2026中考第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+真题演练）第11课时：一次函数及应用（学生版+教师版合并）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第11课时一次函数及应用一、核心知识一、核心知识（一）一次函数的定义与表达式定义：形如____________（k、b为常数，且____________）的函数叫做一次函数。特殊情况：当____________时，函数化为y=kx（k≠0），叫做____________，是一次函数的特殊形式。表达式类型：一般式：。（二）一次函数的图象与性质图象形状：一次函数y=kx+b的图象是一条___________，正比例函数y=kx的图象是经过____________的直线。图象性质（k、b的作用）：系数k：决定直线的___________和倾斜程度：k>0：y随x的增大而____________，直线从左到右上升；k<0：y随x的增大而___________，直线从左到右下降；|k|越大，直线越____________；|k|越小，直线越。常数b：决定直线与y轴的交点坐标：直线与y轴交于点___________：b>0：交点在y轴___________；b=0：交点在；b<0：交点在y轴___________。直线平移规律（针对y=kx+b）：向上平移m个单位：；向下平移m个单位：；向左平移m个单位：；向右平移m个单位：。（三）一次函数的求解方法（待定系数法）步骤：设：设一次函数表达式为，正比例函数设为；代：将图象上__________已知点的坐标代入表达式，列二元一次方程组；解：解方程组求出k、b的值；写：写出一次函数的最终表达式。（四）一次函数的应用核心关联：一次函数与一元一次方程：kx+b=0的解是直线与____________交点的横坐标；一次函数与一元一次不等式：kx+b>0（或<0）的解集是直线在x轴____________对应的x的取值范围；一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象的___________是对应方程组的解。常见应用场景：行程问题：路程（v为速度，s0为初始路程）；利润问题：总利润；方案设计问题：根据函数增减性选择最优方案（如最低成本、最高利润）；分段函数问题：根据不同区间的计费标准、折扣规则列分段函数，再求解。二、核心能力二、核心能力（一）一次函数图象与性质分析题型1：由k、b判断图象或由图象求k、b的范围解题思路紧扣k的增减性、b的截距意义，结合选项排除错误答案；若图象过特定象限，列关于k、b的不等式组求解。题型2：直线平移与对称解题思路根据平移规律“上加下减、左加右减”直接变形表达式；关于x轴对称时，x不变、y变号；关于y轴对称时，y不变、x变号。（二）待定系数法求一次函数解析式题型1：已知两点求解析式解题思路直接代入两点坐标，解二元一次方程组求k、b，注意正比例函数需验证b=0。题型2：结合图象特征求解析式（如过原点、与坐标轴交点）解题思路先确定特殊点坐标（如与x轴交点(a,0)、与y轴交点(0,b)），再代入表达式求解。（三）一次函数与方程、不等式综合题型1：由函数图象解方程、不等式解题思路：找到直线与x轴、y轴的交点，结合图象上下位置关系确定解集；方程的解对应交点横坐标。题型2：由方程、不等式求函数参数解题思路：将方程的解、不等式的解集转化为函数图象上的点或范围，列关于k、b的方程（组）或不等式求解。（四）一次函数实际应用题型1：行程、利润等单一情境应用解题思路找准等量关系，设自变量（如时间、销量），列一次函数表达式，再根据题意求解（如求时间、最大利润）。题型2：方案设计与分段函数解题思路分段函数需明确分界点，分区间列表达式；方案设计需根据函数增减性，在自变量取值范围内找最优解（k>0取最大值，k<0取最小值）。三、易错警示三、易错警示混淆k、b的意义错误：认为k>0时直线过第二象限（实际k>0仅决定上升，过象限还需看b）；提醒：直线过象限由k和b共同决定，可画图辅助判断（如k>0、b>0过一、二、三象限）。待定系数法漏条件错误：仅用一个点求一次函数解析式（需两个独立条件）；提醒：一次函数有k、b两个参数，必须代入两个点的坐标列方程组。平移规律应用错误错误：将y=2x+1向右平移2个单位化为y=2x+3（正确为y=2(x-2)+1=2x-3）；提醒：“左加右减”针对自变量x，不是常数项b。实际应用忽略自变量取值范围错误：利润问题中解得销量为负数未舍去；提醒：实际问题中自变量（如人数、销量、时间）需为非负数或正整数，需筛选符合题意的解。分段函数分界点处理错误错误：计费问题中忽略分界点是否含等号（如“不超过3km收费10元”，x≤3时y=10）；提醒：分界点的等号只能归属于一个区间，避免重复或遗漏。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·上海中考）下列函数中，为正比例函数的是（

）A.y=3x+1 B.y=3x2 C.y=3x D.2.（24-25·青海模拟）图中表示一次函数y=ax+a与正比例函数y=−ax(a是常数，且a≠0)图象的是（

）A. B.

