九年级数学复习：二次函数专题分类

九年级数学复习：二次函数专题分类知识导航以平面直角坐标系为载体，结合一元二次方程、一次函数、二次函数等知识，运用数形结合思想，利用函数解析式与点的坐标的关系，点的坐标与线段长度的关系及根与系数关系实现数与形的相互转化。【板块一】二次函数与面积方法技巧用点的坐标表示出相关线段的长，进一步求出面积。题型一纵割法例1已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧与y令解得x1=2，x2=-2m-2∵点D是抛物线上一点，(-1)2+m×(-1)-2m-23m－3，∴C（02m－2D13m－3过点D作DE∥y轴交AC于点E，则E12m－1DE＝m+,2yECD题型二等积变形轴翻折，然后向右平移一个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2.（2）在抛物线C2的第一象限内的图象上有一点P＝－设PQ:yx＋n，联立得x2-8x+n+9=0，△=0，n＝7【点评】本题也可用题型一的方法，等积变换，纵割法是解决面积问题的常用方法。yQAP题型三倍分面积问题【例3】如图，抛物线y=x2-2x与x正半轴相交于点A，点P是y轴上的动点，过点P作平行于x轴的直线与抛物线相交于点B、C（B在C的左侧），过点C作CD⊥x轴于点D，连接AB，DP，点M，交AB于点求点P坐标。则四边形BADP为平行四边形，易知四边形PODC为矩形，∴OC、PD互相平分＝－6yCBCME针对练习11.抛物线y=ax2与直线l：y=2x-3有唯一公共点A，（1）此抛物线的解析式为_______________，对称轴为___________，顶点坐标为_________；（3）将直线L向上平移交抛物线于B，C两点，若S=83，求平移后的直线BC的解析式。解轴，3EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),3)2yBDACOxO点P是第一象限内的抛物线上的一动点，连接PA交BC于点E，交y轴于点F。yEFxx【板块二】二次函数与角度方法技巧将角度之间的关系转化为特殊图形、全等、平行等，再转化为线段之间的关系。题型一角度与等腰三角形例2如图，抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且位于x轴的下方，P（1，-3B（4，0）。（2）若点D为抛物线上一点，且∠DPO=∠POB，求点D坐标。【解析解得（2）若点D在第三象限，∵∠D1PO=∠POB，∴P∴D点坐标为13）或（11,-27）yHD题型二角度与全等三角形例3如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点P顺时针旋【解析】过点CD分别作x轴y轴的平行线交于G，由旋转的性质可知，CD⊥AB，∴Rt△CDG≌Rt△BAO2＋2a＋2则D（a＋3a2＋2a＋2∵点D在抛物线上，∴-（a＋3）2＋2(a＋3)＋3＝－a2＋2a＋2，yBA题型三45°角的构造例4已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，将直线AC向右平移交抛物线于点P，交x轴于点Q，且PCA＝45°,求直线PQ的解析式。【解析】过点A，作AD⊥AC交CP的延长线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，直线联立解得＝－4yCPDOABEQx针对练习21、如图，抛物线y＝－x2＋4x－3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC，点P为第四象限抛物线上一点，且∠PCB=∠ACO，求点P的坐标.解：A（1，0），B（3，0），C（0，－3），过点A作AC的垂线AD交CP的延长线于点D，yDPC点D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点。（1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上一点，且∠AEF=∠DBE，求点F的坐标.解1）抛物线的解析式为yx2＋2x＋3，D（1，4）（2）过点E作EN∥BD交Y轴于点N，交抛物线于点F，在y轴负半轴取ON′＝ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F，∵EF∥BD，∴∠AEF=∠DBE，∵ON＝ON′，EO⊥NN′，∴∠AEF1=∠AEF2-∠DBE＝－＝－∴点N的坐标为（0，2同理，可求得F2坐标为综上所述，点F的坐标为F(2-5,25-2)或(5,-25-2)1yDC使得线段OP与直线AB的夹角为45°,求点P的坐标.解：过点A作直线AC∥OP，过点B作BC⊥AB交直线AC于点C，过点C作CD⊥y轴于点D，∵OP与AB的夹角为45°,∴∠CAB＝45°,∴易证△CDB≌△BOA，yDC4.如图，抛物线y＝x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若A1，0且OC＝3OA，（2）将直线BC沿x轴翻折交Y轴于点N，过点B的直线l交y轴、抛物线分别于DE两点，且点D在N的上方，若∠NBD=∠DCA，求点E的坐标。解1）∵A1，0∴OA＝1，OC＝3OA，OC＝3，C（03）∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3∴∠NCA=∠FBO=∠NBD，∴∠DBF＝45°,△BOF≌△FHG，∴G（1，4由解得yDHGNFC（2）点P为抛物线位于x轴下方的一个动点，连接BP，在x轴的上方的抛物线上取一点Q，使∠CBQ=∠CBP，点P在运动过程中，是否存在这样的平行于y轴的直线，使得点P、Q到该直线的距离之积为定值？若存在，求出定值，若不存在，说明理由。