小学奥数排列组合经典练习题

小学奥数排列组合经典练习题排列组合是小学数学中培养逻辑思维和解决实际问题能力的重要内容。它不仅仅是计算数字的游戏，更是教会我们如何有序思考、合理分类、以及在复杂情况下找到规律的钥匙。下面，我们将通过一些经典的练习题，一同探索排列组合的奥秘，感受数学思维的乐趣。一、乘法原理与加法原理基础乘法原理和加法原理是排列组合的基石。乘法原理解决的是“分步完成”的问题，每一步的方法数相乘得到总的方法数；加法原理则针对“分类完成”的问题，每一类的方法数相加得到总的方法数。例题1：小明从家到学校有2条不同的路可以走，从学校到少年宫有3条不同的路可以走。小明从家经过学校到少年宫，一共有多少种不同的走法？思路点睛：这是一个典型的分步问题，从家到学校，再从学校到少年宫，每一步都有不同的选择。我们可以把从家到学校的2条路分别记为A、B，从学校到少年宫的3条路记为1、2、3。那么，从家经学校到少年宫的走法就是A1、A2、A3、B1、B2、B3，共2×3=6种。这里运用的就是乘法原理。详细解答：根据乘法原理，第一步从家到学校有2种选择，第二步从学校到少年宫有3种选择，所以总的走法数为2×3=6（种）。答：一共有6种不同的走法。例题2：书架上有5本不同的故事书和4本不同的漫画书。小明想从中任选一本阅读，有多少种不同的选法？思路点睛：这里小明选书可以分为两类：要么选故事书，要么选漫画书。这两类选择是相互独立的，没有先后顺序。选故事书有5种方法，选漫画书有4种方法，那么总的选法就是这两类方法数之和。详细解答：根据加法原理，选故事书有5种选法，选漫画书有4种选法，所以总的不同选法数为5+4=9（种）。答：有9种不同的选法。二、简单排列问题排列问题关注的是“顺序”。当我们从一些物体中选出部分或全部，并按照一定的顺序排成一列，计算有多少种不同的排法时，就需要用到排列的知识。例题3：有3个小朋友甲、乙、丙，站成一排照相，有多少种不同的站法？思路点睛：我们可以这样思考，第一个位置（最左边）可以站甲、乙、丙中的任意一个，有3种选择。当第一个位置确定后，第二个位置就只能从剩下的2个小朋友中选择。最后一个位置就只剩下1个小朋友了。根据乘法原理，将每一步的选择数相乘即可得到总的站法数。详细解答：第一个位置有3种选择，第二个位置有2种选择，第三个位置有1种选择。所以总的站法数为3×2×1=6（种）。答：有6种不同的站法。例题4：用数字1、2、3可以组成多少个没有重复数字的两位数？思路点睛：组成两位数，需要确定十位和个位上的数字。十位上不能是0，这里给的数字是1、2、3，所以十位上有3种选择（1、2、3）。当十位上的数字确定后，个位上的数字就只能从剩下的2个数字中选择了。同样，这是一个分步问题，用乘法原理。详细解答：十位上有3种选择，个位上有2种选择。所以一共可以组成的两位数个数为3×2=6（个）。分别是：12、13、21、23、31、32。答：可以组成6个没有重复数字的两位数。三、简单组合问题组合问题与排列问题的区别在于，它不考虑顺序。也就是说，从一些物体中选出部分，只关注选了哪些，而不关注这些被选出的物体的顺序。例题5：从甲、乙、丙3个小朋友中选出2个参加学校的绘画比赛，有多少种不同的选法？思路点睛：这道题只需要选出2个小朋友，不需要考虑他们的顺序。比如，选甲和乙，与选乙和甲，其实是同一种选法。我们可以一一列举：甲和乙、甲和丙、乙和丙，共3种。也可以这样思考，如果用排列的思路，先选第一个人有3种，再选第二个人有2种，3×2=6种，但这里面每一种组合都被重复计算了2次（比如甲乙和乙甲），所以要除以2。详细解答：方法一（列举法）：共有甲乙、甲丙、乙丙3种选法。方法二（计算法）：先按排列算3×2=6，再除以重复的次数2，6÷2=3（种）。答：有3种不同的选法。例题6：学校组织乒乓球比赛，每两个同学之间都要赛一场。如果有4个同学参加比赛，一共要赛多少场？思路点睛：这是一个典型的组合问题，因为“A同学和B同学比赛”与“B同学和A同学比赛”是同一场比赛，不考虑顺序。我们可以把4个同学记为A、B、C、D。A要和B、C、D各赛一场（3场），B已经和A赛过，所以B还要和C、D各赛一场（2场），C已经和A、B赛过，所以C还要和D赛一场（1场），D已经和其他人都赛过了。将这些场次相加即可。详细解答：3+2+1=6（场）。也可以用组合公式思考：从4个同学中选2个进行比赛，即C(4,2)=(4×3)/(2×1)=6（场）。答：一共要赛6场。四、稍复杂的排列组合问题有些问题需要我们灵活运用加法原理、乘法原理，甚至结合排列组合的思想进行综合分析，有时还需要用到排除法或递推法等技巧。例题7：用0、1、2这三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？思路点睛：组成三位数，百位上不能是0，这是一个重要的限制条件。所以我们优先考虑百位。百位上可以是1或2，有2种选择。当百位确定后，十位上的数字可以从剩下的2个数字（包括0）中选择，有2种选择。最后个位上就只剩下1个数字了。详细解答：百位：2种选择（1或2）。十位：百位选完后剩2个数字，所以2种选择。个位：前两位选完后剩1个数字，所以1种选择。根据乘法原理，总个数为2×2×1=4（个）。分别是：102、120、201、210。答：可以组成4个没有重复数字的三位数。例题8：小明有红、黄、蓝三件不同的上衣和黑、白两条不同的裤子。他想穿一套衣服（一件上衣配一条裤子）去上学，其中红上衣和黑裤子不能一起穿，那么他有多少种不同的穿法？思路点睛：这道题可以用两种方法来解。方法一：先算出所有可能的穿法，再减去“红上衣配黑裤子”这种不符合要求的穿法。方法二：直接分类讨论，一类是不选红上衣的穿法，一类是选红上衣但只能配白裤子的穿法，然后相加。详细解答：方法一（排除法）：总共有上衣3件，裤子2条，所以总穿法为3×2=6（种）。其中不符合要求的是红上衣配黑裤子，1种。所以符合要求的穿法为6-1=5（种）。方法二（分类法）：第一类：不穿红上衣，此时上衣有黄、蓝2种选择，裤子有2种选择，共2×2=4（种）。第二类：穿红上衣，此时裤子只能选白裤子，有1种选择，共1×1=1（种）。总穿法：4+1=5（种）。答：他有5种不同的穿法。结语排列组合的世界丰富多彩，以上这