2021-2022学年上海市杨浦区九年级上学期数学期末试题及答案

2021-2022学年上海市杨浦区九年级上学期数学期末试题及答案一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)yax2bxca01.将函数的图像向下平移2个单位，下列结论中，正确的是（）xy轴A.开口方向不变的交点不变【答案】AB.顶点不变C.与轴的交点不变D.与【解析】【分析】二次函数的图像向下平移2个单位时，函数解析式变为yaxbxc2a0，图像开口方向不变，但顶点坐标、与坐标轴的交点等均发生2变化．yaxbxc2a02【详解】解：由题意知，平移后函数解析式变为a不变，开口方向不变，故A正确，符合题意；y顶点坐标、与轴的交点均向下移动，发生改变，故B、D错误，不符合题意；x与轴的交点也发生改变，故C错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，二次函数图像的平移．解题的关键在于明确图像向下平移时横坐标不变，纵坐标改变．A,AC1中，∠C90AB等于（2.在Rt，如果，那么）11sinA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系进而表示出AB的长．【详解】解：如图所示：∠A＝α，AC＝1，AC1cosα＝，ABAB1故AB＝故选：D．cos【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确得出边角关系是解题关键．e1e都是单位向量，下列结论中，正确的是（23.已知和）eeee2C.12e120A.B.D.12ee212【答案】C【解析】ee1【分析】根据单位向量的定义：模为1的向量为单位向量即可得到，又由题意12e1e的方向即可求解．2并没有指明与e1e都是单位向量，2【详解】解：∵与ee1∴∴，12ee2，故C选项符合题意；12e1e的方向，2∵题目并没有指明与∴并不能得到A、B、D选项中的结论，故A、B、D选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了单位向量的定义，熟知单位向量的定义是解题的关键．4.已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（）PBAP51PBAB51APAB51APPB51A.B.C.D.【答案】C2222【解析】【分析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．【详解】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，∵线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，∴x2+x－1=0，5151解得：1∴PB=1－，222513-5=，2251PB35AP5151∴，，，，2AB2AB22故选：C．【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．5.如图，在梯形ABCD中，ADBC，过对角线交点的直线与两底分别交于点，下E,F∥O列结论中，错误的是（）AEA.B.FCAEBFADBCADOEC.D.FCBCOFBF【答案】B【解析】【分析】根据AD∥BC，可得△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，△DOE∽△BOF，再利用相似三角形的性质逐项判断即可求解．【详解】解：∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，△DOE∽△BOF，∴，故A正确，不符合题意；∵AD∥BC，CO∴△DOE∽△BOF，∴∴∴，BFBOAEDE，FCBFAEFC，故B错误，符合题意；DEBF∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴∴∴∴，COADOE，故C正确，不符合题意；BCOFDEAD，BFBCADBC，故D正确，不符合题意；BF故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．D,EAB,AC边上，线6.如图，点F是的角平分线的中点，点分别在C段过点F，且，下列结论中，错误的是（）1212A.B.C.AEAB121D.2【答案】D【解析】【分析】根据AG平分∠BAC，可得∠BAG=∠CAG，再由点F是的中点，可得1AFFGAGC，可得到△DAE∽△CAB，进而得到，然后根据2平分∠BAC，∴∠BAG=∠CAG，∵点F是的中点，1AFFGAG∴∵，2C，∠DAE=∠BAC，∴△DAE∽△CAB，ADAE∴，BCACAB∴∠AED=∠B，∴△EAF∽△BAG，AEAF12∴∵，故C正确，不符合题意；ABAGC，∠BAG=∠CAG，∴△ADF∽△ACG，ADAF12∴∴，故A正确，不符合题意；D错误，符合题意；ACAGDEAD1，故B正确，不符合题意；BCAC2故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)y34xy____________．7.已知，那么xx1【答案】【解析】4y34xyx4k,yk，代入【分析】根据比例式设求解即可．xxy3【详解】解：∵x4x4k,yk∴设xy4kkk14∴．x4k4k【点睛】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件设值法是解答本题的关键．8.【解析】【分析】根据特殊角三角函数值的混合运算计算即可．2tan30sin60____________【答案】0【详解】解：tan30sin60222233=()3211=22=0，故答案为：0．【点睛】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解答的关键．yx23，它与y轴的交点坐标为____________．9.已知抛物线(0,【答案】【解析】x0yxyx233【分析】把【详解】将∴抛物线代入抛物线代入抛物线求出y值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标．