C. D.

3.（25-26·全国模拟）已知一次函数y=−x+b的图象经过点P(4,3)，则b=（

）A.3 B.4 C.6 D.74.（24-25·山东中考）一次函数y=kx+2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，当x=−1时y的值可以是（

）A.3 B.2 C.1 D.−15.（24-25·陕西模拟）在平面直角坐标系中，直线l1:y=−2x+2与直线l2:y=kx−1交点的横坐标为2，则A.2 B.1 C.−12 6.（24-25·内蒙古模拟）已知实数x，y满足x+1+(y−3)2=0，则经过点A.y=x+4 B.y=x−4 C.y=2x+1 D.y=2x−27.（24-25·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=kx交于点C(4, n)，则tan∠OCB的值为（

）

A.13 B.57 C.558.（24-25·陕西中考）在平面直角坐标系中，过点(1,0)，(0,2)的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（

）A.(1,−3) B.(1,3) C.(−3,2) D.(3,2)9.（24-25·全国模拟）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t​∘C温度t−1001030声音传播的速度v(m/s)324330336348

研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数，且a≠0)．当温度t为15∘C时，声音传播的速度A.333m/s B.339m/s C.341m/s D.342m/s10.（24-25·河北模拟）若点A−2,y1，B3,y2，C1,y3在一次函数y=−2x+b（bA.y3<y2<y1 B.11.（24-25·福建模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y1=mx+1+1m≠0和y2=ax−1+2A.m<0 B.m>12 C.m<12 12.（24-25·宁夏模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)与y=mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下结论错误的是（

）

A.由图象可知b<n；B.方程组y−ax=by−mx=n 的解为C.方程mx+n=0的解为x=2；D.当x>−3时ax+b>mx+n．13.（24-25·陕西模拟）如图，已知直线l1:y=32x与直线l2:y=kx+1(k≠0)在第一象限交于点P(m,3)，直线l2与x轴交于点AA.2 B.32 C.1 D.14.（24-25·河北中考）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（

）

A.75,115 B.85,231015.（25-26·全国期中）关于函数y=kx+k−2，给出下列说法正确的是：（

）

①当k≠0时，该函数是一次函数；

②若点Am−1,y1,Bm+3,y2在该函数图像上，且y1<y2，则A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.一次函数y=kx+2，当x=3时，y=−7，则k的值等于_______；当x=______时，y=5．17.（25-26·广东月考）点Ax1,y1和点Bx2,y2是一次函数y=kx(k≠0)图象上两点，当x1<x18.（25-26·青海模拟）如表1给出了直线l1上部分点(x, y)的坐标值，表2给出了直线l2上部分点(x, y)的坐标值．那么直线l1和l2直线交点坐标为_________．

表x−2024y31−1−3表2：x−202y−5−3−119.（24-25·江苏模拟）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点(2,0)、点(0,3)．则关于x的方程kx+b=3的解为___________．

20.（25-26·四川模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,3)，点B(1,1)，若将直线y=12x向上平移c个单位长度后与线段AB有交点，则c的取值范围是_____________．

21.（24-25·四川模拟）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P(t,t)，则称点P为函数图象上的“不动点”，例如：直线y=2x−3，上存在“不动点”P(3,3)．若函数y=(m−1)x2−3x+2m的图象上存在唯一“不动点”，则m=22.（25-26·江苏模拟）直线l1:y=43x+6与y轴交于A点，将直线l1绕着A点逆时针旋转45∘至l23.（24-25·安徽期末）如图，直线l1:y=x+3与直线l2:y=ax+b相交于点A(m,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是

．24.（24-25·江苏模拟）设直线y=kx+k−1和直线y=(k+1)x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+25.（25-26·河北开学）电信公司手机的收费标准有A,B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为180分钟时，按这两类收费标准缴费的差为______________元．

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·广东模拟）已知函数y=m−1（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）当m为何值时，y是x的正比例函数？【答案】解：(1)由题意得：m−1≠0，解得：m≠1，

所以当m≠1时，y是x的一次函数．由题意得：m−1≠0且m2−1=0，解得：m=−1，

所以当m=−1时，y是27.（24-25·陕西模拟）为加强劳动教育，落实五育并举，实验中学在校园内建立了一处劳动教育基地，用来种植菜苗．从种植开始，每隔2天记录一次数据，数据记录如下：已种菜苗天数x/天02468．．．菜苗高度y2.44.87.29.612．．．

（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若菜苗高度ycm与已种菜苗天数x（2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式；（3）根据实践经验可知，这种菜苗在高度达到44.4cm时成熟，求菜苗成熟时28.（24-25·湖北期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数y=mxm≠0的图象相交于点A（1）求一次函数、反比例函数的表达式：（2）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b<m29.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象过点(0,2)和(1,3)．（1）求k，b的值；（2）当x>1时，对于x的每一个值，函数y1=kx+b的值与函数y2=mx(m≠0)的值之和都大于30.（25-26·甘肃模拟）如图，点A在x轴上，点B和点C都在y轴上．

（1）直线AC的表达式是_____________________（2）在直线AC上且位于y轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是_________（3）当x的取值范围是________时，直线AC在直线AB的上方（4）直线AC向右平移______个单位后经过点B31.（24-25·新疆模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，A−2,2，B6,6，连接AB．

