2025年高考数学函数与三角函数综合专项训练试卷

2025年高考数学函数与三角函数综合专项训练试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|y=√(x+1)},B={y|y=2x-1},则A∩B=?(A){x|-1≤x<∞}(B){x|x>1}(C){x|x≥-1}(D){x|x<1}2.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是？(A)1(B)2(C)0(D)-13.函数g(x)=(1/2)^x在其定义域内是？(A)增函数(B)减函数(C)偶函数(D)奇函数4.若函数h(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π/2,且图象关于y轴对称，则ω和φ满足？(A)ω=4,φ=kπ+π/2(k∈Z)(B)ω=2,φ=kπ(k∈Z)(C)ω=4,φ=kπ(k∈Z)(D)ω=2,φ=kπ+π/2(k∈Z)5."x>1"是"x^2>1"的？(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.函数y=log_a(x+3)(a>0,a≠1)的图象恒过定点？(A)(1,-2)(B)(-3,1)(C)(a,-2)(D)(-3,a)7.若sinα+cosα=√2,则sin^3α+cos^3α的值是？(A)1(B)√2(C)0(D)-18.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别是？(A)3,-5(B)3,-1(C)5,-5(D)5,-19.若函数m(x)=sinx-ax在区间[0,π]上单调递减，则实数a的取值范围是？(A)a≥1(B)a≤-1(C)a≥1或a≤-√2(D)a≤-1或a≥√210.已知点(1,2)是函数n(x)=x^3+bx^2+cx+d的两个切点之一，其中b+c=5,则d的值是？(A)3(B)4(C)5(D)6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11.若tan(A+π/4)=3,则tan(A-π/4)的值是？12.已知函数f(x)=2cos^2x-sin(2x)-1,则f(x)的最小正周期是？13.若实数x满足sin(x-π/6)≥1/2,且x∈[-π,π],则x的取值集合是？14.已知函数g(x)=x^2+px+q在x=1处取得极小值-2,则p·q的值是？三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx,且f(1)=0,f'(2)=3。(1)求a,b的值；(2)判断函数f(x)在区间[-1,3]上的单调性。16.(本小题满分13分)已知函数h(x)=√3sinx-cosx-1。(1)求函数h(x)的最小正周期和最大值；(2)若h(α)=0,且α∈(π/2,3π/2),求tanα的值。17.(本小题满分14分)已知函数F(x)=f(x)+1/f(x)-2cosx,其中f(x)=sin(x+θ)。(1)若F(x)是偶函数，求θ的值；(2)在(0,π/2)上，是否存在F(x)的单调递增区间？若存在，求出该区间；若不存在，说明理由。18.(本小题满分15分)设函数G(x)=(x-1)g(x)+x^2,其中g(x)是定义在R上的奇函数，且G(0)=1。(1)求g(0)的值，并判断g(x)的奇偶性；(2)若对任意x∈R,恒有G(x)≥sinπx-cosπx,求实数x的取值范围。19.(本小题满分15分)已知函数f(x)=e^x-ax^2-bx+1。(1)若f(x)在x=0处取得极值，求a,b的关系式；(2)在(1)的条件下，若f(x)在区间[1,+∞)上恒大于0，求a的取值范围。20.(本小题满分19分)设函数φ(x)=x^3-3x+2sinx+1。(1)求函数φ(x)的导函数φ'(x)，并判断φ(x)在区间(-∞,0)上的单调性；(2)若存在x1,x2∈(-2,2)，使得φ(x1)+φ(x2)=0，求|x1-x2|的最大值；(3)讨论关于x的方程x^3-3x+2sinx+c=0有三个不同实数根的条件。试卷答案一、选择题：1.B2.B3.B4.D5.A6.B7.C8.D9.C10.D二、填空题：11.-1/312.π13.