新高考数学一轮复习（基础版）第一章集合、常用逻辑用语、不等式讲义

§1.1集合课标要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(√)2．(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁RA)∩B等于()A．{x|2<x≤3}B．{x|7<x<10}C．{x|2<x<3或7≤x<10}D．{x|2<x≤3或7<x<10}答案C解析因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．3．(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.答案2解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2.4．(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．答案[2，＋∞)解析因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.题型一集合的含义与表示例1(1)(2024·潮州模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B等于()A．{0,3} B．{(0,0)，(3,9)}C．{(0,0)} D．{(3,9)}答案B解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝3x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝9，))故A∩B＝{(0,0)，(3,9)}．(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．答案－eq\f(3,2)解析由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－eq\f(3,2).当m＝1时，m＋2＝3,2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－eq\f(3,2)时，m＋2＝eq\f(1,2)，2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－eq\f(3,2).思维升华解决集合含义问题的关键点(1)一是确定构成集合的元素．(2)确定元素的限制条件．(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为()A．3B．4C．5D．6答案B解析因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4.(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为()A．1 B．1或0C．0 D．－1或0答案C解析∵－1∈A，∴当a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合中元素的互异性；当a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，符合题意，故a＝0.题型二集合间的基本关系例2(1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则()A．A⊆B B．B⊆AC．A∩B＝∅ D．A∪B＝R答案A解析因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，所以A⊆B.(2)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a等于()A．2B．1C.eq\f(2,3)D．－1答案B解析若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．综上所述，a＝1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)已知集合M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是()A．MN B．NMC．M⊆∁RN D．N⊆∁RM答案B解析因为M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.(2)(2024·南平质检)设集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．{a|a≥3} B．{a|－1≤a≤3}C．{a|a≥－1} D．{a|a≤－1}答案D解析由A⊆B可得a≤－1.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于()A．{x|0≤x<2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案D解析因为M＝{x|eq\r(x)<4}，所以M＝{x|0≤x<16}；因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3))))).所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16)))).(2)(多选)(2023·潍坊模拟)若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则()A．P⊆M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩(∁PN)＝∅答案BC解析由M∩N＝N，可得N⊆M，由M∪P＝P，可得M⊆P，则推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P，可得M∩P＝M，故B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M，可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(1,2)答案BCD解析由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＝0，满足题意；当B≠∅时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，－eq\f(1,m)＝2或－eq\f(1,m)＝－3，解得m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3)，综上，m＝0或－eq\f(1,2)或eq\f(1,3).(2)(2023·齐齐哈尔检测)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤a－1}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为()A．(－∞，1] B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案D解析因为A∪B＝R，所以a－1≥1，解得a≥2.思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则()A．(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}B．(∁RA)∩B＝{x|1<x<2}C．A∩B＝{x|2<x<3}D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集答案ACD解析由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以∁RA＝{x|0≤x≤2}，对于A，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确；对于B，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误；对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确；对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确．(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为()A．(－∞，1] B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案B解析因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅，则a－1≤1，解得a≤2.课时精练一、单项选择题1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则()A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M答案A解析由题意知M＝{2,4,5}．2．(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于()A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}答案C解析方法一因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．方法二因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0，1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．3．(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集个数为()A．2B．4C．8D．16答案B解析A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集个数为22＝4.4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是()A．(∁UA)∩B B．A∩BC．(∁UA)∩(∁UB) D．A∩(∁UB)答案D解析由Venn图表示集合U，A，B如图，由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A，(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝∅.5．(2023·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于()A．0或4 B．1或4C．0 D．4答案A解析∵B⊆A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意；当m＝m2时，得m＝0或m＝1，当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意；当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性．