解1）y＝x2－3x＋2∵（m＋1－tm＋1－t）为定值，∴t＝1，∴定值为1yCQxBAxBP【板块三】二次函数与特殊图形方法技巧利用特殊图形的性质，转化为线段之间的相等、平行或垂直等关系，进一步转化为点的坐标．►题型一二次函数与等腰三角形与y轴相交于点C(03)．(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．yHAAP(2)①易求BC的解析式y＝x－3，设M(n，n－3)，P(n，n＝－►题型二二次函数与直角三角形【例2】(2018大庆)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(4，0)，与y轴交(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+(3)点D为抛物线对称轴上的一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．yCEF＝－22EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(5),2)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(9),4)∴△BCD为锐角△,点D纵坐标的取值范围为4+31＜n＜13或－3＜n＜4一31．题型三二次函数与平行四边形【例3】如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C．(2)过点A的直线交直线BC于点M，当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，CAM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．yC把B(5，0)，C(05)代入y＝ax2＋6x＋c得解得∴抛物线解析式为y＝－x2＋6x－5；∵B(5，0)，C(05)，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB＝45°,∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，＝－＝－综上所述，P点的横坐标为4或5+41或5-41．题型四二次函数与正方形【例4】如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．(2)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E，是否存在点M，N使四边形MNED为正方形?如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．yyyPMPNNFEHABBAABBxxOxx(2)存在满足条件的M，N．过点M作MF∥y轴，过点N作NF∥x轴交MF于点F，过点N作NH∥y轴交BC于点H，则△MNF与△NEH都是等腰直角三角形．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的解析式为yx＋b．2∵正方形边长为MN＝42-8b，∴MN＝92或2，∴正方形MNED的边长为92或2．针对练习31．(2018梆州)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点．(2)设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．MyMCPCBABxDxl解1）将A(－1，0)、B(3，0)代入yx2＋bx＋c，解得，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；＝－2②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形?若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．yAB＝－(2)①直线AB的解析式为y2x＋2，设P(tt2＋3t＋4)，E(t2t＋2)，∵PE＝1DE，yP＝3yE，∴-t2－3t＋4＝3②当∠BAM＝90°时，设直线PD交AB于点Q，Q(－1，4)，2【板块四】二次函数与定点方法技巧利用根与系数的关系，通过设参、消参等手段，求出定点的坐标．【例2】抛物线y＝ax2＋bx－4a－2b与抛物线y＝4ax2－2bx＋c与y轴交于同一点，求关于x的二次函数y=4ax2－2bx＋c的图象所经过的定点的坐标．【解析】∵两图象与y轴交于同一点，∴c＝－4a－2b，►题型二用几何条件求定点【例3)】已知抛物线y＝x2与直线y＝mx＋n交于点A，点B，直线AB交y轴于点C，是否存在定点C，使得OA⊥OB，若存在，求出定点C的坐yyyBBBCCCAAAxx【解析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点＝－＝－题型三对称点与定点【例4】过点P(12)的任一直线交抛物线y＝1x2－x于A，B两点，点B关于抛物线的对称轴x＝1的2对称点为点C，连接AC，求直线AC所经过的定点的坐标．yBx=1CBAP2EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),2)＝－B＝－∴直线AC经过的定点的坐标为(1，1)．针对练习41．如图，抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c(a＞0)过y轴上一点(0，4)，C1与直线y＝kx交于点E，F，P为y轴上一定点，过点P的直线y＝bx＋n与直线y＝kx交于点Q，若求定点P的坐标．yFPFQExOx2＋bx＋4，联立EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up10(2),OQ)定点P2．如图，抛物线的顶点为(2，0)，且经过点(4，1)，直线y＝1x与抛物线交于A，B两点，直线l的解析4式为y1．