[π/6,5π/6]14.-3三、解答题：15.(1)解：f'(x)=3x^2-2ax+b。由f(1)=0得1-a+b=0，即b=a-1。由f'(2)=3得12-4a+b=3，代入b=a-1得12-4a+a-1=3，即-3a=-8，解得a=8/3。代入b=a-1得b=8/3-1=5/3。所以a=8/3,b=5/3。(2)解：由(1)知f(x)=x^3-(8/3)x^2+(5/3)x。f'(x)=3x^2-(16/3)x+5/3=(x-1)(9x-5)/3。令f'(x)=0得x=1或x=5/9。列表分析f(x)的单调性：x|(-∞,5/9)|5/9|(5/9,1)|1|(1,+∞)f'(x)|+|0|-|0|+f(x)|递增|极大值|递减|极小值|递增值|||||区间|||||单调性|递增||递减|极小值|递增在区间[-1,3]上，f(x)在(-1,5/9)和(1,3]上单调递增，在(5/9,1)上单调递减。计算端点和极值点处的函数值：f(-1)=(-1)^3-(8/3)(-1)^2+(5/3)(-1)=-1-8/3-5/3=-1-13/3=-16/3。f(5/9)=(5/9)^3-(8/3)(5/9)^2+(5/3)(5/9)=125/729-200/243+25/27=125/729-300/729+450/729=275/729。f(1)=1-8/3+5/3=1-3/3=-2/3。f(3)=3^3-(8/3)3^2+(5/3)3=27-24+5=8。所以f(x)在区间[-1,3]上的最大值是8，最小值是-16/3。16.(1)解：h(x)=√3sinx-cosx-1=2sin(x-π/6)-1。函数h(x)的最小正周期T=2π/|ω|=2π。当sin(x-π/6)=1时，h(x)取得最大值，最大值为2*1-1=1。所以函数h(x)的最小正周期是2π，最大值是1。(2)解：由h(α)=0得2sin(α-π/6)-1=0，即sin(α-π/6)=1/2。因为α∈(π/2,3π/2)，所以π/2<α<3π/2。所以π/3<α-π/6<4π/3。所以α-π/6∈(π/3,4π/3)。在此区间内，sin(α-π/6)=1/2对应的角度是α-π/6=5π/6。所以α=5π/6+π/6=π。此时tanα=tanπ=0。17.(1)解：F(x)是偶函数，则F(-x)=F(x)对任意x∈R恒成立。F(-x)=f(-x)+1/f(-x)-2cos(-x)=-f(x)-1/(-f(x))-2cosx=-[f(x)+1/f(x)]-2cosx。F(x)=f(x)+1/f(x)-2cosx。所以-[f(x)+1/f(x)]-2cosx=f(x)+1/f(x)-2cosx对任意x∈R恒成立。所以-[f(x)+1/f(x)]=f(x)+1/f(x)对任意x∈R恒成立。所以-2[f(x)+1/f(x)]=0对任意x∈R恒成立。所以f(x)+1/f(x)=0对任意x∈R恒成立。因为f(x)=sin(x+θ)，所以sin(x+θ)+1/sin(x+θ)=0对任意x∈R恒成立。因为1/sin(x+θ)≠0，所以sin(x+θ)=0对任意x∈R恒成立。这只有在sin(x+θ)的值域为{0}时才可能，即sin(x+θ)恒为0。这意味着x+θ=kπ(k∈Z)对任意x∈R恒成立，这不可能。所以唯一的可能是θ+kπ=π/2或θ+kπ=3π/2(k∈Z)。取k=0，得θ=π/2。所以θ=π/2+kπ(k∈Z)。(2)解：由(1)知θ=π/2+kπ(k∈Z)，所以f(x)=sin(x+π/2+kπ)=cosx+kπ。当k为偶数时，kπ为2mπ(m∈Z)，f(x)=cosx+2mπ=cosx+2mπ。函数f(x)=cosx是周期为2π的偶函数，其导数f'(x)=-sinx。在(0,π/2)上，sinx>0，所以f'(x)=-sinx<0，f(x)在(0,π/2)上单调递减。所以F(x)=f(x)+1/f(x)-2cosx=cosx+1/(cosx+2mπ)-2cosx=1/(cosx+2mπ)-cosx。令t=cosx，x∈(0,π/2)，则t∈(0,1)。函数G(t)=1/(t+2mπ)-t在(0,1)上单调递减。所以F(x)在(0,π/2)上单调递减，不存在单调递增区间。当k为奇数时，kπ为(2m+1)π(m∈Z)，f(x)=cosx+(2m+1)π=cosx+(2m+1)π。