2025秋 南方新课堂·金牌学案 数学九年级上册（配人教版） 课件 第二十一章 一元二次方程

第二十一章一元二次方程21.1

一元二次方程（第1课时）

一元二次方程的概念1.形如

.

的方程我们称之为一元二次方程，其一般形式为

.

一元二次方程的性质2.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二次项系数为

，一次项系数为

，常数项为

.等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）ax2+bx2+c=0（a≠0）abc典例精析例1

下列方程中，是关于x的一元二次方程的有

(只填序号）.答案：（4）,(6).分析：（1）不一定是一元二次方程，因为当a=0时，它不是一元二次方程;（2）中不含未知数x，所以不是关于x的一元二次方程;（3）中x的最高指数为3，故不是一元二次方程;（4）中含一个未知数x，且其最高次数为2，其系数（m2+3）>0，故它是关于x的一元二次方程;（5）是分式方程，故它也不是一元二次方程;（6）满足只含有一个未知数x，且未知数的最高次是2的方程，故它是关于x的一元二次方程.例2已知关于x的方程（2m-4）x2+mx+(m+2)=0,当m为何值时，此方程是一元二次方程？解：要使方程为一元二次方程，则2m-4≠0.∴m≠2.例3若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2，求k的值.解：根据题意，得(-2)2-2(k+3)+k=0，解得k=-2.

C2.方程（m+2）x｜m｜+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（

）.A.m=±2 B.m=2C.m=-2 D.m≠±23.已知方程2x2-mx+3=0的一个根是-1，则m的值是

.4.方程（2x-1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为

，其中a=

，b=

，c=

.B-55x2-x-3=05-1-3提升性作业1.若一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数、一次项系数、常数项之和为0，则方程必有一根是（

）.A.0 B.1C.-1 D.±12.我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1,x2=-3，现给出另一个方程（2x+3)2+2(2x+3)-3=0，它的解是（

）.A.x1=1,x2=3 B.x1=1,x2=-3C.x1=-1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3BD拓展性作业已知关于x的方程（k2-4）x2+（k+2）x-4=0.（1）当k为何值时，此方程为一元一次方程？求出此方程的根.由方程(k2-4)x2+(k+2)x-4=0为一元一次方程，得k2-4=0，k+2≠0,解得k=2.把k=2代入原方程得4x-4=0，解得x=1.（2）当k为何值时，此方程为一元二次方程？写出二次项系数、一次项系数和常数项.由方程(k2-4)x2+(k+2)x-4=0为一元二次方程，得k2-4≠0，解得k≠±2.所以,二次项系数为k2-4，一次项系数为k+2，常数项为-4.第二十一章一元二次方程21.2

解一元二次方程21.2.1直接开平方法（第2课时）

直接开平方法的概念1.如果一元二次方程可以化成

或

的形式，那么可得x=

或mx+n=

.2．一元二次方程x2－9=0的解是（）.A.x1=3,x2=-3 B.x=-3C.x=3 D.x1=3,x2=03．一元二次方程(x+5)2=1的解是

.x2=p（p≥0）（mx+n）2=p（p≥0）

Ax1=-6，x2=-4典例精析解方程：（1）3x2-5=4；(2)x2+4x+4=1.分析：显然，x2+4x+4是一个完全平方式，那么原方程可转化为（x+2）2=1.

CD3.方程x2-169=0的根是

.4.若x2=4，那么x3=

.5.若方程(m+5)xm2-23-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=

．x=±13±85

B去分母，得（x-2）2=16.直接开平方，得x-2=±4.所以，x1=6,x2=-2.

拓展性作业1.已知一元二次方程x2-4x+1+m=5，请你选取一个适当的m的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程.（1）你选的m的值是

；（2）解这个方程.3

2.如图,在长为10cm、宽为8cm的矩形四个角截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长.设所截去小正方形的边长为xcm.由题意得，10×8-4x2=10×8×80%,解得x1=2,x2=-2（舍去).所以所截去的小正方形的边长为2cm.第二十一章一元二次方程21.2

解一元二次方程21.2.1配方法（第3课时）

配方法的概念1.通过把一元二次方程配成

形式来解一元二次方程的方法，叫做

，配方是为了

，把一个一元二次方程转化成

来解.2.把下列各多项式配方：（1）x2+4x+

=（x+

）2；（2）x2-6x+

=（x-

）2．3.用配方法解方程：x2+10x+9=0，可把方程变形为：x2+10x+

=-9+

，即（x+

）2=

.完全平方配方法降次两个一元一次方程429325255164.用配方法解方程：2x2-4x-1=0.解：∵2x2-4x=

，

(x2-2x)=

，x2-2x+

=

，（

-

）2=

，

-

=±

，∴x1=

，x2=

.略典例精析例1解方程：2x2-8x=16.