综上，m可取0,4.6．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则()A．M∩N≠∅ B．M⊆NC．N⊆M D．M＝N答案A解析因为x∉∁RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠∅，故A正确；由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误．7．已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a≥0}，且A∩B＝{1,2}，则a的取值范围为()A．(0,1) B．(0,1]C．(0,3] D．(0,3)答案C解析因为A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0,1,2}，B＝{x|3x－a≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，又A∩B＝{1,2}，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，则a的取值范围为(0,3]．8．已知集合A＝{x|x>4}，B＝{x|x<2m}，且∁RB⊆A，则实数m的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]答案A解析因为B＝{x|x<2m}，所以∁RB＝{x|x≥2m}，又A＝{x|x>4}，且∁RB⊆A，所以2m>4，得到m>2.二、多项选择题9．已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则()A．M∪N＝N B．M∩N＝NC．∁IM⊆∁IN D．(∁IN)∩M＝∅答案AD解析因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；又I为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝∅，C错误，D正确．10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2答案ABC解析A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意；当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，综上可得a＝0或±1.三、填空题11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________．答案4解析根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．12．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．答案{m|m≤4}解析因为A∪B＝A，则B⊆A.当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅⊆A，满足题意；当m＋1≤2m－1，即m≥2时，B≠∅，由B⊆A可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，))解得－3≤m≤4，此时2≤m≤4.综上所述，m≤4.13．已知集合A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2＋px＋q≤0}，若A∪B＝R，且A∩B＝[－2，－1)，则p，q的值分别为()A．－1，－6 B．1，－6C．3,2 D．－3,2答案A解析由|x－1|>2可得x－1>2或x－1<－2，解得x>3或x<－1，所以A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，又因为A∪B＝R，A∩B＝[－2，－1)，所以B＝[－2,3]，所以－2,3是方程x2＋px＋q＝0的两个根，由根与系数的关系可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋3＝－p，,－2×3＝q，))解得p＝－1，q＝－6.14．(多选)设集合M＝{x|x＝6k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝6k＋4，k∈Z}，P＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，则下列说法中正确的是()A．M＝NP B．(M∪N)PC．M∩N＝∅ D．∁PM＝N答案CD解析因为M＝{x|x＝6k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3(2k＋1)－2，k∈Z}，N＝{x|x＝6k＋4，k∈Z}＝{x|x＝3(2k＋2)－2，k∈Z}，当k∈Z时，2k＋1为奇数，2k＋2为偶数，则M≠N，M∪N＝P，M∩N＝∅，∁PM＝N.§1.2常用逻辑用语课标要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(√)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(√)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(4)命题“∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．(×)2．(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是()A．p是真命题B．綈p：∀x∈R，x＋2>0C．綈p是真命题D．綈p：∃x∈R，x＋2>0答案CD解析当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为綈p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；綈p是真命题，故C正确．3．(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________．答案(－∞，3)解析由题意知，x∈A⇒x∈B，x∈B⇏x∈A，即AB，所以a<3.题型一充分、必要条件的判定例1(1)“x2－x＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析x2－x＝0，解得x＝0或x＝1，则x2－x＝0不能推出x＝1，x＝1可推出x2－x＝0，故“x2－x＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．(2)已知p：向量a，b所在的直线平行，q：向量a，b平行，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当向量a，b所在的直线平行时，可得向量a，b平行，则充分性成立，而当向量a，b平行时，向量a，b所在的直线平行或重合，则必要性不成立，则p是q的充分不必要条件．思维升华充分、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断．(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．跟踪训练1(1)在△ABC中，“A为锐角”是“sinA>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，由“A为锐角”，易得“sinA>0”，∴“A为锐角”是“sinA>0”的充分条件；在△ABC中，由“sinA>0”，不能得出“A为锐角”(如sinA＝1>0，A为直角，实际上，当A∈(0，π)时，sinA>0恒成立)，∴“A为锐角”不是“sinA>0”的必要条件；综上所述，“A为锐角”是“sinA>0”的充分不必要条件．(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件．题型二充分、必要条件的应用例2在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|－1<x<3}，当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．充分不必要条件的等价形式p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．典例已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．答案(1，＋∞)解析由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1.思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)≤2x≤32))))，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．(1)若m＝3，求A∪B；(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)依题意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}．(2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有AB，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m<－2，,2＋m≥5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m≤－2，,2＋m>5，))解得m>4或m≥4，即有m≥4，所以正实数m的取值范围是m≥4.选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有BA，于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3，所以正实数m的取值范围是0<m≤3.题型三全称量词与存在量词命题点1含量词的命题的否定例3(1)(多选)下列说法正确的是()A．“正方形是菱形”是全称量词命题B．∃x∈R，ex<ex＋1C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”答案ABC解析对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确；对于B，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确；对于C，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确；对于D，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确．