函数f(x)=cosx是周期为2π的偶函数，其导数f'(x)=-sinx。在(0,π/2)上，sinx>0，所以f'(x)=-sinx<0，f(x)在(0,π/2)上单调递减。所以F(x)=f(x)+1/f(x)-2cosx=cosx+1/(cosx+(2m+1)π)-2cosx=1/(cosx+(2m+1)π)-cosx。令t=cosx，x∈(0,π/2)，则t∈(0,1)。函数G(t)=1/(t+(2m+1)π)-t在(0,1)上单调递减。所以F(x)在(0,π/2)上单调递减，不存在单调递增区间。综上，在(0,π/2)上，F(x)不存在单调递增区间。18.(1)解：由g(x)是奇函数得g(0)=0。由G(0)=1得(0-1)g(0)+0^2=1，即-g(0)=1，所以g(0)=-1。由奇函数的定义g(-x)=-g(x)，令x=0得g(0)=-g(0)，所以-1=-(-1)，等式成立。所以g(x)的奇偶性为奇函数。由G(x)=(x-1)g(x)+x^2是奇函数，得G(-x)=-G(x)对任意x∈R恒成立。G(-x)=(-x-1)g(-x)+(-x)^2=(-x-1)(-g(x))+x^2=(x+1)g(x)+x^2。-G(x)=-(x-1)g(x)+x^2=-xg(x)+g(x)+x^2。所以(x+1)g(x)+x^2=-xg(x)+g(x)+x^2对任意x∈R恒成立。所以(x+1+x)g(x)=g(x)对任意x∈R恒成立。所以(2x+1)g(x)=g(x)对任意x∈R恒成立。因为g(x)是奇函数，g(0)=0，所以g(x)在x≠0时可能不为0。所以(2x+1)=1对任意x≠0恒成立，这不可能。所以唯一的可能是g(x)恒为0对任意x≠0成立，但这与g(0)=0是奇函数矛盾。因此，G(x)是奇函数的条件不可能满足。此题条件可能存在问题，或需补充信息（如g(x)≠0对x≠0）。按常规奇偶性判断，g(x)是奇函数。(2)解：对任意x∈R,恒有G(x)≥sinπx-cosπx。即(x-1)g(x)+x^2≥sinπx-cosπx对任意x∈R恒成立。由(1)知g(x)是奇函数，且G(x)=(x-1)g(x)+x^2。当x=0时，G(0)=1，sin0-cos0=-1，不等式成立。当x≠0时，(x-1)g(x)+x^2≥sinπx-cosπx。因为g(x)是奇函数，所以(x-1)g(x)是奇函数，x^2是偶函数，sinπx是奇函数，-cosπx是偶函数。所以(x-1)g(x)+x^2与sinπx-cosπx都是奇函数+偶函数=奇函数。所以不等式两边都是奇函数。因为x=0时等号成立，即1≥-1。因为奇函数x→f(x)与x→-f(-x)的图像关于原点对称。所以不等式(x-1)g(x)+x^2≥sinπx-cosπx对任意x∈R恒成立的充要条件是：当x>0时，(x-1)g(x)+x^2≥sinπx-cosπx恒成立，且当x<0时，(x-1)g(x)+x^2≤-[sin(-πx)-cos(-πx)]=-sinπx+cosπx恒成立。即当x>0时，(x-1)g(x)+x^2≥sinπx-cosπx恒成立，且当x<0时，(x-1)g(x)+x^2≤sinπx-cosπx恒成立。令F(x)=(x-1)g(x)+x^2-sinπx+cosπx。由x=0时G(0)=1≥-1=sin0-cos0+cos0-sin0，即F(0)=0。所以当x>0时，F(x)≥F(0)=0恒成立。当x<0时，F(x)≤F(0)=0恒成立。即F(x)=(x-1)g(x)+x^2-sinπx+cosπx≥0对任意x∈R恒成立。因为x=0时G(0)=1=sin0-cos0+cos0-sin0=0+cos0-sin0，即F(0)=cos0-sin0=0。所以F(x)=(x-1)g(x)+x^2-sinπx+cosπx≥0对任意x∈R恒成立的充要条件是F(x)≥0对任意x∈R恒成立。由x=0时F(0)=0，且F(x)在x>0时≥0，在x<0时≤0。所以F(x)=(x-1)g(x)+x^2-sinπx+cosπx≥0对任意x∈R恒成立的充要条件是F(x)恒等于0对任意x∈R成立。即(x-1)g(x)+x^2=sinπx-cosπx对任意x∈R恒成立。即(x-1)g(x)+x^2=sinπx-cosπx对任意x∈R恒成立。由G(x)=(x-1)g(x)+x^2，sinπx-cosπx=G(-x)。所以(x-1)g(x)+x^2=G(-x)对任意x∈R恒成立。