第10章 第2讲 二重积分在直角坐标系下的计算

第2讲二重积分在直角坐标系下的应用第10章重积分及其应用主讲教师|高等数学（下册）（慕课版）本讲内容直角坐标系下的面积元素积分区域的分类02化二重积分为二次积分0301交换二次积分次序04301直角坐标系下的面积元素D

在直角坐标系中，

本讲内容直角坐标系下的面积元素积分区域的分类02化二重积分为二次积分0301交换二次积分次序04502积分区域的分类X型区域𝑋型区域特点：在𝐷内,任一条平行于𝑦轴的直线与𝐷的边界至多有两个交点,且上下边界曲线的方程是𝑥的函数.OxyDax0by=y2(x)y=y1(x)Oxyax0by=y2(x)y=y1(x)D

6Y型区域𝑌型区域特点：在𝐷内,任一条平行于𝑥轴的直线与𝐷的边界至多有两个交点,且左右边界曲线的方程是𝑦的函数.dycyOxx=x2(y)x=x1(y)dycyOxx=x1(y)x=x2(y)

02积分区域的分类7混合型区域简单区域既是𝑋型区域,又是𝑌型区域.简单区域：混合型区域：若有界闭区域,既不是𝑋型区域，又补是𝑌型区域.混合型区域特点：在𝐷内,存在平行于𝑥轴和𝑦轴的直线与𝐷的边界交点多于两个.DabcdOxyOxyD1D2D302积分区域的分类本讲内容直角坐标系下的面积元素积分区域的分类02化二重积分为二次积分0301交换二次积分次序04903化二重积分为二次积分型区域设𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)≥0(非负连续函数),底面闭区域𝐷由连续曲线𝑦=𝜑1(𝑥),𝑦=𝜑2(𝑥)及直线𝑥=𝑎,𝑥=𝑏围成.的几何意义是以𝐷为底,以曲面𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)为顶的曲顶柱体体积𝑉.

二重积分10型区域截面𝐴(𝑥)是一个曲边梯形.

曲顶柱体体积

03化二重积分为二次积分11型区域

03化二重积分为二次积分12Y型区域

03化二重积分为二次积分13若𝐷是混合型区域,则𝐷=𝐷1+𝐷2+𝐷3

D1D2D3yOx03化二重积分为二次积分14例10.10现有一沙堆，其底在𝑥𝑂𝑦平面内由抛物线𝑥2+𝑦=6与直线𝑦=𝑥所围成的区域上. 沙堆在点(𝑥,𝑦)的高度为𝑥2,求沙堆的体积.解📚例1交点(−3,−3),(2,2).

03化二重积分为二次积分15若先对𝑥积分,则

03化二重积分为二次积分16计算其中D是由直线y=1,x=

2.y=x围成的闭区域.

解法一首先画出积分区域D,如图10.

12所示,解📚例2D是X-型区域D

上点的横坐标的变化范围为[1,2],任取x∈[.2],过点x作平行于y轴的直线,y=x图10.1203化二重积分为二次积分17这条直线与D的下边界和上边界分别交于两点,其纵坐标分别为y=1,y=x,于是D

:

.1≤x≤2,1≤y≤x.03化二重积分为二次积分18由公式（10.1）得2

1

x1

dx03化二重积分为二次积分19解法二画出区域D,如图10.

13所示.

2ydy2

1

y=x图10.1303化二重积分为二次积分D是Y-型区域.D

上点的纵坐标变化范园是[1,2],过点y作平行于x轴的直线,该直线与D的边界交点横坐标分别是x=y,x=2.则由公式(10.2),得.20画出积分域如图10.14所示,将二重积分化为累次积分即可.解📚例3图10.14计算二重积分其中D是由直线y=x,y=1,x=0所围成的平面区域.

yxO11y=x03化二重积分为二次积分21因为根号下的函数为关于x的一次函数,"先x后y"积分较容易,所以.03化二重积分为二次积分

📚例4其中 𝐷 是以 (0,0)、(1,1)、  (0,1) 为顶点的三角形.

求22无法用初等函数表示,积分须考虑次序.

例10.6解

03化二重积分为二次积分23解📚例5其中D是直线y=x,y=2和双曲线xy=1所围成的闭区域.求

先画出的图形,如图10.16(1)所示.显然D是Y

-型区域,

D可表示成应用公式(10.2),得

图10.16(1)

03化二重积分为二次积分24

y

另外,也可把D分成两部分D1和D2,如图10.16(2)所示,则D1和D2都是X-型区域,并粗它们可表示成

图10.16(2)03化二重积分为二次积分25于是，由二重积分性质3及公式（10.1）,得

03化二重积分为二次积分26解📚例6

若区域计算

即时提问10.2

03化二重积分为二次积分本讲内容直角坐标系下的面积元素积分区域的分类02化二重积分为二次积分0301交换二次积分次序042804交换二次积分次序解📚例7交换二次积分的积分次序,即化成先对x后对y的二次积分.

该类型题一般步骤:第一步由已知二次积分式,写出积分区域D的不等式表示.本题中第一个积分的积分区域x

-型区域,可表示为

29第二个积分的积分区域x-型区域,可表示为

第二步画出积分区域的图形.D的图形如图10.17所示.图10.17xyOD1D2)1,1(y=xy=2-x04交换二次积分次序30第三步把积分区域D按Y-型区域不等式方式表示出来.则

第四步写出要求的结果.

04交换二次积分次序31同步习题10.2，提高2原式

改变积分次序：

解📚例8

04交换二次积分次序32例10.9

计算📚例904交换二次积分次序33解