例2解方程：（1+x）2+2（1+x）-4=0.

DC

D

21提升性作业1.用配方法解下列方程：（1）x2-4x-3=0；（2）3x2-5x+1=0.

2.若二次三项式x2+6x+m2（m>0)是一个完全平方式，则m的值是

.3.已知x,y满足x2+y2-4x+6y+13=0，试用配方法确定x和y的值.3原方程可变形为x2-4x+y2+6y=-13，配方，得x2-2×2x+22+y2+2×3y+32=-13+22+32，即(x-2)2+(y+3)2=0,则有(x-2)2=0，(y+3)2=0.解得x=2，y=-3.拓展性作业1.解关于y的方程：by2-1=y2+2.

2.试用配方法说明当x等于多少时，2x2-x+1取得最值，并求出最值.

第二十一章一元二次方程21.2

解一元二次方程21.2.2公式法（第4课时）

公式法的概念1.一般地，式子

叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母

来表示，即

.2.当

时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根；当

时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；当

时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根.3.

叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做

.b2-4acΔΔ=b2-4acΔ＞0Δ=0Δ＜0

公式法典例精析例1不解方程，判别下列方程根的情况：（1）3x2+x-1=0；（2）x2+4=4x；（3）2x2+6=3x.解：（1）因为a=3，b=1，c=-1，b2-4ac=12-4×3×（-1）=13＞0，所以方程有两个不相等的实数根.（2）将方程化为一般式，得x2-4x+4=0，则a=1，b=-4，c=4.因为b2-4ac=（-4）2-4×1×4=0，所以方程有两个相等的实数根.（3）将方程化为一般式，得2x2-3x+6=0，则a=2，b=-3，c=6.因为b2-4ac=（-3）2-4×2×6=-39＜0，所以方程没有实数根.例2已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3时，求方程的根．

基础性作业1.方程2x2+3x=1中，b2-4ac的值为（

）.A.1 B.-1 C.17 D.-172.关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围（

）.A.q<16 B.q>16 C.q≤4 D.q≥4答案：C答案：A

3

5.用公式法解下列方程：（1）x2-3x-1=0；（2）x(x+4)=8x+12.提升性作业1.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有

（填序号）.①方程x2-x-2=0是“倍根方程”；②若（x-2）（mx+n）=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0；③若p，q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则必有2b2=9ac.②③④

3.关于x的一元二次方程kx2+2x-3=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

拓展性作业1.试判断方程ax2-（3a-1）x+2a-1=0的根的情况.（讨论a=0，a≠0的情况）当a=0时，原方程为x-1=0，方程有一个根；当a≠0时，因为Δ=［-(3a-1)］2-4a(2a-1)=a2-2a+1=(a-1)2≥0，所以原方程有两个实数根.

因为(k-2)2≥0，(k-2)2+4＞0，故原方程有两个不相等的实数根．

第二十一章一元二次方程21.2

解一元二次方程21.2.3因式分解法（第5课时）

因式分解法的概念1.如果a·b=0，那么

或

．2.因式分解法要先使方程一边转化为两个

相乘，另一边为

，再分别使各一次因式等于0，从而实现降次.3.分解因式：（1）x2-4x=

；

（2）x-2-x（x-2）=

；（3）m2-9=

；（4）（x+1）2-16=

.a=0b=0一次式0x（x-4）（x-2）（1-x）（m+3）（m-3）（x+5）（x-3）典例精析例1解方程：（1）x2-4x=0；（2）x2-6x+15=6；(3)x2-4=0.解：（1）由原方程可得x（x-4）=0，∴x1=0，x2=4.(2)由原方程可得x2-6x+9=0，∴（x-3）2=0.∴x-3=0.∴x=3.（3）由原方程可得（x+2）（x-2）=0，∴x1=-2，x2=2.例2我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0.请你用上面的方法解下列方程：（1）x2-3x-4=0；（2）x2-7x+6=0.分析：如果二次三项式x2-（a+b）x+ab的x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成，而一次项是由-a·x+（-b·x）而成，则可用因式分解法解方程.解：（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1），∴（x-4）（x+1）=0.这种方法，我们把它称为十字相乘法.∴x-4=0，或x+1=0.∴x1=4，x2=-1.（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1），∴（x-6）（x-1）=0.∴x-6=0，或x-1=0.∴x1=6，x2=1.基础性作业1.方程（x-3）（x+2）=0的根是（

