高三数学第二学期三角函数与解三角形多选题单元-易错题提高题检测试卷

高三数学第二学期三角函数与解三角形多选题单元易错题提高题检测试卷一、三角函数与解三角形多选题1．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，有以下四个命题中正确的是（）A．满足条件的不可能是直角三角形B．面积的最大值为C．当A=2C时，的周长为D．当A=2C时，若O为的内心，则的面积为【答案】BCD【分析】对于A，利用勾股定理的逆定理判断；对于B，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D，由已知条件可得为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得的面积【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，所以A错误；对于B，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，因为，所以，化简得，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，所以面积的最大值为，所以B正确；对于C，由A=2C，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化简得，因为，所以化简得，因为，所以，所以，则，所以，所以，，，因为，所以，所以的周长为，所以C正确；对于D，由C可知，为直角三角形，且，，，，所以的内切圆半径为，所以的面积为所以D正确，故选：BCD【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.2．已知函数且对于都有成立．现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数 B．函数相邻的对称轴距离为C．函数是偶函数 D．函数在区间上单调递增【答案】ABCD【分析】先利用已知条件求出的周期，即可得，再利三角函数图象的平移伸缩变换得的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】因为对于都有成立所以，，所以对于都成立，可得的周期，所以，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，可得再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得，对于选项A:，故选项A正确；对于选项B：函数周期为，所以相邻的对称轴距离为，故选项B正确；对于选项C：是偶函数，故选项C正确；对于选项D：当，，所以函数在区间上单调递增，故选项D正确，故选：ABCD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由恒成立得出可得的值，求出的解析式.3．函数的部分图像如图中实线所示，图中的M、N是圆C与图像的两个交点，其中M在y轴上，C是图像与x轴的交点，则下列说法中正确的是（）A．函数的一个周期为 B．函数的图像关于点成中心对称C．函数在上单调递增 D．圆C的面积为【答案】BD【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得的坐标，进而可得的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误.【详解】由图知：，，，∴中，即；对称中心为；单调减区间为；圆的半径，则圆的面积为；综上，知：AC错误，而BD正确.故选：BD.【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.4．设函数，则（）A． B．C．曲线存在对称轴 D．曲线存在对称中心【答案】ABC【分析】通过可发现函数具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析是否具有对称中心，再将化为，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：，因为函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称，故曲线也关于直线对称，选项C正确；当时，函数取得最大值，此时取得最小值，故，选项A正确；若，则，令，则恒成立，则在上递增，又，所以当时，；当时，；作出和的图象如图所示：由图象可知成立，即，选项B正确；对于D选项，若存在一点使得关于点对称，则，通过分析发现不可能为常数，故选项D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大.对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.5．已知函数的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（）．025A．函数解析式为B．函数图象的一条对称轴为C．是函数图象的一个对称中心D．函数的图象左平移个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数【答案】ABD【分析】首先根据表格，利用最值求和，再根据周期求，以及根据最小值点求，求得函数的解析式，再分别代入和，判断BC选项，最后根据平移规律求平移后的解析式.【详解】由表格可知，，函数的最大值是5，所以，即，当时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是，所以，当时，，解得：，，，所以函数，故A正确；B.当时，，能使函数取得最小值，所以是函数的一条对称轴，故B正确；C.当时，，此时，所以是函数的一个对称中心，故C不正确；D.函数向左平移个单位后，再向下平移2个单位后，得，函数是奇函数，故D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间．6．已知函数，且对任意，恒成立，为奇函数，则下列说法正确的是（）A．函数的图象关于原点对称B．函数的最小正周期为C．函数的图象关于直线对称D．函数的单调递增区间为【答案】BD【分析】由恒成立可得，即，由为奇函数可得，即可求出，再根据正弦函数的性质分别判断即可.【详解】因为对任意，恒成立，所以，即，得①.，因为为奇函数，所以②.由①②可得，即.又，所以，，则，得，所以，由于，故的图象不关于原点对称，所以A不正确；的最小正周期，所以B正确；，所以C不正确；令，，得，，故函数的单调递增区间为，所以D正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意，恒成立”得到“”；（2）得到“”后，能根据“为奇函数”得到“”.7．已知函数，则下列结论中正确的是（）A．的图象是由y=2sin2的图象向左移个单位得到的B．在上单调递增C．的对称中心的坐标是D．函数在内共有个零点【答案】BCD【分析】A.化简得，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C.由得该选项正确；D.解方程得该选项正确.【详解】，把的图象向左平移个单位，得到，所以选项不正确;设，则在上单调增，,又在上单调递增，在上单调递增，所以选项B正确;由得对称中心为，所以选项C正确；由得或解得或，又时，，共个零点，所以选项D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：函数的零点问题的研究，常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令得，再分析函数的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方程求解.8．已知函数，则（）A．的最小正周期是B．的图像可由函数的图像向左平移个单位而得到C．是的一条对称轴D．的一个对称中心是【答案】AB【分析】首先化简函数，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项.【详解】，A.函数的最小正周期，故A正确；B.根据图象的平移变换规律，可知函数的图像向左平移个单位而得到，故B正确；C.当时，，不是函数的对称轴，故C不正确；D.当时，，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是，故D不正确.故选：AB【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.9．设函数，（其中，，），在上既无最大值，也无最小值，且，则下列结论错误的是（）A．若对任意，则B．的图象关于点中心对称C．函数的单调减区间为D．函数的图象相邻两条对称轴之间的距离是【答案】ABD【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出为最小值，为最大值，即可；对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断.【详解】因为函数在上既无最大值，也无最小值，所以是函数的一个单调区间，区间长度为，即函数的周期，即，则因为，所以为函数的一条对称轴；则由①②解得：，即，函数的周期.对于A:若对任意恒成立，则为最小值，为最大值，所以,则必为的整数倍，故A错误，可选A;对于B:时，，故不是的对称中心，B错误，可选B;对于C:当时，，此时单调递减，C正确，不选C;对于D:函数的图象相邻两条对称轴之间的距离是,故D错误，可选D故选:ABD【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题.10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．若的最小正周期是，则B．当时，的对称中心的坐标为C．当时，D．若在区间上单调递增，则【答案】AD【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确；对于B选项，当时，，所以令，解得