这意味着G(x)=(x-1)g(x)+x^2恒等于G(-x)对任意x∈R恒成立。这意味着G(x)是偶函数。由(1)知G(x)是奇函数的条件不可能满足。此题条件可能存在问题，或需补充信息（如g(x)≠0对x≠0）。按常规奇偶性判断，G(x)不是偶函数。因此，原不等式对任意x∈R恒成立的条件不可能满足。此题条件可能存在问题。（注：此题条件设置存在内在矛盾，按标准奇偶性定义，G(x)无法同时为奇函数和偶函数。因此，基于此条件求解第二问无解。若题目意图是考察奇偶性定义或恒成立问题，需修正条件。此处按字面条件分析其矛盾性及求解困难。）19.(1)解：f'(x)=e^x-2ax-b。由f(x)在x=0处取得极值，得f'(0)=0。由f'(0)=e^0-2a*0-b=1-b=0得b=1。所以a,b的关系式为b=1。(2)解：由(1)知b=1，所以f(x)=e^x-ax^2-x+1。f'(x)=e^x-2ax-1。f''(x)=e^x-2a。在区间[1,+∞)上恒有f(x)>0，即e^x-ax^2-x+1>0。因为a≥0时，x^2+x在[1,+∞)上递增，所以x^2+x≥1+1=2。所以-ax^2-x≤-2a-1。所以e^x-ax^2-x+1≤e^x-2a-1。要使e^x-ax^2-x+1>0在[1,+∞)上恒成立，只要e^x-2a-1>0在[1,+∞)上恒成立。令g(x)=e^x-2a-1，x∈[1,+∞)。g'(x)=e^x>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增。所以g(x)在[1,+∞)上的最小值是g(1)=e^1-2a-1=e-2a-1。要使g(x)>0在[1,+∞)上恒成立，只要g(1)>0。即e-2a-1>0，解得2a<e-1，即a<(e-1)/2。当a<(e-1)/2时，e^x-2a-1>0在[1,+∞)上恒成立。此时e^x-ax^2-x+1>0在[1,+∞)上恒成立。当a≥(e-1)/2时，e^x-2a-1在[1,+∞)上不恒大于0，因此e^x-ax^2-x+1>0在[1,+∞)上不恒成立。综上，若f(x)在区间[1,+∞)上恒大于0，则a的取值范围是a<(e-1)/2。20.(1)解：φ(x)=x^3-3x+2sinx+1。φ'(x)=3x^2-3+2cosx。在区间(-∞,0)上，x<0，x^2>0，所以3x^2>0。所以φ'(x)=3x^2-3+2cosx=3(x^2-1)+2cosx。在(-∞,0)上，x^2>1，所以x^2-1>0。在(-∞,0)上，x是负角，所以cosx的取值范围是[-1,1]。所以2cosx的取值范围是[-2,2]。所以φ'(x)=3(x^2-1)+2cosx>3(1)-2=1>0。所以φ(x)在区间(-∞,0)上单调递增。(2)解：由题意存在x1,x2∈(-2,2)，使得φ(x1)+φ(x2)=0。即φ(x1)=-φ(x2)。令h(x)=φ(x)-φ(-x)。h(x)=[x^3-3x+2sinx+1]-[(-x)^3-3(-x)+2sin(-x)+1]=x^3-3x+2sinx+1+x^3+3x-2sinx-1=2x^3。所以φ(x1)=-φ(x2)等价于h(x1)=-h(x2)，即2x1^3=-2x2^3，即x1^3=-x2^3，即x1=-x2。所以|x1-x2|=|-x2-x2|=2|x2|。因为x1,x2∈(-2,2)，所以-2<x1<2,-2<x2<2。所以-2<-x2<2，即-2<x2<2。所以|x2|<2。所以|x1-x2|=2|x2|<2*2=4。要使|x1-x2|最大，需要使2|x2|最大。因为|x2|<2，所以2|x2|<4。当且仅当|x2|取得最大值时，2|x2|也取得最大值。|x2|的最大值是2。但|x2|<2，所以2|x2|不能达到4。所以|x1-x2|的最大值小于4。令x2=1，则x1=-1，x1,x2∈(-2,2)。此时φ(1)=1^3-3*1+2sin1+1=-1+2sin1+2。φ(-1)=(-1)^3-3*(-1)+2sin(-1)+1=-1+3-2sin1+1=3-2sin1。φ(1)+φ(-1)=(-1+2sin1+2)+(3-2sin1)=4。所以φ(x1)+φ(x2)=0有解的条件是φ(1)+φ(-1)=4=0，这显然不成立。因此，假设“存在x1,x2∈(-2,2)，使得φ(x1)+φ(x2)=0”的前提条件不成立。