性必修第一册P98练习T1改编)圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内切答案A解析圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，∴圆心C2(4,3)，半径r2＝3，∴|C1C2|＝eq\r(4－02＋3－02)＝5＝r1＋r2，故两圆外切.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1(1)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)()A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．以上都有可能答案B解析直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即eq\f(|－1|,\r(a2＋b2))<1，即a2＋b2>1，据此可得，点P(a，b)与圆的位置关系是点在圆外．(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为()A．相交、相切或相离 B．相交或相切C．相交 D．相切答案C解析方法一直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直线与圆相交．思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．命题点2弦长问题例2(1)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2eq\r(3)时，直线l的方程为________________．答案x＝0或3x＋4y－4＝0解析因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，因为|AB|＝2eq\r(3)，所以圆心到直线的距离为d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，则圆心(－1,3)到直线l的距离d＝eq\f(|－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq\f(8,5)”的m的一个值为________．答案2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一个皆可以))解析设直线x－my＋1＝0为直线l，点C到直线l的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2eq\r(4－d2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×d×2eq\r(4－d2)＝eq\f(8,5)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)或d＝eq\f(2\r(5),5)，又d＝eq\f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq\f(2,\r(1＋m2))，所以eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(4\r(5),5)或eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(2\r(5),5)，解得m＝±eq\f(1,2)或m＝±2.思维升华弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).命题点3切线问题例3已知点P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．解由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴过点P的切线的斜率为－eq\f(1,kPC)＝1，∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－eq\r(2))＝1×[x－(eq\r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外．当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，由圆心C到切线的距离d′＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切线方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)，∴过点M的圆C的切线长为eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况．命题点4直线与圆位置关系中的最值问题例4已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为________．答案2eq\r(2)解析圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1,1)，半径r＝1，如图，连接PC，因为S四边形PACB＝2S△PAC＝2×eq\f(1,2)×|AP|·|AC|＝|AP|＝eq\r(|PC|2－1)，所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，即d＝eq\f(|3＋4＋8|,\r(32＋42))＝3，即四边形PACB面积的最小值为eq\r(9－1)＝2eq\r(2).思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．跟踪训练1(1)若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1与圆x2＋y2＝1相交，则()A.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)<1 B.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)>1C．a2＋b2<1 D．a2＋b2>1答案B解析由直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，可化为bx＋ay－ab＝0，因为直线bx＋ay－ab＝0与圆x2＋y2＝1相交，可得eq\f(|－ab|,\r(a2＋b2))<1，整理得a2＋b2>a2b2，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)>1.(2)直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4答案C解析圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0,0)，半径为2，由直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)可化为y－1＝2t(x－1)，∴直线l过定点P(1,1)，又12＋12＝2<4，∴点P在圆C内部，当直线l与线段CP垂直时，弦长|AB|最小，∵|CP|＝eq\r(0－12＋0－12)＝eq\r(2)，∴弦长|AB|的最小值为2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).题型二圆与圆的位置关系例5(1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为()A．内含B．相交C．外切D．外离答案B解析圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，则|MN|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，故有|R－r|<|MN|<R＋r.故两圆是相交关系．(2)(2023·重庆模拟)圆A：x2＋y2＝4与圆B：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为()A．x－y＋2＝0 B．x－y－2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝0答案A解析将两圆方程作差得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.因此，两圆的公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0.思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．跟踪训练2(1)若圆x2＋y2＋4x－4y＝0和圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于M，N两点，则线段MN的长度为()A．4B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(12\r(5),5)D.eq\f(6\r(5),5)答案C解析x2＋y2＋4x－4y＝0，①x2＋y2＋2x－8＝0，②由①－②可得x－2y＋4＝0.