）.A.x1=-3，x2=-2B.x1=-3，x2=2C.x1=3，x2=-2D.x1=3，x2=2答案：C2.方程（x+4）（x-5）=1的根为().A.x=-4B.x=5C.x1=-4，x2=5D.以上结论都不对答案：D3.解方程2（5x-1）2=3（5x-1）的最适当的方法是（

）.A.直接开平方法 B.配方法C.公式法 D.因式分解法4.方程x（x-2）=0的根是

.答案：Dx=0或x=25.用因式分解法解下列方程：(1)x(x-2)+5x=0；把方程化为一般形式，得x2+3x=0，因式分解，得x(x+3)=0，得x1=0，x2=-3.(2)x2-8x+16=0.原方程可化为(x-4)2=0，∴x1=x2=4.提升性作业1.已知关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根.（1）求m的取值范围；∵关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，∴Δ=b2-4ac=22-4×1×［-（m-2）］=4m-4≥0，解得m≥1.（2）若方程有一个根为x=1，求m的值及另一个根.将x=1代入原方程，得1+2-（m-2）=0，解得m=5，∴原方程为x2+2x-3=（x-1）（x+3）=0，解得x1=1，x2=-3，∴m的值为5，方程的另一个根为x=-3.

（2）若x满足x2-2x-8=0，求A的值.

拓展性作业如果关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是倍根方程.（1）若一元二次方程x2-3x+c=0是倍根方程，则c=

.（2）若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)是倍根方程，则a，b，c之间的关系为

.22b2=9ac(3)若（x-2）(mx-n)=0(m≠0)是倍根方程，求代数式4m2-5mn+n2的值.

第二十一章一元二次方程21.2

解一元二次方程综合课一元二次方程的解法综合（第6课时）1.形如x2=p（p是常数，p>0）或a(x+n)2=p(a，n，p为常数，且ap>0)，最好选择

．2.形如ax2+bx+c=0（a≠0）可用公式法、因式分解法，也可将二次项系数化为1选择

．3.形如x2+bx+c=0，当b是偶数时，最好选择

法，当b是奇数时，最好选择

法.4.形如x2+(p+q)x+pq=0，可化为

=0，选择

．直接开平方法配方法配方公式（x+p）（x+q）因式分解法典例精析例用适当的方法解下列方程：(1)2x2+3-7x=0；(2)x2-120x+3456=0.

基础性作业1.方程x2=2x的解是（

）．A.x=-2B.x=0C.x1=0，x2=2D.x1=0，x2=-2答案：C2.方程(x+1)2=9的解是（

）．A.x=2 B.x=-4C.x1=2，x2=-4 D.x1=1，x2=33.用配方法解方程x2-4x=5时，方程两边同加上

，使得方程左边配成完全平方形式．4.一元二次方程a2-4a-7=0的解是

．答案：C4

5.选择适当的方法解下列方程：（1）x2-6x-6=0；

(2)x2-4x+1=0；

(3)x2+8x+16=0．原方程可化为(x+4)2=0，所以x1=x2=-4．提升性作业1.一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1，x2，求证：x1+x2=-p，x1·x2=q．2.选择适当的方法解下列方程：（1）x2-10x=0；因式分解，得x(x-10)=0，∴x=0或x-10=0．得x1=0，x2=10．（2）(x-3)2=2x(x-3)；将方程右边移到左边，得(x-3)2-2x(x-3)=0，因式分解，得(x-3)(x-3-2x)=0．即(x-3)(-x-3)=0．∴x-3=0或-x-3=0．得x1=3，x2=-3.（3）2x2-3x+1=0．因式分解，得(x-1)(2x-1)=0．∴x-1=0或2x-1=0．得x1=1，x22=12．

2.选择适当的方法解下列方程：（1）25(1+x)2=49；

（2）x(50-2x)=300．原方程化简为2x2-50x+300=0，(x-10)(x-15)=0，x-10=0或x-15=0，∴x1=10，x2=15．第二十一章一元二次方程21.2

解一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（第7课时）

42-2-5典例精析例1已知方程x2-2x-c=0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值.解：设方程的另一个根是x0，则3+x0=2.解得x0=-1.∵3x0=-c，∴3×（-1）=-c.∴c=3.故方程的另一个根是-1，c=3.