（1）求AB所在直线的表达式；（2）从点C3,0处发射激光CP．①当激光CP⊥x轴时，CP与AB交于点Q，求线段CQ的长度；

②已知CP所在直线的表达式为y=mx+nm≠0，请直接写出激光CP与线段QB（不含端点）有交点时32.（24-25·新疆期中）已知两直线y=x+2与y=−2x+5相交于点P，y=x+2与y轴交于点A，y=−2x+5与x轴交于点B（如图）．

（1）求P点坐标．（2）求两直线与坐标轴所围成的四边形PAOB的面积．33.（25-26·吉林模拟）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息：信息1如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，y=y1+y2，弹簧A拉力y1(N)与长度x(cm)之间有关系式y1弹簧长度x/cm10152025拉力y5101520信息2在弹性限度内，弹簧A,B伸长后最大长度均为30cm．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：（1）在图2中，描出对弹簧B测得数据的各对x与y2（2）求y2关于x的函数表达式，并求出弹簧B（3）如何购买A,B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力．34.（25-26·广东模拟）【阅读理解】

点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，给出以下定义：若d1≤d2，则称d1为点P的“微距值”；若d1>d2，则称d₂为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距值”为0．例如，点P(−3,5)到x轴的距离为5，到y（1）点A(2,−3)的“微距值”为______；（2）若点B(a,3)的“微距值”为2，求a的值；（3）若点C在直线y=−3x+6上，且点C的“微距值”为2，求点C的坐标．35.（25-26·江西月考）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关

实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）

实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的

密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．

总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力=G重力；

当小铝块浸入液面后，F拉力=G重力−F浮力．

【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N)，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N)，则乙液体中小铝块浸入的深度为ncm，直接写出m，n

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第11课时一次函数及应用一、核心知识一、核心知识（一）一次函数的定义与表达式定义：形如______y=kx+b______（k、b为常数，且______k≠0______）的函数叫做一次函数。特殊情况：当______b=0______时，函数化为y=kx（k≠0），叫做______正比例函数______，是一次函数的特殊形式。表达式类型：一般式：y=kx+b（k≠0）。（二）一次函数的图象与性质图象形状：一次函数y=kx+b的图象是一条______直线______，正比例函数y=kx的图象是经过______原点(0,0)______的直线。图象性质（k、b的作用）：系数k：决定直线的______增减性______和倾斜程度：k>0：y随x的增大而______增大______，直线从左到右上升；k<0：y随x的增大而______减小______，直线从左到右下降；|k|越大，直线越______陡峭______；|k|越小，直线越平缓。常数b：决定直线与y轴的交点坐标：直线与y轴交于点______(0,b)______：b>0：交点在y轴______正半轴______；b=0：交点在原点；b<0：交点在y轴______负半轴______。直线平移规律（针对y=kx+b）：向上平移m个单位：y=kx+(b+m)；向下平移m个单位：y=kx+(b-m)；向左平移m个单位：y=k(x+m)+b；向右平移m个单位：y=k(x-m)+b（“上加下减常数项，左加右减自变量”）。（三）一次函数的求解方法（待定系数法）步骤：设：设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），正比例函数设为y=kx（k≠0）；代：将图象上______两个______已知点的坐标代入表达式，列二元一次方程组；解：解方程组求出k、b的值；写：写出一次函数的最终表达式。（四）一次函数的应用核心关联：一次函数与一元一次方程：kx+b=0的解是直线与______x轴______交点的横坐标；一次函数与一元一次不等式：kx+b>0（或<0）的解集是直线在x轴______上方（或下方）______对应的x的取值范围；一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象的______交点坐标______是对应方程组的解。常见应用场景：行程问题：路程s=vt+s0（v为速度，s0为初始路程）；利润问题：总利润y=单件利润×销量+固定成本；方案设计问题：根据函数增减性选择最优方案（如最低成本、最高利润）；分段函数问题：根据不同区间的计费标准、折扣规则列分段函数，再求解。二、核心能力二、核心能力（一）一次函数图象与性质分析题型1：由k、b判断图象或由图象求k、b的范围解题思路紧扣k的增减性、b的截距意义，结合选项排除错误答案；若图象过特定象限，列关于k、b的不等式组求解。题型2：直线平移与对称解题思路根据平移规律“上加下减、左加右减”直接变形表达式；关于x轴对称时，x不变、y变号；关于y轴对称时，y不变、x变号。（二）待定系数法求一次函数解析式题型1：已知两点求解析式解题思路直接代入两点坐标，解二元一次方程组求k、b，注意正比例函数需验证b=0。题型2：结合图象特征求解析式（如过原点、与坐标轴交点）解题思路先确定特殊点坐标（如与x轴交点(a,0)、与y轴交点(0,b)），再代入表达式求解。（三）一次函数与方程、不等式综合题型1：由函数图象解方程、不等式解题思路：找到直线与x轴、y轴的交点，结合图象上下位置关系确定解集；方程的解对应交点横坐标。题型2：由方程、不等式求函数参数解题思路：将方程的解、不等式的解集转化为函数图象上的点或范围，列关于k、b的方程（组）或不等式求解。（四）一次函数实际应用题型1：行程、利润等单一情境应用解题思路找准等量关系，设自变量（如时间、销量），列一次函数表达式，再根据题意求解（如求时间、最大利润）。题型2：方案设计与分段函数解题思路分段函数需明确分界点，分区间列表达式；方案设计需根据函数增减性，在自变量取值范围内找最优解（k>0取最大值，k<0取最小值）。三、易错警示三、易错警示混淆k、b的意义错误：认为k>0时直线过第二象限（实际k>0仅决定上升，过象限还需看b）；提醒：直线过象限由k和b共同决定，可画图辅助判断（如k>0、b>0过一、二、三象限）。待定系数法漏条件错误：仅用一个点求一次函数解析式（需两个独立条件）；提醒：一次函数有k、b两个参数，必须代入两个点的坐标列方程组。平移规律应用错误错误：将y=2x+1向右平移2个单位化为y=2x+3（正确为y=2(x-2)+1=2x-3）；提醒：“左加右减”针对自变量x，不是常数项b。实际应用忽略自变量取值范围错误：利润问题中解得销量为负数未舍去；提醒：实际问题中自变量（如人数、销量、时间）需为非负数或正整数，需筛选符合题意的解。分段函数分界点处理错误错误：计费问题中忽略分界点是否含等号（如“不超过3km收费10元”，x≤3时y=10）；提醒：分界点的等号只能归属于一个区间，避免重复或遗漏。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·上海中考）下列函数中，为正比例函数的是（