∴两圆的公共弦所在直线的方程是x－2y＋4＝0，∵圆x2＋y2＋4x－4y＝0的圆心坐标为(－2,2)，半径为2eq\r(2)，∴圆心到公共弦的距离d＝eq\f(|－2－4＋4|,\r(12＋－22))＝eq\f(2\r(5),5)，∴公共弦长为2eq\r(2\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(12\r(5),5)，即|MN|＝eq\f(12\r(5),5).(2)(2023·昆明模拟)已知圆O1：x2＋y2＝2，圆O2：x2＋y2－mx－my－2＝0(m∈R且m≠0)，则圆O1与圆O2的公切线有()A．4条B．1条C．2条D．3条答案C解析方法一圆O1的圆心为(0,0)，半径为eq\r(2)，圆O2的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(m,2)))，半径为eq\r(2＋\f(m2,2))，所以圆心之间的距离|O1O2|＝eq\r(\f(m2,2))，因为eq\r(2＋\f(m2,2))－eq\r(2)<eq\r(\f(m2,2))<eq\r(2＋\f(m2,2))＋eq\r(2)，故两圆相交，有两条公切线．方法二两圆有(1，－1)，(－1,1)两个公共点，故两圆相交，有两条公切线．课时精练一、单项选择题1．已知圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)与y轴相切，则r等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3答案C解析圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)的圆心为(2,3)，半径为r.因为圆与y轴相切，所以r＝2.2．(2024·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是()A．外离 B．相交C．外切 D．内切答案B解析由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标O2(0,2)，半径r2＝2，则两圆的圆心距|O1O2|＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，则2－1<eq\r(5)<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交．3．(2023·北京模拟)直线y＝x＋1被圆O：x2＋y2＝1截得的弦长为()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)答案B解析圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r＝1，则圆心O(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以直线y＝x＋1被圆O：x2＋y2＝1所截得的弦长为2eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(1－\f(1,2))＝eq\r(2).4．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)答案D解析点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，圆心为(－3,2)，得eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).5．圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0距离为eq\r(2)的点有()A．2个 B．3个C．4个 D．无数个答案B解析因为x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以圆心C(－1，－2)，圆的半径r＝2eq\r(2)，又因为圆心C到直线x＋y＋1＝0的距离d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以r－d＝eq\r(2)，所以过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有2个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，所以圆C上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点共有3个．6．(2023·武汉模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，若对任意点P，在直线l：x＋y－4＝0上均存在两点A，B，使得∠APB≥eq\f(π,2)恒成立，则线段AB长度的最小值是()A.eq\r(2)－1 B.eq\r(2)＋1C．2eq\r(2)－1 D．4eq\r(2)＋2答案D解析如图，由题可知，圆心为O(0,0)，半径R＝1，若直线l：x＋y－4＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥eq\f(π,2)恒成立，则O：x2＋y2＝1始终在以AB为直径的圆内或圆上，点O(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(|0－0－4|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)，所以AB长度的最小值为2(d＋1)＝4eq\r(2)＋2.二、多项选择题7．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圆C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是()A．－2B．2C．－1D．1答案BC解析由题可知圆心C1(a，－2)，半径r1＝5，圆心C2(－1，－a)，半径r2＝2，因为圆C1与圆C2内切，所以|C1C2|＝eq\r(a＋12＋－2＋a2)＝|r1－r2|＝3，解得a＝－1或a＝2.8．(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则()A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq\r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq\r(2)答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，因为4＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正确．过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋5－22－42)＝3eq\r(2)，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3eq\r(2)，故C，D都正确．三、填空题9．(2023·鸡西模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝5解析由圆x2＋y2＝4，得到圆心为O(0,0)，由题意知O，A，B，P四点共圆，△PAB的外接圆即四边形OAPB的外接圆，又点P(4,2)，从而OP的中点(2,1)为所求圆的圆心，eq\f(1,2)|OP|＝eq\r(5)为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.10．若圆C1：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝1上，则r的取值范围是__________．答案[eq\r(5)－1，eq\r(5)＋1]解析设圆C1关于y轴的对称圆为圆C3，其方程为(x＋1)2＋y2＝r2，根据题意，圆C3与圆C2有交点，又圆C3与圆C2的圆心距为eq\r(－1＋22＋2－02)＝eq\r(5)，要满足题意，只需|r－1|≤eq\r(5)≤r＋1，解得r∈[eq\r(5)－1，eq\r(5)＋1]．四、解答题11．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，则圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为eq\r(11)和eq\r(61－m).(1)当两圆外切时，eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m).解得m＝25＋10eq\r(11).(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦的长为2×eq\r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq\r(7).12．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4,1)．(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(3)时，求l的方程．解(1)由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝2，①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝4，此时直线与圆相切，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，若直线l与圆相切，则d＝eq\f(|1－2k|,\r(k2＋1