无人机结构动力学3 多自由度系统

无人机结构动力学

（3）多自由度系统的振动

虽然对单自由度系统的分析能揭示振动系统的很多基本特性，但是无人机系统可不是简单的单自由度系统，而是一种复杂的机械振动系统，其质量与刚度连续分布，理论上具有无限多个自由度，严格来讲需要用连续模型才能加以描述，但是连续体的振动分析涉及偏微分方程理论，求解十分困难。

因此工程实践中包括无人机系统在内的许多连续弹性体，通常都是采用适当的方法将其简化为有限多个自由度的模型来分析计算。二自由度系统振动的定义二自由度系统是最简单的多自由度系统，采用两个独立坐标能完全确定系统在空间的几何位置，任意初始条件下的自由振动是这两个不同频率的主振动的叠加，叠加后的振动不一定是简谐振动。当外界激扰为简谐激扰时，二自由度系统对其响应是与激扰频率相同的简谐振动。当激扰频率接近系统的任意一固有频率时，就会发生共振。共振时的振型就是与固有频率相对应的主振型。二自由度系统振动的运动方程应用牛顿第二运动定律，可得有阻尼的双质量弹簧系统的振动微分方程组式中：[M]为系统的质量矩阵，[C]为系统的阻尼矩阵，[K]为系统的刚度矩阵，{x}为系统的位移列阵，{F(t)}为系统的激振力列阵。无阻尼二自由度系统的自由振动无阻尼二自由度系统有两个固有频率，运动微分方程：

设其一组解为：无阻尼二自由度系统的强迫振动无阻尼二自由度系统运动方程为

方程式的解由齐次方程的通解与非齐次方程的特解叠加而成。系统稳态振动频率与激振频率ω相同，特解可取为

x1=B1sinωt

，x2=B2sinωt有阻尼二自由度系统的自由振动有阻尼二自由度系统的自由振动运动方程

该方程的解有以下形式当阻尼很大时，特征方程的根全为负的实数根，其解不是周期性振动，很快就衰减为零。有阻尼二自由度系统的强迫振动有阻尼二自由度系统的自由振动运动方程

该方程的全解应包括两部分，即自由衰减振动部分和强迫振动部分。系统存在阻尼，使响应和激振之间落后一相角差，多自由度系统振动简介多自由度（n>2）系统与二自由度系统并没有本质的区别，只是由于自由度数的增加，在分析和计算时需要更有效的处理方法。

对于多自由度系统耦合的二阶常微分方程组，可以采用直接求其解析解或数值解方法进行研究，也可采用另一种更便于分析的解法，那就是振型叠加法（模态分析法）。这种方法是通过坐标变换，使一组互相耦合的二阶常微分方程组变成一组互相独立的二阶常微分方程组，其中每个方程就如单自由度系统那样求解，这不仅在系统受有更复杂载荷情况下，可以简化运动分析的过程，而且各阶固有频率对整个振动的参与情况也一目了然。多自由度系统作用力方程

在多自由度系统中，引入多个自由度就意味着系统的固有频率不再是一个单一值，每一个自由度都对应着一有阻尼的多自由度系统用矩阵符号表示的运动微分方程

有阻尼和无阻尼的自由振动微分方程分别为位移方程与柔度系数振动系统还可以通过受力后产生的变形来建立系统的运动方程，称为位移方程。柔度的概念是指在单位力作用下，弹簧常数为k的弹簧所产生位移δ称为弹簧的柔度，[δ]表示柔度矩阵。线性系统的柔度矩阵总是对称的，即。

结构动力系统位移等于柔度矩阵与作用力的乘积，所施加的作用力和惯性作用力均包括在右边的括号内。对大多数振动系统，运用带有刚度系数的作用力方程是比较容易分析的，但在有些情况下，用柔度系数的位移方程更为方便。拉格朗日方程的应用

多自由度系统动能和势能：

对动能和势能分别进行全微分，根据机械能守恒定律，运用拉格朗日方程：式中是除有势力以外的所有外力，其中包括阻尼力多自由度系统固有频率和主振动无阻尼n自由度系统的自由振动微分方程的解为

