3.4.3.2+空间中的距离问题（第一课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版2019选择性必修第一册

3.4.3.2空间中的距离问题（第一课时）学习目标2.能用向量方法解决点到平面、平行于平面的直线到平面、相互平行的平面间的距离问题，体现逻辑推理能力（难点）1.掌握点到平面的距离公式，体现数学抽象能力（重点）新课导入思考一下：几何学中,经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值,通常叫作这两个图形的距离.空间中常见的距离有:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题,如何用向量方法求解这些距离呢？回顾平面内直线l外一点P到直线的距离的几种求解方法.方法如下:综合几何方法:如图(1)，过点P作直线l的垂线，垂足为点D1，一般转化为求三角形的高，即PD1的长度.新课学习解析几何方法:如图(2)，确定点P的坐标及直线l的方程，利用点到直线的距离公式即可得点P到直线l的距离PD2的长度.平面向量方法:如图，先求出直线l的单位法向量n0，再求向量

在法向量n0方向上的投影向量的长度

即可.点到直线的距离就等于过这点向直线所引垂线段的长度;点到平面的距离就等于过这点向平面所作垂线段的长度;如果一条直线和一个平面平行，它们之间的距离就等于过这条直线上任意一点向该平面所作垂线段的长度;两个平行平面间的距离就等于这两个平面的垂线夹在两个平行平面间的线段的长度.新课学习思考一下：用向量求距离的本质是什么？垂直反映了距离的本质.用向量方法求解距离,也要抓住这一点.无论是对于平面还是直线,法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式,因此可以通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离.新课学习思考一下：设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离，而所以向量在法向量n0方向上的投影向量的长度就等于线段PP′的长度.新课学习点到平面的距离的概念点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量

，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即新课学习例12：如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)求证：

是平面A'BD的一个法向量；依据题意有A'(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C'(1,1,1).因为所以从而又A'B，A'D⊂平面A'BD，A'B∩A'D=A'，所以⊥平面A'BD，即是平面A'BD的一个法向量.新课学习(2)求点C'到平面A'BD的距离.因为所以点C'到平面A'BD的距离为新课学习例13:在单位正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M是侧面ABB'A'的中心.判断直线C'M与平面ACD'是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线C'M到平面ACD'的距离；若不平行，请说明理由.分析：平面ACD'截正方体得一个三角形，如图.点C'不在该三角形内，所以C'M

⊄平面ACD'.进一步研究二者的位置关系可以考虑平面ACD'的法向量与

是否垂直.新课学习以点D为原点，DA，DC，DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).由正方体的棱长为1，得所以设n=(x,y,z)是平面ACD'的一个法向量，则取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1).新课学习因为所以

∥平面ACD'.又C'M

平面ACD'，C'M∥平面ACD'.所以所以直线C'M上任意一点到平面ACD'的距离都相等，都等于直线C'M到平面ACD'的距离.因为所以点C'到平面ACD'的距离为即直线C'M到平面ACD'的距离为新课学习例14:已知向量

，对任意的实数a，b，当向量

的长度最小时，求a，b的值.分析：记向量

由平面向量基本定理可知，对任意的a，b，向量都在所确定的平面xOy内，反之，平面xOy内的任意向量

都可以用来表示.换句话说，当a，b变化时，点M是平面xOy内的动点.新课学习如图，

要使向量

的长度最小,也就是线段MY的长度最短.

由点到平面距离的定义，当且仅当n⊥平面xOy时，线段MY的长度最短.这时由新课学习解得所以向量

的长度最小时，得新课学习用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤是:1.确定一个法向量;2.选择参考向量;3.确定参考向量在法向量方向上的投影向量;4.求投影向量的长度.新课学习思考交流：怎样用向量的方法求解平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离？平行于平面的直线到该平面的距离，实质上就是直线上一点到平面的距离，可转化为点到平面的距离，利用向量法来求即可．相互平行的两个平面间的距离可转化为一个平面内的任意一点到另一个平面的距离，即