2025年上学期高三数学“数学肥料”中的数学知识试题（一）

2025年上学期高三数学“数学肥料”中的数学知识试题（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x-10\leq0})，(B={x|m+1\leqx\leq2m-1})，若(A\cupB=A)，则实数(m)的取值范围是（）A.([-3,3])B.([-3,2])C.((-\infty,3])D.((-\infty,2])设复数(z)满足((1+i)z=|\sqrt{3}-i|)，则(z)的虚部为（）A.(-1)B.(1)C.(-i)D.(i)已知向量(\vec{a}=(2,-1))，(\vec{b}=(1,m))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec{b}))，则(m=)（）A.(-1)B.(1)C.(-7)D.(7)函数(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2})的大致图像是（）A.B.C.D.已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，则(\tan(\alpha-\frac{\pi}{4})=)（）A.(7)B.(-7)C.(\frac{1}{7})D.(-\frac{1}{7})某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，则(a_7+a_8+a_9=)（）A.(512)B.(384)C.(256)D.(128)执行如图所示的程序框图，若输入的(x=1)，则输出的(y=)（）A.(2)B.(4)C.(6)D.(8)已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，准线为(l)，过点(F)的直线交抛物线于(A,B)两点，过点(A)作准线(l)的垂线，垂足为(M)，若(\angleMAF=60^\circ)，则(|AB|=)（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.(4)D.(8)已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分图像如图所示，则(f(x))的解析式为（）A.(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))B.(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))C.(f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3}))D.(f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{3}))在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=2)，则三棱锥(P-ABC)的外接球的表面积为（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(20\pi)已知函数(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)，若对任意(x_1,x_2\in[-1,2])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leq2)，则实数(a)的取值范围是（）A.([0,3])B.([1,3])C.([2,3])D.([3,4])二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases})，则(z=x+2y)的最大值为________。已知((1+x)^n)的展开式中第(3)项与第(7)项的二项式系数相等，则(n=)，展开式中(x^2)的系数为。（本题第一空2分，第二空3分）已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，右焦点为(F)，点(A)在双曲线的渐近线上，且(\triangleOAF)为等边三角形（(O)为坐标原点），则双曲线的方程为________。已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\lnx,&x>0\end{cases})，若关于(x)的方程(f(x)=kx+1)有且只有两个不同的实根，则实数(k)的取值范围是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分12分）已知数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且满足(S_n=2a_n-2)（(n\in\mathbf{N}^*)）。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）设(b_n=\log_2a_n)，求数列({\frac{1}{b_nb_{n+1}}})的前(n)项和(T_n)。（本小题满分12分）某学校为了解学生的数学学习情况，随机抽取了100名学生进行数学成绩调查，将成绩分为5组：([50,60))，([60,70))，([70,80))，([80,90))，([90,100])，得到如图所示的频率分布直方图。（1）求图中(a)的值，并估计这100名学生数学成绩的平均数；（2）若从成绩在([50,60))和([90,100])的学生中按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人成绩在([90,100])的概率。（本小题满分12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，点(D)为(BC)的中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(C_1-AD-C)的余弦值。（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，且过点((\sqrt{2},1))。（1）求椭圆(C)的方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2})，求证：(\triangleAOB)的面积为定值。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbf{R})）。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若(f(x)\geq0)对任意(x\in\mathbf{R})恒成立，求实数(a)的值；（3）在（2）的条件下，证明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1))（(n\in\mathbf{N}^*)）。（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系(xOy)中，曲线(C_1)的参数方程为(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)为参数），以坐标原点(O)为极点，(x)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(C_2)的极坐标方程为(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲线(C_1)的极坐标方程和曲线(C_2)的直角坐标方程；（2）设射线(\theta=\frac{\pi}{3})（(\rho\geq0)）与曲线(C_1)交于(O,A)两点，与曲线(C_2)交于(O,B)两点，求(|AB|)。（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数(f(x)=|x-1|+|x+2|)。（1）求不等式(f(x)\geq5)的解集；（2）若关于(x)的不等式(f(x)\geqa^2-2a)对任意(x\in\mathbf{R})恒成立，求实数(a)的取值范围。参考答案及解析（部分）一、选择题C解析：由(A\cupB=A)得(B\subseteqA)。解集合(A)：(x^2-3x-10\leq0\Rightarrow(x-5)(x+2)\leq0\RightarrowA=[-2,5])。当(B=\varnothing)时，(m+1>2m-1\Rightarrowm<2)；当(B\neq\varnothing)时，(\begin{cases}m+1\leq2m-1\m+1\geq-2\2m-1\leq5\end{cases}\Rightarrow2\leqm\leq3)。综上，(m\leq3)，选C。A解析：(|\sqrt{3}-i|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2)，则(z=\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=1-i)，虚部为(-1)，选A。C解析：(\vec{a}+\vec{b}=(3,m-1))，由(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec{b}))得(2\times3+(-1)\times(m-1)=0\Rightarrow6-m+1=0\Rightarrowm=7)，选C。二、填空题8解析：作出可行域，当直线(z=x+2y)过点((2,3))时，(z)取得最大值(2+2\times3=8)。8；28解析：由二项式系数性质得(C_n^2=C_n^6\Rightarrown=8)；展开式中(x^2)的系数为(C_8^2=28)。三、解答题（1）解：当(n=1)时，(S_1=2a_1-2\Rightarrowa_1=2)。当(n\geq2)时，(S_n-S_{n-1}=2a_n-2-(2a_{n-1}-2)\Rightarrowa_n=2a_{n-1})，故({a_n})是以2为首项，2为公比的等比数列，(a_n=2^n)。（2）(b_n=\log_22^n=n)