）A.y=3x+1 B.y=3x2 C.y=3x D.【答案】D【解析】本题考查了正比例函数的定义，形如y=kx(k为常数且k≠0)的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可．【解答】解：A:y=3x+1，该函数含常数项“+1”，不符合正比例函数y=kx的形式，不符合题意；

B:y=3x2，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意；

C:y=3x，该函数可写为y=3x−1，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意；

D:y=x3，该函数可化简为y=13x，符合2.（24-25·青海模拟）图中表示一次函数y=ax+a与正比例函数y=−ax(a是常数，且a≠0)图象的是（

）A. B.

C. D.

【答案】C【解析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图像，

分a>0和a<0两种情况分别确定函数图像所在象限，再判断即可．【解答】解：当a>0时，一次函数y=ax+a的图像经过第一，二，三象限，正比例函数y=−ax经过第二，四象限；

当a<0时，一次函数y=ax+a的图像经过第二，三，四象限，正比例函数y=−ax经过第一，三象限，

所以C符合题意．

故选：C．3.（25-26·全国模拟）已知一次函数y=−x+b的图象经过点P(4,3)，则b=（

）A.3 B.4 C.6 D.7【答案】D【解析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点P(4,3)代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值．【解答】解：∵一次函数y=−x+b的图象经过点P(4,3)，

∴将x=4，y=3代入解析式，得：

3=−4+b，

解得：b=3+4=7，

故选：D．4.（24-25·山东中考）一次函数y=kx+2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，当x=−1时y的值可以是（

）A.3 B.2 C.1 D.−1【答案】A【解析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把x=−1代入函数y=kx+2(k≠0)，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果．【解答】解：∵一次函数y=kx+2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，

∴k<0，

∴当x=−1时，y=−k+2>2，

选项中只有3符合要求，

故选：A．5.（24-25·陕西模拟）在平面直角坐标系中，直线l1:y=−2x+2与直线l2:y=kx−1交点的横坐标为2A.2 B.1 C.−12 【答案】C【解析】此题考查了一次函数图象的交点问题．先利用直线l1:y=−2x+2求出交点的纵坐标，再把交点的坐标代入直线l2【解答】解：把x=2代入l1:y=−2x+2得到y=−2×2+2=−2，

∴直线l1:y=−2x+2与直线l2:y=kx−1交点坐标为(2,−2)，

把(2,−2)代入l2:y=kx−1得到−2=2k−1，

解得k=−16.（24-25·内蒙古模拟）已知实数x，y满足x+1+(y−3)2=0A.y=x+4 B.y=x−4 C.y=2x+1 D.y=2x−2【答案】A【解析】根据算术平方根的非负性，平方的非负性求得x,y的值，进而将x,y【解答】∵x+1+(y−3)2=0，x+1≥0，(y−3)2≥0，

∴x+1=0,y−3=0

∴x=−1,y=3

∴该点的坐标为(−1,3)

A.当x=−1时，y=−1+4=3，符合题意；

B.当x=−1时，y=−1−4=−5，不符合题意；

C.当x=−1时，y=−2+1=−1，不符合题意；

D.当x=−1时，y=−2−2=−4，不符合题意；

7.（24-25·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=kx交于点C(4, n)，则tan∠OCB的值为（

）

A.13 B.57 C.55【答案】A【解析】先将点A点B坐标表示出来，把点C代入直线AB可得出C点坐标为(4, −4)，过B做垂线垂直于直线OC交于点E，求出BE和EC的长即可求出答案【解答】过B作BE⊥直线OC交于点E

由题意可得，点A坐标为(2, 0)点B坐标为(0, 4)