(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________.答案至少有一个实数是无理数命题点2含量词的命题的真假判断例4(多选)下列命题中的真命题是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2答案ACD解析指数函数的值域为(0，＋∞)，所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误；当x＝1时，lgx＝0<1，所以∃x∈R，lgx<1，故C正确；函数y＝tanx的值域为R，所以∃x∈R，tanx＝2，故D正确．命题点3含量词的命题的应用例5(1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．(－∞，2] D．(－∞，5]答案B解析由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立，因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1.即实数m的取值范围是(－∞，1]．(2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2答案ABC解析若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，符合条件的为A，B，C选项．思维升华含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．跟踪训练3(1)下列命题为真命题的是()A．任意两个等腰三角形都相似B．所有的梯形都是等腰梯形C．∀x∈R，x＋|x|≥0D．∃x∈R，x2－x＋1＝0答案C解析对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；对于D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，故D错误．(2)若命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))解析命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，等价于“方程x2＋x－a＝0无实根”，则Δ＝1＋4a<0，解得a<－eq\f(1,4)，即实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4))).课时精练一、单项选择题1．命题“∃x>0，sinx－x≤0”的否定为()A．∀x≤0，sinx－x>0 B．∃x>0，sinx－x≤0C．∀x>0，sinx－x>0 D．∃x≤0，sinx－x>0答案C解析由题意知命题“∃x>0，sinx－x≤0”为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即∀x>0，sinx－x>0.2．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：eq\r(a)>eq\r(b)答案A解析对于A，ab≠0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b≠0))⇒a≠0，故p是q的充分条件；对于B，a2＋b2≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∈R，,b∈R))⇏a≥0且b≥0，故p不是q的充分条件；对于C，x2>1⇔x>1或x<－1⇏x>1，故p不是q的充分条件；对于D，当a>b时，若b<a<0，则不能推出eq\r(a)>eq\r(b)，故p不是q的充分条件．3．设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验，当λ＝1或λ＝－3时两直线平行．即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件．4．已知p：eq\f(1,x)>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，1]答案C解析由eq\f(1,x)>1可得x(x－1)<0，解得0<x<1，记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分条件，则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0]．5．下列说法正确的是()A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0”D．若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则实数m的取值范围是[1,3]答案D解析eq\r(2)是无理数，x2＝2是有理数，A错误；当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误；“1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≤1，,m＋2≥3，))两个不等式的等号不同时取到，解得1≤m≤3，D正确．6．设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－2<a<2；若对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，则0<4－3a<1，即1<a<eq\f(4,3).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))(－2,2)，∴p是q的必要不充分条件．7．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围是()A．－4<a<0 B．－4≤a<0C．－4<a≤0 D．－4≤a≤0答案C解析命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题綈p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题，当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.综上可知，－4<a≤0.8．(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案C解析方法一甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－n＋1Sn,nn＋1)＝eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)为常数，设为t，即eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．方法二甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，则eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差为D，则eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝D，eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．二、多项选择题9．使eq\f(2,x)≥1成立的一个充分不必要条件是()A．0＜x＜1 B．0＜x＜2C．x＜2 D．0＜x≤2答案AB解析由eq\f(2,x)≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故AB正确．10．下列命题是真命题的是()A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数B．∀x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒为正数C．∃x∈R，2x＜x2D．∀x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＞答案AC解析当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；当x＝eq\f(1,3)时，，故D为假命题．三、填空题11．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sinA＝sinB”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充要解析在△ABC中，∠A＝∠B⇔a＝b⇔sinA＝sinB，故“∠A＝∠B”是“sinA＝sinB”的充要条件．12．已知：命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0，则命题p的否定是__________________；若命题p为假命题，则实数a的取值范围是________．答案∀x∈R，ax2＋2x＋1>0a>1解析由题设，命题p的否定是∀x∈R，ax2＋2x＋1>0；p为假命题，即∀x∈R，ax2＋2x＋1>0为真命题，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4－4a<0，))可得a>1.13．已知函数f(x)＝eq\f(－4x＋5,x＋1)，g(x)＝asinx＋2a(a＞0)，若对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[0,2]使g(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))解析∵x∈[0,2]，∴f(x)＝eq\f(－4x＋5,x＋1)＝－4＋eq\f(9,x＋1)∈[－1,5]，∵x∈[0,2]，a＞0，∴g(x)∈[2a,3a]，由题意得[2a,3a]⊆[－1,5]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,a>0，,3a≤5，))∴0＜a≤eq\f(5,3).14．已知函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析依题意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)＝x＋eq\f(4,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，∴f(x)max＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(17,2).又g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增，∴g(x)max＝8＋a，因此eq\f(17,2)≤8＋a，则a≥eq\f(1,2).