x02y0332得：yx23(0,与y轴的交点坐标为．(0,故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法．yx4x210.二次函数图像上的最低点的纵坐标为____________．【答案】4【解析】【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．【详解】解：二次函数yx24x(x2)4，2二次函数图象上的最低点的纵坐标为：4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是正确得出二次函数顶点式．11.已知a的长度为b的长度为4，且b和a方向相反，用向量a表示向量b____________．【答案】2a【解析】【分析】根据a的长度为2，b的长度为4，且b和a方向相反，即可得到b2a．【详解】解：∵a的长度为2，b的长度为4，且b和a方向相反，∴b2a，故答案为：2a．【点睛】本题主要考查了向量的计算，解题的关键在于能够熟练掌握向量的相关知识．12.如果两个相似三角形对应边之比是4:9，那么它们的周长之比等于____________．【答案】4:9【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形对应边之比是4:9，∴它们的周长之比等于4:9．故答案为：4:9【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．ABBCB60，那么AC____________．13.已知在中，【答案】14【解析】【分析】过A作AD⊥BC于D，利用锐角三角函数求得AD、BD，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=10，312∴AD=AB·sin60°=10×=53，BD=AB·cos60°=10×=5，2∵BC=16，∴CD=BC－BD=16－5=11，在Rt△ACD中，由勾股定理得：2CD2=3)2=14，2故答案为：14．【点睛】本题考查锐角三角函数解直角三角形、勾股定理，会利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．C90,ACBC6G是的重心，那么点14.已知在中，，点G到斜边AB的距离是____________．8【答案】【解析】5【分析】过C点作CE⊥AB于E，如图，先利用勾股定理计算出AB，再利用面积法求出CE=241，接着根据G是△ABC的重心得到DG=CD，然后证明△DHG∽△DEC，利用相似比可求53出GH的长度．【详解】解：过C点作CE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴.ABAC2BC10，2121CE∵，26824∴CE，105∵G是△ABC的重心，1∴DG=CG，21∴DG=CD，∵CE⊥AB，GH⊥AB，3∴GH∥CE，∴△DHG∽△DEC，1∴，CE3112485CE∴．3835故答案为．5【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．15.在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为____________米．【答案】15【解析】【分析】设这根旗杆的高度为h米，根据竹竿的影长∶竹竿的长度等于旗杆的影长∶旗杆的高度，即可求解．【详解】解：设这根旗杆的高度为h米，根据题意得：325h15，解得：1.8h即这根旗杆的高度为15米．故答案为：15【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．16.如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于____________海里．【答案】63【解析】【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D，根据题意可知∠EBA=60°，∠FCA=30°，EB⊥BC，FC⊥BC，可得∠ABD=30°，∠ACD=60°，∠CAD=30°，根据外角性质可得∠BAC=30°，可得AC=BC，根据含30°角的直角三角形的性质可得出CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，可得答案．【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，根据题意可知∠EBA=60°，∠FCA=30°，EB⊥BC，FC⊥BC，BC=12，∴∠ABD=30°，∠ACD=60°，∠CAD=30°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABD=30°，∴AC=BC=12，1∴CD=AC=6，2∴AD=2CD2=62=63．2故答案为：63【点睛】本题考查方向角的定义、三角形外角性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定义是解题关键．17.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顺点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt为“格线三BCc与直线的夹角角形，且BAC90，那么直线的余切值为____________．【答案】3【解析】【分析】过点B作BE⊥直线a于点E延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠ADC=∠AEB=90°，设相邻两条平行线间的距离为d，根据新定义，可得CD=2d，BE=BF=d，再证得△ACD≌△BAE，可得AE=CD=2d，AD=BE=d，从而得到CF=3d，即可求解．