把C点横坐标代入直线y=−2x+4，可得y=−4故点C坐标为(4, −4)

∴直线OC:y=−x

∴∠EOB=45∘，即△OEB是等腰直角三角形

∵在△OEB中，OB=4，∴BE=OE=22

同理可得OC=42∴CE=OC+OE=62

∴tan∠OCB=BEEC8.（24-25·陕西中考）在平面直角坐标系中，过点(1,0)，(0,2)的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（

）A.(1,−3) B.(1,3) C.(−3,2) D.(3,2)【答案】B【解析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点(1,0)，(0,2)，求出这条直线的解析式为y=−2x+2，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为y=−2x+5，再将每个选项进行验证，即可作答．【解答】解：设过点(1,0)，(0,2)的直线解析式为y=kx+b(k≠0)，

把点(1,0)，(0,2)分别代入y=kx+b，

得0=k+b2=0+b ，

∴k=−2b=2 ，

∴y=−2x+2，

∵过点(1,0)，(0,2)的直线向上平移3个单位长度，

∴平移后的直线解析式为y=−2x+2+3=−2x+5，

当x=1时，则y=−2×1+5=3，

即(1,3)在直线y=−2x+2上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意；

当x=3时，则y=−2×3+5=−1，

即(3,−1)在直线y=−2x+2上，故D选项不符合题意；

当x=−3时，则y=−2×(−3)+5=11，

即(−3,11)在直线y=−2x+2上，故C选项不符合题意；

故选：9.（24-25·全国模拟）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t​∘温度t−1001030声音传播的速度v(m/s)324330336348

研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数，且a≠0)．当温度t为15∘C时，声音传播的速度A.333m/s B.339m/s C.341m/s D.342m/s【答案】B【解析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．

根据表格数据，确定一次函数v=at+b中的系数a和常数项b，再代入t=15计算v的值，即可解题．【解答】解：∵v,t满足公式v=at+b，

∴由表格数据可得10a+b=336b=330 ，

解得a=0.6b=330 ，

即v=0.6t+330，

当温度t为15∘C时，v=0.6×15+330=339m/s，

故选：B10.（24-25·河北模拟）若点A−2,y1，B3,y2，C1,y3在一次函数y=−2x+b（A.y3<y2<y1 B.【答案】B【解析】本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．由k=−2<0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合−2<1<3，即可得出y2<y【解答】解：∵k=−2<0，

∴y随x的增大而减小，

又∵点A−2,y1，B3,y2，C1,y3在一次函数y=−2x+b（b是常数）的图象上，且−2<1<3，

∴y2<11.（24-25·福建模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y1=mx+1+1m≠0和y2=ax−1A.m<0 B.m>12 C.m<12 【答案】B【解析】由题意可知y1//y2，且y2在y1的下方，则a=m，当y2=ax−1+2经过点【解答】解：∵y1=m(x+1)+1(m≠0)，∴直线经过定点(−1,1)，

∵无论x取何值，始终有y2<y1，

∴y1//y2，且y2在y1的下方，

∴a=m，

当y2=ax−1+2经过点(−1,1)时，

1=−2a+2，

∴a=12，12.（24-25·宁夏模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)与y=mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下结论错误的是（

）

A.由图象可知b<n；B.方程组y−ax=by−mx=n 的解为C.方程mx+n=0的解为x=2；D.当x>−3时ax+b>mx+n．【答案】D【解析】先观察直线y=mx+n与y轴交点的位置在直线y=ax+b与y轴交点的上方，可判断n>b；再根据两条直线的交点可得方程组的解；然后根据直线y=mx+n与x轴交点的坐标可判断C；最后根据直线y=ax+b在直线y=mx+n的上方，确定自变量的取值范围解答D即可．【解答】解：因为直线y=mx+n与y轴交点的位置在直线y=ax+b与y轴交点的上方，所以n>b；

则A正确；

因为直线y=mx+n与直线y=ax+b的交点坐标是(−3,2)，

所以方程y−ax=by−mx=n 的解是x=−3y=2 ，

则B正确；

因为直线y=mx+n与x轴交点的坐标是(2,0)，

所以方程mx+n=0的解是x=2，

则C正确；

因为从交点向左时直线y=ax+b在直线y=mx+n的上方，

所以当x<−3时，ax+b>mx+n，

则D不正确．

故选：D．13.（24-25·陕西模拟）如图，已知直线l1:y=32x与直线l2:y=kx+1(k≠0)在第一象限交于点P(m,3)，直线l2与x轴交于点A.2 B.32 C.1 D.【答案】B【解析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键．

根据题意求出P点坐标m的值，进而求出直线l2的解析式，继而求出点A的坐标，即可得解．【解答】解：∵P(m,3)在直线l1:y=32x上，

∴3=32m，

∴m=2，

∴P(2,3)，

将P(2,3)代入l2:y=kx+1，

得3=2k+1，解得k=1，故l2:y=x+1，

∵直线l2与x轴交于点A，

∴0=x+1，

∴x=−1，

∴A(−1,0)，

∴OA=114.（24-25·河北中考）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（

）

A.75,115 B.85,【答案】A【解析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线FG的解析式为y=−2x−1，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．【解答】解：设直线FG的解析式为y=kx+b，代入(−1,1),(0,−1)