基础性作业1.一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是（

）．A.-1 B.-2 C.1 D.22.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（

）．A.10 B.14 C.10或14 D.8或10答案：B答案：B3.若一元二次方程x2+2x+c=0的一根为2，则另一根为

，c=

．4.已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+x1+x2=1，则实数k=

.5.一元二次方程x2+6x+3=0的两根为x1，x2，利用两根与系数的关系，求下列式子的值：-4-8-2

（1）x1+x2，x1x2；x1+x2=-6，x1x2=3．

（3）x12+x22；x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-6)2-2×3=30．（4）x12x2+x1x22x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=3×(-6)=-18．提升性作业1.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+（2m+1）x+m=0有实数根.（1）求m的取值范围.

（2）若x1，x2是原方程的两根，且x1+x2=-m-3，求m的值.

2.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边是多少？

拓展性作业已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，方程的两根分别为x1，x2.(1)若c=1，x1=1，①用含a的代数式表示b；将c=1，x1=-1代入ax2+bx+c=0，得a-b+1=0，解得b=a+1.②若方程两根（包括x1，x2）之间有且只有三个整数，求a的取值范围；

第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程21.3.1实际问题与一元二次方程（第8课时）

实际问题与一元二次方程1.一人患了流感，设每轮传染x人，用代数式表示，第一轮后共有

人患了流感；第二轮传染中，这些人的每个人又传染了x人，用代数式表示，第二轮后共有

人患了流感，假设两轮后共有144人患了流感，可列式为

．2.在量的变化率问题上，若原始数据为a，设平均变化率为x，则经过第一次变化后数据变为

，经过第二次变化后数据变为

．1+x1+x+x（1+x）1+x+x（1+x）=144a（1+x）a（1+x）2典例精析例1某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得1+x+(1+x)x=81，(1+x)2=81.即x+1=9或x+1=-9，x1=8或x2=-10（舍去）.(1+x)3=(1+8)3=729>700.故每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后，被感染的电脑会超过700台.例2某药品两次升价，零售价升为原来的1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率.（精确到0.1%）

基础性作业1.由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每千克24元，连续两次下降a%，售价下调到每千克10元.下列所列方程中正确的是().A.24（1+a%）2=10 B.24（1-a%）2=10C.24（1-2a%）=10 D.24（1+a2%）=10答案：B2.元旦期间，一个小组有若干人互送新年贺卡一张，已知全组共送贺卡56张，则这个小组共有（C）.A.6人 B.7人 C.8人 D.9人3.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率x，则可列方程：

.答案：C5(1+x)2=7.24.某商场以80元/个的价格购进1000个保温杯.经市场调研，保温杯定价为100元/个时可全部售完，定价每提高1元，销售量将减少5个.未卖完的保温杯可以直接退还厂家，要使商场利润达到60500元，保温杯的定价应为多少元？设保温杯的定价应为x元.根据题意得（x-80)［1000-5(x-100)］=60500.整理得x2-380x+36100=0.解得x1=x2=190.∴保温杯的定价应为190元.

答案：B2.某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）

拓展性作业某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件.为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元.设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件.（1）求y与x之间的函数关系式；y=300+30(60-x)=-30x+2100.（2）每星期销售利润能否达到6750元？如果能，每件售价是多少元？如果不能，说明理由.

第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程21.3.2实际问题与一元二次方程（第9课时）

几何图形中的一元二次方程1.从一个正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的面积是（

）.A.64m2 B.100m2C.121m2 D.144m2答案：A2.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）.A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0答案：B典例精析例1如图所示，要建一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽.对于这个问题，你能列出方程吗？试求其解，并与同伴交流一下自己的心得.

例2如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形.根据已知可列出等式.

基础性作业1.一个长方形，如果将长缩短5cm，宽增加3cm，变形为正方形，且面积比长方形的