【详解】解：如图，过点B作BE⊥直线a于点E延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠ADC=∠AEB=90°，设相邻两条平行线间的距离为d，∵三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，∴CD=2d，∵BE⊥直线a，a∥c，∴BE⊥直线c，∴BE=BF=d，∵BAC90，∴∠CAD+∠BAE=90°，∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠BAE=∠ACD，∵AC=AB，∴△ACD≌△BAE，∴AE=CD=2d，AD=BE=d，∴CF=DE=AE+AD=3d，CFd3．∴BFd故答案为：3【点睛】本题主要考查了求余切值，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，做适当辅助线得到全等三角形是解题的关键．18.如图，已知在Rt中，5C90,tanABA90后得ADE，点，将绕点逆时针旋转落在点12D处，点C落在点E处，联结BE,CD，作的平分线，交线段AMAN于点M，交线段CD于点N，那么的值为____________．23【答案】【解析】【分析】根据题意以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，NHAD交于点H，NGx轴交于点G，过点D作DQx轴交于点Q，由，由旋转可得5C90,tanA可设BC5k，AC12k，k12AEAC12kDEBC5kABADkCQ12k，7k，写出，，，则SAC12k12SADk13NFNH点坐标，由角平分线的性质得，即可得出，即可得CN12144k84kN(,)，故可推出，求出点P坐标，由得132525CFNCAE90，推出AE∥PN，故得MNP，由相似三角形的性质即可得解．【详解】如图，以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，NHAD交于点H，NGx轴交于点G，过点D作DQx轴交于点Q，∵5C90,tanA，12∴设BC5k，AC12k，k，AEAC12kDEBC5kABADk，由旋转可得：，，∴CQ12k，7k，B(5k,0)Ek,12k)Dk,7k)∴，，，∵AN是平分线，NFNH∴∴，SAC12k12CN12，即可得，SADk1313144k84kN(,)，∴2525yn设直线BE的解析式为，5n012n12k把B(5k,0)，Ek,12k)代入得：，121760km解得：，n171260kyx∴当，1784k171260k84kyx时，，1717256kx解得：，256k84kP(,)，∴∴2525144k6kNP()6k，2525，CAE90，∵∴∴CFNCAE90，AE∥PN，∴MNP，AMAE12k232∴，∴．NMNP6k23故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质、正切值、角平分线的性质以、用待定系数法求一次函数及相似三角形的判定与性质，根据题意建立出适当的坐标找线段长度是解题的关键．三、解答题：(本大题共7题，满分78分)219.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=BC．3（1）如果AC=6，求AE的长；（2）设ABa，b，求向量（用向量a、brr2ba)【答案】（1）4；（2）.3【解析】1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．1）如图，2∵DE∥BC，且DE=BC，3AEDE23∴．ACBC又AC=6，∴AE=4．（2）∵ABa，b，2∴BCACABba．又DE∥BC，DE=BC，3rr223BCba)∴3【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．20.已知二次函数（1）用配方法把二次函数函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；y2x24x5．y2x24x5化为ya(xm)k的形式，并指出这个2yx轴正半轴交于点（2）如果将该函数图像沿轴向下平移5个单位，所得新抛物线与yA，与轴交于点B，顶点为C，求的面积．y2(x1)3，图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐2【答案】（11）顶点式为标为（1，3（2）2【解析】1）根据二次函数的图象与性质解答即可；（2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出A、B、C坐标即可求解．【小问1详解】y2x24x5=2(x23，解：（1）y2(x1)23∴该二次函数的顶点式为，图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，3【小问2详解】y2(x235=2(x2，2解：平移后的新抛物线的解析式为∴C(1，－2)，2(x220得：x0x，12，当y=0时，由2∴A（2，0B（0，0AB=2，122∴的面积为=2．2【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．221.如图，已知在中，，垂足为点D,ADBDtanB，3点E是边BC的中点．AC（1）求边的长；（2）求EAB的正弦值．【答案】（1）25229（2）sinEAB29【解析】2tanB求出CD4Rt中由勾股定理可求出AC1）由，在3的长；（2）过点E作于点F，证明BEFBCD，根据相似三角形的性质求出EF，DF的长，根据勾股定理求出AE的长，再根据正弦的定义求解即可．【小问1详解】∵∴△ACD和△BCD均为直角三角形，2B∵∴∵∴3CDBD2322CD6433∵AD2由勾股定理得，ACCD【小问2详解】2AD2422252过点E作于点F，如图，∵，∴EF//CD∴BEFBCDBEBFEF∴BCBDCD∵点E是边BC的中点1BEBC∴∴21CD2∵CDBD63∴3∴∴235在RtVEAF中，∵AF2EF2AE2∴AEAF2EF2522292222929∴sin29【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．22.如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CDD处，斜坡CD的坡度i1:3，坡顶D到BC行走至坡顶米，在点处测得建筑物顶端内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度(结果精确到1米)．