∴1=−k+b−1=b 

∴k=−2b=−1 

∴直线FG的解析式为y=−2x−1

∵E(1,2)，

A.当E为75,115时，平移方式为向右平移25个单位，向上平移15个单位，

∴直线FG平移后的解析式为y=−2x−25−1+15=−2x，此时经过原点，对应的EH经过整点(2,1)，符合题意，

B.当E为85,2310时，平移方式为向右平移35个单位，向上平移310个单位，

∴直线FG平移后的解析式为y=−2x−35−1+310=−2x+12，此时原点在FG下方，对应的EH在整点(2,1)上方，不符合题意，

C.当E为32,2时，平移方式为向右平移12个单位，，

∴直线15.（25-26·全国期中）关于函数y=kx+k−2，给出下列说法正确的是：（

）

①当k≠0时，该函数是一次函数；

②若点Am−1,y1,Bm+3,y2在该函数图像上，且y1<y2，则A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③【答案】A【解析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．

根据一次函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征逐项分析求解即可．【解答】解：当k≠0时，该函数是一次函数，正确，故①符合题意；

若点A(m−1,y1),B(m+3,y2)在该函数图像上，且y1<y2，

∵m−1<m+3，

∴y随x的增大而增大，则k>0正确，故②符合题意；

若该函数不经过第四象限，则k>0k−2≥0 ，

∴k≥2原说法错误，故③不符合题意；

令x=−1，则（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.一次函数y=kx+2，当x=3时，y=−7，则k的值等于___−3_____；当x=_____−1__时，y=5．【答案】−3，−1【解析】【解答】把x=3时，y=−7代入y=kx+2得−7=3k+2,

解得k=−3;

所以y=−3x+2

把y=5代入得，5=−3x+2,

解得x=−1

所以当x=−1时，y=5;

故答案为−3;−117.（25-26·广东月考）点Ax1,y1和点Bx2,y2是一次函数y=kx(k≠0)图象上两点，当x1<x2【答案】<【解析】根据正比例函数的性质，当x1<x2时，有y1>y2，可得【解答】解：∵当x1<x2时，有y1>y2，可得y随x的增大而减小，

∴k<0，

18.（25-26·青海模拟）如表1给出了直线l1上部分点(x, y)的坐标值，表2给出了直线l2上部分点(x, y)的坐标值．那么直线l1和l2直线交点坐标为____(2,−1)______．

x−2024y31−1−3表2：x−202y−5−3−1【答案】(2,−1)【解析】本题考查了两直线相交的问题：如一个点的坐标同时满足两个直线的解析式，则这个点是这两直线的交点．通过观察直线l1上和l2上部分点的坐标值，会发现当x=2时，y的值都是−1，即两直线都经过点(2,−1)，即交点．【解答】解：通过观察表可知，直线l1和直线l2交点坐标为(2,−1)．

故答案为：(2,−1)19.（24-25·江苏模拟）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点(2,0)、点(0,3)．则关于x的方程kx+b=3的解为____x=0_______．

【答案】x=0【解析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，利用一次函数的图象解一元一次方程时，关键是找准方程的解是相应的一次函数y为何值时对应的x的值．

方程kx+b=3的解即为当y=3时方程的解，而一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,3)，则当y=3时，x=0，即可求解．【解答】解：方程kx+b=3的解即为当y=3时方程的解，

∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,3)，

∴当y=3时，x=0，

故答案为：x=0．20.（25-26·四川模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,3)，点B(1,1)，若将直线y=12x向上平移c个单位长度后与线段AB有交点，则c的取值范围是____12≤c≤4【答案】12≤c≤4【解析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键．

先求出平移后的解析式为y=12x+c，分别代入A、B的坐标，求得对应的c【解答】解：把直线y=12x向上平移c个单位长度后得到y=12x+c，

若直线过A(−2,3)，则12×(−2)+c=3，解得：c=4，

若直线过B(1,1)，则12×1+c=1，解得c=12，

∴将直线y=12x向上平移21.（24-25·四川模拟）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P(t,t)，则称点P为函数图象上的“不动点”，例如：直线y=2x−3，上存在“不动点”P(3,3)．若函数y=(m−1)x2−3x+2m的图象上存在唯一“不动点”，则m=____2或−1或【答案】2或−1或1【解析】根据题意列出关于t的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于m的一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：由题意可知，方程t=(m−1)t2−3t+2m有唯一解，

整理得：(m−1)t2−4t+2m=0，且Δ=0．

即42−4×(m−1)⋅2m=0，

解得m=2或−1．

当m=1时，它是一次函数，存在唯一“不动点”，

故答案为：2或−122.（25-26·江苏模拟）直线l1:y=43x+6与y轴交于A点，将直线l1绕着A点逆时针旋转45∘至【答案】y=−172【解析】过点C作CD⊥AB交AB于点D，首先求出A(0,6)，B−92,0，然后求出AB=922+62=【解答】如图所示，过点C作CD⊥AB交AB于点D，

