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近世代数映射课件20XX汇报人：XXXX有限公司目录01近世代数基础02映射的类型03映射的性质04映射在群论中的应用05映射在环论中的应用06映射在域论中的应用近世代数基础第一章群论的基本概念具有封闭运算的集合群的定义群中每个元素有唯一逆元，且存在单位元单位元与逆元满足结合律的运算体系群的性质环与域的定义可除的交换环域的定义含加乘运算的代数结构环的定义同态与同构一一对应且同态同构映射特点保持运算性质映射同态映射定义映射的类型第二章单射、满射与双射每个原像有唯一像单射像集等于目标集满射既单射又满射双射同态映射保持运算的映射保持单位元及逆元定义与性质单位元与逆元自同构映射自身同构的映射，保持运算关系。定义与特点在代数系统中，同构映射下性质不变。代数系统应用映射的性质第三章映射的运算性质映射经合成运算后仍为映射，保持运算封闭性。合成运算封闭映射的合成运算满足结合律，即(f∘g)∘h=f∘(g∘h)。结合律映射的核与像映射的核原像集中特定子集映射的像像集中对应元素集映射的逆映射映射存在唯一逆时，称该映射可逆。逆映射定义0102原像唯一且像集在原映射下满射。存在条件03理解结构关系，简化问题处理。应用意义映射在群论中的应用第四章子群的映射子群经映射形成的像仍是群，探讨其结构与性质。子群同态像01正规子群映射到核，研究群同态的基本定理。正规子群与核02正规子群与商群在群G中，满足特定条件的子群，对群内元素运算封闭。正规子群定义通过正规子群定义的等价类构成的群，简化群结构研究。商群概念群作用与G-集在群G作用下保持结构的集合，展现群论特性。G-集定义群在集合上的运算规则，揭示元素间关系。群作用概念映射在环论中的应用第五章环的同态与理想同态映射性质保持零元理想环的同态映射保持运算结构映射0102商环与环同构商环概念基于理想陪集构造环同构应用简化环结构分析多项式环的映射保持运算结构的映射01同态映射定义多项式函数映射02多项式环同态映射在域论中的应用第六章域的扩张与映射01扩张定义介绍域扩张的基本概念，包括有限扩张和无限扩张。02映射应用阐述映射在域扩张中的作用，如自同构映射在Galois理论中的应用。有限域的构造利用多项式通过不可约多项式在整数模下构造有限域。扩展域方法基于已知有限域，通过添加根构造更大的有限域。分裂域与伽罗瓦群01分

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