§1.3等式性质与不等式性质课标要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)．2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a<b<0⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；③a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；②假分数的性质eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)，eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(√)(2)若eq\f(b,a)>1，则b>a.(×)(3)同向不等式具有可加性和可乘性．(×)(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则b<a.(×)2．(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是()A．lna<lnb B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a2<b2 D．a3<b3答案D解析对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确．3．(必修第一册P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________．答案eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m)解析eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).证明：eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(ab＋m－ba＋m,bb＋m)＝eq\f(ma－b,bb＋m)，∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，∴eq\f(ma－b,bb＋m)<0，∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).4．(必修第一册P42T5改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________．答案(－2,1)解析因为－2<b<－1，所以－4<2b<－2，又2<a<3，所以－2<a＋2b<1.题型一数(式)的大小比较例1(1)(多选)下列不等式中正确的是()A．x2－2x>－3(x∈R)B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)C．a2＋b2>2(a－b－1)D．若a>b>0，则a2－b2>eq\f(1,a)－eq\f(1,b)答案AD解析∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确；a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；a2－b2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝(a－b)(a＋b)－eq\f(b－a,ab)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,ab)))>0，故选项D正确．(2)已知c>1，且x＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)，y＝eq\r(c)－eq\r(c－1)，则x，y之间的大小关系是()A．x>y B．x＝yC．x<y D．x，y的关系随c而定答案C解析由题设，易知x，y>0，又eq\f(x,y)＝eq\f(\r(c＋1)－\r(c),\r(c)－\r(c－1))＝eq\f(\r(c)＋\r(c－1),\r(c＋1)＋\r(c))<1，∴x<y.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1(1)设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是()A．s≥tB．s>tC．s≤tD．s<t答案A解析因为s－t＝a＋b2＋4－(a－4b)＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2≥0，所以s≥t.(2)已知M＝eq\f(e2023＋1,e2024＋1)，N＝eq\f(e2024＋1,e2025＋1)，则M，N的大小关系为________．答案M>N解析方法一∵M－N＝eq\f(e2023＋1,e2024＋1)－eq\f(e2024＋1,e2025＋1)＝eq\f(e2023＋1e2025＋1－e2024＋12,e2024＋1e2025＋1)＝eq\f(e2023＋e2025－2e2024,e2024＋1e2025＋1)＝eq\f(e2023e－12,e2024＋1e2025＋1)>0.∴M>N.方法二令f(x)＝eq\f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq\f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2023)>f(2024)，即M>N.题型二不等式的基本性质例2(1)若实数a，b满足a<b<0，则()A．a＋b>0 B．a－b<0C．|a|<|b| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))答案B解析由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误；由a<b<0，可得a－b<0，故B正确；由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误；由a<b<0，可得|a|>|b|>0，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))，故D错误．(2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，则a＋c>b＋cC．若a>b>c>0，则eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)D．若a>b>c>0，则eq\f(b,a－b)>eq\f(c,a－c)答案BCD解析当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；由不等式的可加性可知，B正确；若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0，∴eq\f(a,b)－eq\f(a＋c,b＋c)＝eq\f(ab＋c－ba＋c,bb＋c)＝eq\f(ca－b,bb＋c)>0，∴eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)，故C正确；若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b，∴eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a－c)>0，又b>c>0，由可乘性知，eq\f(b,a－b)>eq\f(c,a－c)，故D正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2(1)设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1，满足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立；当a－c<b－d时，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立，所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分条件．(2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．－a2<－abC．ln|a－1|>ln|b－1|D．2a－b>1答案ABD解析因为a>b>0，eq\f(1,ab)>0，所以eq\f(a,ab)>eq\f(b,ab)，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，故A正确；因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确；若a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2)，ln|a－1|＝ln|b－1|＝ln