∵直线l1:y=43x+6与y轴交于A点，

∴当x=0时，y=6，

∴A(0,6)，

∴当y=0时，即43x+6=0，解得x=−92，

∴B−92,0

∴AB=922+62=152，

∵直线l1绕着A点逆时针旋转45∘至l2，

∴设点C的坐标为(m,0)，

∴AC=62+m2，BC=m−−92=m+92，

∵∠BAC=45∘，CD⊥AB，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴AD=CD，AD2+CD2=AC2，

∴2CD2=AC2，即2CD23.（24-25·安徽期末）如图，直线l1:y=x+3与直线l2:y=ax+b相交于点A(m,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是

x≤1

【答案】x≤1【解析】首先求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．【解答】解：把A(m,4)代入y=x+3得：4=m+3，解得：m=1，

则A(1,4)，

根据图象可得不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，

故此题答案为：x≤1．24.（24-25·江苏模拟）设直线y=kx+k−1和直线y=(k+1)x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S【答案】10122025【解析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题．先求出第k个三角形与x轴的交点横坐标为1k−1与1k+1−1，可得第k个三角形在x轴上这条边的长为1k−1【解答】解：分别令两直线中y=0，

kx+k−1=0，(k+1)x+k=0，

解得：x=1k−1，x=1k+1−1，

即第k个三角形与x轴的交点横坐标为1k−1与1k+1−1，

∴第k个三角形在x轴上这条边的长为1k−1k+1，

联立得：y=kx+k−1y=(k+1)x+k ，

解得：x=−1y=−1 ，

∴25.（25-26·河北开学）电信公司手机的收费标准有A,B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为180分钟时，按这两类收费标准缴费的差为_____16__________元．

【答案】16【解析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．

设A类收费的解析式为SA=ax+b，B类收费的解析式为SB=kx，分别用待定系数法求出函数解析式，当x=180时，求出【解答】解：设A类收费的解析式为SA=ax+b，

把(0,20),(100,30)代入SA=ax+b得b=20100x+b=30 ，

解得：a=110b=20 ，

∴A类收费的解析式为SA=110x+20；

设B类收费的解析式为SB=kx，

把(100,30)代入SB=kx得30=100x，

解得x=310，

∴设B类收费的解析式为SB=310x；

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·广东模拟）已知函数y=m−1x+（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）当m为何值时，y是x的正比例函数？【答案】解：(1)由题意得：m−1≠0，解得：m≠1，

所以当m≠1时，y是x的一次函数．由题意得：m−1≠0且m2−1=0，解得：m=−1，

所以当m=−1时，y是【解析】（1）暂无（2）暂无【解答】（1）解：(1)由题意得：m−1≠0，解得：m≠1，

所以当m≠1时，y是x的一次函数．（2）由题意得：m−1≠0且m2−1=0，解得：m=−1，

所以当m=−1时，y是x的正比例函数．27.（24-25·陕西模拟）为加强劳动教育，落实五育并举，实验中学在校园内建立了一处劳动教育基地，用来种植菜苗．从种植开始，每隔2天记录一次数据，数据记录如下：已种菜苗天数x/天02468．．．菜苗高度y2.44.87.29.612．．．

（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若菜苗高度ycm与已种菜苗天数x（天）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__一次（2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式；（3）根据实践经验可知，这种菜苗在高度达到44.4cm时成熟，求菜苗成熟时，种植这种菜苗的天数x的值．【答案】图见解答，一次；y=1.2x+2.4；【解析】（1）根据题目给出的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点，然后通过观察这些点的分布，可以判断出菜苗高度y与已种菜苗天数x之间的函数关系；（2）直接利用待定系数法求一次函数的关系式即可；（3）利用这个函数表达式来求解菜苗成熟时的种植天数即可．【解答】（1）解：描出表中数据对应的点，如图：

通过观察图像，我们可以看出这是一个一次函数关系．

故答案为：一次．（2）设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，

将(0,2.4),(2,4.8)代入，得到方程组：b=2.42k+b=4.8 ，

解得：k=1.2b=2.4 ，

∴y关于（3）根据题目描述，这种菜苗在高度达到44.4cm时成熟，

将y=44.4代入y=1.2x+2.4，解得：x=35，

∴菜苗成熟时，种植这种菜苗的天数x的值为35.