所以不存在这样的x1,x2，使得φ(x1)+φ(x2)=0。因此，|x1-x2|的最大值问题在给定条件下无解。(3)解：讨论方程x^3-3x+2sinx+c=0有三个不同实数根的条件。令f(x)=x^3-3x+2sinx+c。f'(x)=3x^2-3+2cosx。f''(x)=6x+2(-sinx)=6x-2sinx。(i)求f(x)的极值点：令f'(x)=0，即3x^2-3+2cosx=0。令g(x)=3x^2-3+2cosx，g'(x)=6x-2sinx。g''(x)=6-2cosx。当x∈R时，-1≤cosx≤1，所以4≤6-2cosx≤8，即g''(x)>0。所以g(x)=3x^2-3+2cosx在R上单调递增。因为g(0)=3*0^2-3+2cos0=-3+2=-1<0。因为g(1)=3*1^2-3+2cos1=2cos1>0。所以方程g(x)=3x^2-3+2cosx=0在R上有且仅有一个实数根，记为x₀。因为g(x)单调递增，所以f'(x)在x=x₀处变号。若x₀>0，则f'(x)在(-∞,x₀)<0，在(x₀,+∞)>0；若x₀<0，则f'(x)在(-∞,x₀)>0，在(x₀,+∞)<0。所以f(x)在x=x₀处取得极小值（若x₀>0）或极大值（若x₀<0）。f(x₀)=x₀^3-3x₀+2sinx₀+c。(ii)讨论方程f(x)=0有三个不同实数根的条件：要使方程f(x)=0有三个不同实数根，需要满足以下条件：1.f(x)在R上至少有两个极值点，且函数图像与x轴有三个不同交点。2.f(x)在R上只有一个极值点（即f'(x)=0只有一个解），且该极值点的函数值等于零（即f(x)在该点与x轴相切），并且存在另一个零点。分析条件1：若f(x)=x^3-3x+2sinx+c有三个不同实数根，则f'(x)=3x^2-3+2cosx=0有两个不同的实数解。由(i)知，f'(x)=0有唯一解x₀。所以条件1不可能满足。分析条件2：若f(x)=x^3-3x+2sinx+c有三个不同实数根，则f'(x)=3x^2-3+2cosx=0有唯一解x₀，且f(x₀)=0。由(i)知，f'(x)=3x^2-3+2cosx=0有唯一解x₀。所以需要f(x₀)=0。即x₀^3-3x₀+2sinx₀+c=0。因为x₀是f'(x)=0的解，所以3x₀^2-3+2cosx₀=0，即3x₀^2+2cosx₀=3。所以c=-x₀^3+3x₀-2sinx₀。方程f(x)=0有三个不同实数根的条件是：存在一个x₀使得3x₀^2+2cosx₀=3成立，并且c=-x₀^3+3x₀-2sinx₀。由3x₀^2+2cosx₀=3，得x₀^2+(2/3)cosx₀=1。因为x₀是f'(x)=3x^2-3+2cosx=0的解，且x₀≠0。令h(x)=x^2+(2/3)cosx-1。h'(x)=2x-(2/3)sinx。h''(x)=2-(2/3)cosx。当x≠一定义域内某点时，h''(x)>0。所以h(x)在其定义域内单调性分析较为复杂，但h(x)在R上存在零点x₀。由x₀^2+(2/3)cosx₀=1可知，x₀是f'(x)=3x^2-3+2cosx=0的解，且满足x₀≠0。方程f(x)=3x^2-3+2cosx=0有唯一解x₀，且c=-x₀^3+3x₀-2sinx₀。要使f(x)=0有三个不同实数根，需要c=-x₀^3+3x₀-2sinx₀。(1)若f'(x)=3x^2-3+2cosx=0有唯一解x₀（即g(x)=3x^2-3+2cosx的图像与直线y=3的唯一交点x₀满足3x₀^2+2cosx₀=3。(2)若c=-x₀^3+3x₀-2sinx₀。(3)若f(x)=0有三个不同实数根，需要c=-x₀^3+3x₀-2sinx₀。综上，方程x^3-三个不同实数根的条件是：存在一个x₀使得3x₀^3+3x₀-2sinx₀=c，并且满足3x₀^2+2cosx₀=3。即存在唯一解x₀使得c=-x₀^3+3x₀-严格来说，是唯一解x₀使得3x₀^3+3x₀-2sinx₀=c且3x₀^2+2cosx₀=3。这个条件非常特殊，需要先求出x₀满足3x₀^2+2cosx₀=3的解，然后判断是否存在满足c=-x₀^3+3x₀-2sinx₀的值，使得方程f(x)=x^3-3x+2sinx₀+c=0有三个不同实数根。由3x₀^2+2cosx₀=3，得x₀^3+3x₀-2sinx₀=c。所以c=-x₀^3+3x₀-2