eq\f(1,2)，故C不正确；因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是()A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7答案D解析因为－1<y<1，所以－2<－2y<2，又0<x<5，所以－2<x－2y<7.延伸探究若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围．解设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝1，,m－n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2)，,n＝\f(3,2)，))∴x－2y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(3,2)(x－y)，∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，∴－1≤－eq\f(1,2)(x＋y)≤eq\f(1,2)，－3≤eq\f(3,2)(x－y)≤eq\f(3,2)，∴－4≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(3,2)(x－y)≤2，即－4≤x－2y≤2.(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为()A．20B．22C．26D．28答案B解析设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*，则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6，又教师人数的两倍多于男学生人数，∴2x>x＋3，解得x>3，当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22.思维升华利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点(1)必须严格运用不等式的性质．(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．跟踪训练3(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则()A．a＋b的取值范围为[4,7]B．b－a的取值范围为[2,3]C．ab的取值范围为[3,10]D.eq\f(a,b)的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,5)))答案AC解析因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4，所以a＋b的取值范围为[4,7]，b－a的取值范围为[1,4]，故A正确，B错误；因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以3≤ab≤10，eq\f(1,5)≤eq\f(1,b)≤eq\f(1,3)，eq\f(1,5)≤eq\f(a,b)≤eq\f(2,3)，所以ab的取值范围为[3,10]，eq\f(a,b)的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(2,3)))，故C正确，D错误．(2)已知－2<x－y<0,1<2x＋y<3，则8x＋y的取值范围为__________．答案(－1,9)解析设8x＋y＝m(x－y)＋n(2x＋y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8，,－m＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝3.))∴8x＋y＝2(x－y)＋3(2x＋y)．又－4<2(x－y)<0,3<3(2x＋y)<9，∴8x＋y∈(－1,9)．课时精练一、单项选择题1．已知a，b∈R，则“eq\r(a)>eq\r(b)”是“lna>lnb”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若“eq\r(a)>eq\r(b)”，取a＝1，b＝0，但是lnb无意义，所以由“eq\r(a)>eq\r(b)”推不出“lna>lnb”，若“lna>lnb”，则a>b>0，所以eq\r(a)>eq\r(b)，所以由“lna>lnb”可推出“eq\r(a)>eq\r(b)”，所以“eq\r(a)>eq\r(b)”是“lna>lnb”的必要不充分条件．2．地球表面被很厚的大气层包围，大气层的厚度大约在1000km以上，整个大气层高度不同表现出不同的特点，分为对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层，再上面就是星际空间了．平流层是指地球表面以上10km到50km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是()A．|x－30|<20 B．|x＋30|<20C．|x＋10|<50 D．|x－10|<50答案A解析平流层是指地球表面以上10km到50km的区域，若x能表示平流层高度，则10<x<50，所以－20<x－30<20，即|x－30|<20.3．已知a>0，b>0，设m＝a－2eq\r(b)＋2，n＝2eq\r(a)－b，则()A．m≥nB．m>nC．m≤nD．m<n答案A解析由题意可知，m－n＝a－2eq\r(b)＋2－2eq\r(a)＋b＝(eq\r(a)－1)2＋(eq\r(b)－1)2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n.4．已知a>b，则下列不等式一定成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．2a>2bC．a2>b2D．|a|>|b|答案B解析取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，a2<b2，|a|<|b|成立，即选项A，C，D都不正确；指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确．5．若c>b>a>0，则()A．abbc>acbb B．2lnb<lna＋lncC．a－eq\f(c,a)>b－eq\f(c,b) D．logac>logbc答案A解析由于eq\f(abbc,acbb)＝ab－cbc－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))b－c>1，所以abbc>acbb成立，故A正确；2lnb＝lnb2，lna＋lnc＝lnac，b2与ac大小不能确定，故B错误；由于a－eq\f(c,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(c,b)))＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(c,ab)))<0，故C错误；令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误．