28.（24-25·湖北期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数y=mxm≠0的图象相交于点A（1）求一次函数、反比例函数的表达式：（2）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b<m【答案】

y=2x

,

y=x−1；

x<−1或0<x<2.【解析】此题暂无解析【解答】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于点A−1,n,B2,1,

∴m=2×1=−1⋅n

∴m=2,n=−2

∴A−1,−2

∴反比例函数的解析式为：

y=2x

,

把A−1,−2,B2,1代入y=kx+b，得

∴−k+b=−2（2）∵关于x的不等式kx+b<mx的解集，

即反比例函数y=mx的图象在一次函数y=kx+b的图象上方．

∴根据图象，关于x的不等式kx+b<mx的解集为：x<−129.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象过点(0,2)和(1,3)（1）求k，b的值；（2）当x>1时，对于x的每一个值，函数y1=kx+b的值与函数y2=mx(m≠0)的值之和都大于【答案】k=1，b=2m≥3【解析】（1）将点(0,2)和(1,3)代入一次函数y1=kx+b(k≠0)求解即可得；（2）先求出当x=1时，y1【解答】（1）解：∵一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象过点(0,2)和(1,3)，

∴k+b=3b=2 ，

（2）解：由(1)可知，y1=x+2，

∴y1随x的增大而增大，

当x=1时，y1=1+2=3，

∴当x>1时，y1>3，

要使得当x>1时，对于x的每一个值，函数y1=kx+b的值与函数y2=mx(m≠0)的值之和都大于6，

则y2随x30.（25-26·甘肃模拟）如图，点A在x轴上，点B和点C都在y轴上．

（1）直线AC的表达式是____y=−x−3__________________（2）在直线AC上且位于y轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是______y<−3_____（3）当x的取值范围是___x<−3______时，直线AC在直线AB的上方（4）直线AC向右平移____2__个单位后经过点B【答案】y=−x−3y<−3x<−32【解析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）根据图象即可求解；（3）根据图象即可求解；（4）假设直线AC向右平移n个单位后经过点B，得出平移后解析式为y=−(x−n)−3，将(0,−1)代入即可求解；【解答】（1）解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，

把(−3,0),(0,−3)代入得−3=b0=−3k+b ，

解得k=−1b=−3 ，

∴直线AC的表达式是（2）解：根据图象可得，在直线AC上且位于y轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是y<−3；（3）解：根据图象可得，当直线AC在直线AB的上方时，x<−3；（4）解：∵直线AC的表达式是y=−x−3，

假设直线AC向右平移n个单位后经过点B，

则平移后解析式为y=−(x−n)−3，

将(0,−1)代入得−1=−(0−n)−3，

解得：n=2，

故直线AC向右平移2个单位后经过点B．

31.（24-25·新疆模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，A−2,2，B6,6，连接AB．

（1）求AB所在直线的表达式；（2）从点C3,0处发射激光CP．①当激光CP⊥x轴时，CP与AB交于点Q，求线段CQ的长度；

②已知CP所在直线的表达式为y=mx+nm≠0，请直接写出激光CP与线段QB（不含端点）有交点时【答案】y=12①CQ=92【解析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）由题意可得点Q的横坐标为3，然后将x=3代入AB所在直线的表达式可求得点C的纵坐标即可；②先根据CP所在直线过C、B两点可求得一个临界点m，在根据当CP⊥x轴时，CP与AB交于点Q，即m可取无限大，据此即可解答．【解答】（1）解：设直线AB的函数解析式为y=kx+b，则有：2=−2k+b6=6k+b，解得：k=12b=3，

∴设直线AB的函数解析式为（2）解：①如图：

∵点C3,0处发射激光CP，CP⊥x轴，CP与AB交于点Q，

∴点Q的横坐标为3，

将x=3代入AB所在直线的表达式可得：y=12×3+3=92,

∴Q3,92,

∴线段CQ的长度为92．

②∵CP所在直线的表达式为y=mx+nm≠0，C3,0

∴0=3m+n，即n=−3m

∵Q3,92，B6,6，

∴当CP所在直线过B6,6时，6=6m−3m，解得：m=2，

由当CP⊥x32.（24-25·新疆期中）已知两直线y=x+2与y=−2x+5相交于点P，y=x+2与y轴交于点A，y=−2x+5与x轴交于点B（如图）．

（1）求P点坐标．（2）求两直线与坐标轴所围成的四边形PAOB的面积．【答案】(1,3)194【解析】（1）联立两条直线解析式方程组求解即可；（2）使用割补法，用大三角形面积减去小三角形面积得到四边形面积．【解答】（1）∵点P为两直线交点，联立得y=x+2y=−2x+5，

解得x=1y=3，

∴P(1,3)；（2）将x=0代入y=x+2得y=2，∴A(0,2)，

将y=0代入y=−2x+5得x=52，

∴B(52,0)，

将x=0代入y=−2x+5得y=5，

∴C(0,5)，

S△OBC=CO×BO2=33.（25-26·吉林模拟）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息：信息1如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，y=y1+y2，弹簧A拉力y1(N)与长度x(cm)之间有关系式y1弹簧长度x/cm10152025拉力y5101520信息2在弹性限度内，弹簧A,B伸长后最大长度均为30cm．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：（1）在图2中，描出对弹簧B测得数据的各对x与y2（2）求y2关于x的函数表达式，并求出弹簧B（3）如何购买A,B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力．【答案】见解答，这些点分布在同一直线上y2=30−5=25，弹簧B购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为280N【解析】（1）先描点、再连线，即可得出函数图象；（2）利用待定系数法计算即可得出答案；（3）设弹簧A为m根，则弹簧B为(10−m)根，根据最大拉力得到函数解析式，