得到一组的n元线性齐次方程组，其非零解的条件为系数行列式必须等于零。

可解得的n个大于零的正实根，也就是多自由度系统各阶固有频率的平方值，在大多数情况下，这n个频率值是不相等的。

如果多自由度系统的运动方程是通过柔度系统来建立的，系统的自由振动微分方程具有下列形式多自由度系统主振型的正交性一个n自由度系统有n个固有频率和n组主振型

不相等的两个固有频率对应的两个主振型之间，既存在着对质量矩阵[M]的正交性，又存在着对刚度矩阵[K]的正交性，统称主振型的正交性。

（1）对应于两个或几个彼此相等固有频率的特征矢量与相应于非重根的特征矢量是相互正交的。

（2）若系统的质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]是对称的，则这些与重根相对应的特征矢量间也是相互正交的。主质量矩阵和主刚度矩阵将相互间存在正交性的各阶主振型列阵依次排成各列，构成一个n×n阶的振型矩阵，得到式中是一个对角阵，称为主质量矩阵。同理可得到式中也是一个对角阵，称为主刚度矩阵。由于主振型列阵只表示系统作主振动时各坐标间幅值的相对大小，只要选定该列阵中的任一个元素值，其余各元素值就相应地确定了正则振型矩阵和正则刚度矩阵如果适当地选取元素，使之满足。则给计算带来很大的方便，这组特定的主振型称为正则振型。

正则振型可以用任意主振型求出，将所有n个正则振型列阵依次排列在一起，就构成了一个n×n阶的正则振型矩阵。

正则刚度矩阵对角线元素分别是各阶固有频率平方值，即主坐标与正则坐标如果事先已求出系统的固有频率和主振型，利用振型矩阵可将系统原有坐标{x}变换成一组新的坐标，称为主坐标。

由于正则振型也是一组（特定的）主振型，因此也可以用正则振型矩阵，将系统原有坐标变换成一组新的坐标，称为正则坐标。采用正则坐标来描述系统的自由振动，可以得到最简单的运动方程的形式。

多自由度系统对初始条件的响应多自由度系统自由振动微分方程是n个二阶常微分方程组成的方程组。给定了2n个初始条件，就完全确定了方程的一组特解，这组特解就是系统在此初始条件下的响应。对于正定系统，可求出各正则坐标的一般解为利用初始条件求出待定常数后，可求得正则坐标的初始值为

两边求导数，得到系统响应为

多自由度系统的阻尼引进正则坐标，两边乘以，可得

式中是正则坐标中的阻尼矩阵（1）比例阻尼

式中a、b均为常数，称这种阻尼为比例阻尼。

（2）模态阻尼：以近似阻尼代替以简化计算。

这种阻尼称为模态阻尼。无阻尼多自由度系统对简谐激振的响应当激振力是同频率、同相位的简谐力时，无阻尼多自由度系统的强迫振动的作用力方程变换为主坐标写成

按正则坐标，可写为n个独立方程

上式具有与单自由度相同的形式，因而可以用单自由度系统强迫振动结果求出每个正则坐标的振幅。进行坐标变换，然后求出原坐标的响应。这种求系统响应的方法称为振型叠加法。无阻尼多自由度系统对一般激振响应激振力为随时间非周期性变化时，无阻尼多自由度系统运动方程用正则坐标表示

对应于正则坐标的非周期激振力列阵：上式表示n个独立的方程，具有与单自由度相同的形式，因此可以采用杜哈梅积分式，对于第i个正则坐标的响应，重复使用该式，即可算出正则坐标中的位移响应。然后再变换为原坐标。有阻尼多自由度系统对简谐激振的响应在各阶振型阻尼系数值较小的情况下，采用正则坐标代替原有坐标，变换成互不耦合的正则坐标的强迫振动微分方程

利用单自由度系统强迫振动的结果，得到每个正则坐标的响应

然后通过坐标变换，将正则坐标的位移向量变换为原坐标的位移向量，从而求得对原坐标的位移响应。有阻尼多自由度系统对一般激振的响应

当多自由度有阻尼系统各坐标上作用有与一般周期函数成比例的激振时，振动方程变换成正则坐标后，得出n个独立方程

按正则坐标，第i阶的有阻尼稳态响应为

当激振力是非周期函数时，可用杜哈梅积分求出正则坐标下的响应，然后再通过坐标变换，求出原坐标下的响应。固有频率及振型计算：矩阵迭代法无阻尼多自由度系统：式中方阵[D]称为动力矩阵。矩阵迭代法：首先假定任意一个主振型向量，然后计算，若，则为主振型；若不等于，代替为主振型向量，迭代计算，直到满足

的条件，迭代过程结束，

即为主