6．已知实数m，n满足0<n<m<1，则()A.eq\f(n,m)>eq\f(n＋1,m＋1) B．m＋eq\f(1,m)>n＋eq\f(1,n)C．mn<nm D．logmn>lognm答案D解析由0<n<m<1知，n－m<0，故eq\f(n,m)－eq\f(n＋1,m＋1)＝eq\f(n－m,mm＋1)<0，所以eq\f(n,m)<eq\f(n＋1,m＋1)，故A错误；由0<n<m<1，得m－n>0,1－eq\f(1,mn)＝eq\f(mn－1,mn)<0，所以m＋eq\f(1,m)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,n)))＝(m－n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,mn)))<0，即m＋eq\f(1,m)<n＋eq\f(1,n)，故B错误；因为指数函数y＝mx为减函数，故mn>mm，由幂函数y＝xm为增函数知，mm>nm，故mn>nm，故C错误；根据0<n<m<1知，对数函数y＝logmx，y＝lognx为减函数，故logmn>logmm＝1＝lognn>lognm，故D正确．二、多项选择题7．下列结论中不正确的是()A．若ac2>bc2，则a>bB．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，则a>bC．若a>b，c>d，则ac>bdD．若2a－b>1，则a<b答案BCD解析ac2>bc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a>b，故A正确；取a＝－1，b＝1，满足eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又a<b，故B错误；取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，满足a>b，c>d，又ac＝bd，故C错误；取a＝2，b＝1，满足2a－b>1，又a>b，故D错误．8．已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则()A．－1<x<2 B．－2<y<1C．－3<x＋y<3 D．－1<x－y<3答案ABD解析因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，则－5<5x<10，即－1<x<2，故A正确；又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，所以－5<－5y<10，即－2<y<1，故B正确；x＋y＝eq\f(3x＋2y＋2x－y,5)∈(－2,2)，故C错误；x－y＝eq\f(－x＋2y＋32x－y,5)∈(－1,3)，故D正确．三、填空题9．已知a>0，－1<b<0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是________．答案ab<ab2<a解析因为a>0，－1<b<0，所以ab<0,0<b2<1,0<ab2<a，故ab<ab2<a.10．若a，b同时满足下列两个条件：①a＋b>ab；②eq\f(1,a＋b)>eq\f(1,ab).请写出一组a，b的值________．答案a＝－1，b＝2(答案不唯一)解析容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0，当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案．四、解答题11．(1)设a>b>0，比较eq\f(a2－b2,a2＋b2)与eq\f(a－b,a＋b)的大小；(2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).(1)解∵a>b>0，∴eq\f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq\f(a－b,a＋b)>0，∴eq\f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝eq\f(a＋b2,a2＋b2)＝1＋eq\f(2ab,a2＋b2)>1，∴eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b).(2)证明∵c<d<0，∴－c>－d>0，又a>b>0，∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，又e<0，∴eq\f(e,a－c)－eq\f(e,b－d)＝eq\f(eb－d－ea－c,a－cb－d)＝eq\f(eb－d－a＋c,a－cb－d)＝eq\f(eb－a＋c－d,a－cb－d)>0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).12．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.(1)求实数a的取值范围；(2)求3a－2b的取值范围．解(1)a＝eq\f(1,2)[(a＋b)＋(a－b)]，由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，∴－2≤eq\f(1,2)[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3，故实数a的取值范围为[－2,3]．(2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝\f(5,2)，))∴3a－2b＝eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(5,2)(a－b)，∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.∴－eq\f(3,2)≤eq\f(1,2)(a＋b)≤1，－eq\f(5,2)≤eq\f(5,2)(a－b)≤10，∴－4≤3a－2b≤11，即3a－2b的取值范围为[－4,11]．13．(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是()A．(a＋c)2>eq\f(1,b)B.eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)C．a2>b2D．(a2b－1)(ab2－1)>0答案ABD解析对A，根据abc＝1可得eq\f(1,b)＝ac，故(a＋c)2>eq\f(1,b)，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(c,2)))2＋eq\f(3c2,4)>0恒成立，故(a＋c)2>eq\f(1,b)成立，故A正确；对B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)成立，故B正确；对C，当a＝eq\f(1,2)，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误；对D，因为abc＝1，(a2b－1)(ab2－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)－1))＝eq\f(a－cb－c,c2)，因为a>b>c，故eq\f(a－cb－c,c2)>0，故D正确．14．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农副产品m吨，按规定，农户向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为减少农民负担，制定积极的收购政策，根据市场