(2)点F为平面内一定点，M为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离始终相等，求定点的坐标．yBAxOxly=－124222222EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),2)yPFxOxAx=1EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(1),2)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(1),2)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(1),2)n(x0-2，∵x0－1≠0，∴n故F(1，方法技巧设点的坐标，直线的解析式，利用根与系数的关系，通过整体代入或消元求出定值．题型一等长线段求证：CN＝MN．yyyMNOxNOxAABCAABCC解得c2yMHNDxC如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线与y轴交于点D（0，8点P事抛物线在第一象限部分上的一动点．yDBPx（1）设P（t，-1t2+8∴PC＝-1t2+8，PB2＝t26+1t2-8）21t2+2）2．+2，∴PB＋PC＝1t2+2-1t2+8＝10．【例3】抛物线交x轴的正半轴于点A，对称轴交x轴于点M，点P为第三象限抛物线上的一动点，直线PA、PO分别交抛物线的对称轴于点B、点C，求MC－MB的值．yCAxMOAxBP ∴MC＝MBt＋4t4．【例4】如图，抛物线与y轴交于点C，点Q（2，t）为抛物线上一点，过点A（0，4）的直线与y轴左侧的抛物线交于点D、E两点，QD、QE分别交y轴于点G、H，求OG·CH的值．yAQCDxDOHE【例5】如图，抛物线过定点A（1，0它的顶点M是y轴正半轴上一动点，点M关于x轴的对称点为N，过点N作x轴的平行线交抛物线于B、C两点，直线AB交y轴于点P，直线AC交y轴于点Q，求yPMxAOxCBCN2针对练习51．如图，抛物线y=—x2+4与x轴交于A、B两点，点C是第一象限内抛物线上一动点，连接AC交y轴于点E，连接BC并延长交y轴于点F，求OF＋OE的值．FDEyCxC＝－C＝－b－2，∴-a＋2＝－b－2，∴a－b＝4，∴OE＋OF＝2a－2b＝2（a－b）＝8．2yMAMBNBxO22aBC交抛物线于点D，直线AC交抛物线于点E，EF⊥y轴于点F，若BD＝CD，求EF的值．yxDCEQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(y),y)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(a),x2)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(—),c)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(4),x)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up13(c2),2)4．如图，抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，定点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点，当点P运动时，求的值．yxABAEPCF题型一配方法→建立二次函数最值模型2是抛物线上的动点，点M在顶点和点B之间运动（不包括顶点和点BME∥y轴，交直线BC于点E．（2）求线段ME长度的最大值．yCMxExABOAB2题型二化斜为直法如图，直线分别与x轴，y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°,抛（2）点M事直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△MDH周长的最大值．yMCxHxDABOAB33222∴△DMH的周长＝DM＋DH＋MH＝DM＋1DM＋3DM＝3+3DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，8针对练习61．已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧P为x轴下方抛物线上一动点，直线AP交y轴于点M，直线BP交y轴于点N，求OM·ON的最大值．yxBABMPNP＝－3-x-224n4,4【板块七】抛物线的平行弦问题yl1BAl2ADxCxO联立{得，ax2－kx－m＝0，∴xA＋a变式一横坐标之差为定值y=x22x解析式．yAED：－交抛物线于点E、F，AD∥y轴交EF于点D，求DF－DE的值．yCAOED解：设EF交y轴于点G，由题意得：A3，0B（1，0C（0，2223》变式三面积差为定值3．抛物线y=x2-4x上一点A1，5O为原点，直线y=kx与抛物线另一交点为点C，过点A作OC的平行线交y轴于点E，与抛物线另一个交点为点B，若S△ECB－S△EOC＝3，求直线AB的解析式．BDBBAAx解：过点C作y轴的平行线交直线AB于点D，易证四边形OEDC为平行四边形，2－xD3，∴OE＝DC＝6，E（0，62又A1，5易得直线AB解析式为y=x+6．【板块八】抛物线的切线问题直线AB∥l交抛物线于A，B两点，过点P作PM∥y轴交AB于点M.求证：AM＝BM.yBxMOxMQAP,过点A作AC//x轴，过点B作BD//x轴分别交直线PM于C，D两点，yDBxMxCAPMN∥y轴交抛物线于点N，点D是线段OC上一点，且DN∥AB，求证：DN与抛物线有唯一公共点.yBMANDxD1∴△=k2－4×k2＝0，∴直线DN与抛物线有唯一公共点.43.如图，点P是抛物线y＝ax2上任意一点，过点P的直线l:y＝kx＋b（k