(参考数据：的距离,B,C,D,E，点在同一平面20AD点的仰角为50sin500.77,cos50tan501.19)【答案】建筑物AB的高度为68米【解析】【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i1:3，求出CE用tan50即可求出AB的长．的长，从而得出，再利斜坡CD的坡度（或坡比）为i1:3，【详解】解：:CE1:3，20米，CE60米，BC100米，1006040（米)，tan50402068（米)．答：建筑物AB的高度为68米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明确坡度、仰角、俯角是解题的关键．23.已知，如图，在四边形ABCD中，ABCBCD，点E在边BC上AE∥CD，DE∥AB，过点C作CFAD，交线段∥AE于点F，联结．△ABF△EAD（1）求证：；DBEECBC．2（2）如果射线经过点，求证：【答案】（1）证明见解析；【解析】（2）证明见解析．//CDAEBBCD，从而得出AEB，即证明1）由可得出ABAE．由//AB可得出，∠BAF∠AED，从而得出DECCD，即证明．由平行四边形的判定条件可知四边形AFCD为平行AFCDAFDE四边形，即证明，从而得出．最后利用“SAS”即可直接证明△ABF△EAD．BEEFEC，BCCDBEBF//CD，可证明BEFBCD（2）连接DF．由，即得出EF．再由//AB，可证明BAF，即得出，结合AF=CD，从而得出AFBFECEFECBC．，最后即得到，即证明了BE2BECD【小问1详解】//CD证明：∵，∴AEBBCD，//CD，∴AEBABC，即AEB，∴ABAE．∵//AB，，∠BAF∠AED，∴∴BCD，即DEC，CD∴．CF/又∵，∴四边形AFCD为平行四边形，AFCD∴，∴AFDE，ABEABAFAEDAFED∴在和EAD中，，∴ABFEAD(SAS)．【小问2详解】证明：如图，连接DF．∵射线BF经过点D，∴点B、F、D共线．∵∴BEFBCD，//CD//CD，，即BEEFEC，∴．BCCDBEBF∵//AB，∴BAF，EF∴∴，．AFBFECEFBEAF∵AF=CD，ECEF∴，，BECD∴∴BE2ECBC．【点睛】本题考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，三角形相似的判定和性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．124.已知在平面直角坐标系中，拋物线yx2bxcxA1,0与轴交于点和2C2PyAP,BC,AP，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与点B，与轴交于点线段BC相交于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；PGx轴，垂足为点G,PGBCHPFPH交于点，如果，求（3）过点P作与线段线段的长度．13yx2x2【答案】（1）22P2)（2）（3）158【解析】1(0)yx2bxc，即可求解；C(0,2)1）将点和点代入213254B(4,0)BCyx2E()（2）分别求出和直线的解析式为，可得，，再求直2112yx1122yxP2)，即可求点；线AE的解析式为，联立21232yx2x21311Pt,t2t2)Ht,t2)PHt2t，用待定系数法求出（3）设，则，则22221yx24t4tt20t10t24t直线AP的解析式为yx，联立，可求出F(，)4t5t22yx224tty)，则CE，直线AP与轴交点E(0,，再由PFPH，可得CEEF，则有方225tt20t4t121582()2()2，求出tt2t程()，即可求．25t10t22【小问1详解】1(0)yx2bxc，C(0,2)解：将点和点代入21bc02，c23b2，c213yxx2；222【小问2详解】13yx2x2解：，223x对称轴为直线，21223y0xx20令，则，2解得x1或x4，B(4,0)，设直线BC的解析式为4km0ym，，m212k，m21yx2，235E(，)，240knykxn设直线AE的解析式为，35，nk24121k，n2112yx，2112yx2联立，1232yx2x2x3或x1)（舍，P2)；【小问3详解】解：131Pt,t2t2)Ht,t2)，则设222，1PHt2t，2y1xb设直线AP的解析式为，14tkb0k11124t132，，ktbt2t2b112124t4tyx，221yx224t联立，4tyx22tx，5tt20tF()，，5t10t4ty直线AP与轴交点E(0,)，24ttCE2，22PFPH，，PG//y轴，ECF，CFE，CEFCFECEEF，，tt20t4t2()2()2()，25t10t2(4t)24t)2，5t，21158tt2．2【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，会求二次函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算也是解题的关键．ACB90,ACBC5DAB25.如图，已知在Rt中，，点为射线上一动点，且AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，AFC；①求证：②延长与边的延长线相交于点G，如果EBGBDC与相似，求线段BD的长；CE,S12S（2）联结，如果，求的值．ACE【答案】（1）①见解析；②525（2）3或4【解析】1）①如图1，连接CE，DE，根据题意，得到CB=CE=CA，利用等腰三角形的底角与顶角的关系，三角形外角的性质，可以证明；②连接BE，交CD于定Q，利用三角形外角的性质，确定△DCB∽△BGE，利用相似，证明△ABG是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，△BEF是等腰直角三角形，用BE表示GE，后用相似三角形的性质求解即可；（2）分点D在AB上和在AB的延长上，两种情形，运用等