逻辑函数的卡诺图化简法课件

逻辑函数的卡诺图化简法图形法化简

公式化简法评价：优点：变量个数不受限制。缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。

利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。卡诺图的基本组成单元是最小项，所以我们先讨论最小项。

（1）最小项具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘积项为三变量A、B、C的最小项。

设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项：

①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是它的一个因子；

②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。AB是三变量函数的最小项吗？ABBC是三变量函数的最小项吗？

推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，因此N个变量共有2N个最小项。3.2.1最小项的定义与性质最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次，那么就称P是这N个变量的一个最小项。三变量最小项真值表（2）最小项的性质

①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；

②任意两个不同的最小项之积恒为0；

③变量全部最小项之和恒为1。最小项也可用“mi”表示，下标“i”即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。三变量最小项的编号表

(3)最小项的编号

任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例：将Y=AB+BC展开成最小项表达式。解：或：3.2.2逻辑函数的最小项表达式3.2.3用卡诺图表示逻辑函数1.卡诺图

（1）卡诺图及其构成原则

卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：

①N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）；

②最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。

逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。

几何相邻的含义：一是相邻——紧挨的；二是相对——任一行或一列的两头；三是相重——对折起来后位置相重。在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。m0m1DDLm0m1DL01DL一变量卡诺图图3.2.1（2）卡诺图的画法二变量卡诺图图3.2.20132CDLCDCDCDCDCDL0123D，，，三变量卡诺图的画法

三变量（A、B、C）函数卡诺图的画法。①3变量的卡诺图有23个小方块；②几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按00、01、11、10的顺序（循环码）排列。相邻相邻四变量卡诺图的画法相邻相邻不相邻正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。

（1）从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。例已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。逻辑函数Y的真值表2.用卡诺图表示逻辑函数ABCY00000011010101101001101011001111

（2）从最小项表达式画卡诺图

把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1，其余的小方块中填入0。例画出函数Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。

（3）从与－或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。1111AB＝11

例已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，画卡诺图。最后将剩下的填01+1ACD=1011ABCD=0111

（4）从一般形式表达式画卡诺图

先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。

（1）卡诺图中最小项合并的规律合并相邻最小项，可消去变量。合并两个最小项，可消去一个变量；合并四个最小项，可消去两个变量；合并八个最小项，可消去三个变量。合并2N个最小项，可消去N个变量。3.在卡诺图中合并最小项的规律

由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。两个最小项合并

m3m11BCD四个最小项合并

八个最小项合并

A．基本步骤：

①画出逻辑函数的卡诺图；

②合并相邻最小项（圈组）；

③从圈组写出最简与或表达式。

关键是能否正确圈组。

B．正确圈组的原则

①必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相邻最小项；

②每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次；

③圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）。3.2.4用卡诺图化简逻辑函数

C．从圈组写最简与或表达式的方法：

①将每个圈用一个与项表示

圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同取值为1用原变量，相同取值为0用反变量；

②将各与项相或，便得到最简与或表达式。

例：用卡诺图化简逻辑函数

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相邻A相邻BCABCABD例：化简图示逻辑函数。解：多余的圈11223344圈组技巧(防止多圈组的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一种圈法的1；

③最后圈大圈；

④检查：每个圈中至少有一个1未被其它圈圈过。例3.2.2一个逻辑电路的输入是逻辑变量A、B、C、D，其真值表如表3.2.3所示，用卡诺图法求化简的与—或表达式及与非—与非表达式。ABCDLABCDL00001100010001010010001001010100110101100100111001010111101001100111000111011111表3.2.3例3.2.2真值表1000110010101101LABDC例3.2.2的卡诺图例3.2.4：设计一个逻辑电路，能判断一位十进制数是奇数还是偶数，即，当十进制数为奇数时，电路输出为1，为偶数时，电路输出为0。对应十进制数输入变量输出LABCD000000100011200100300111401000501011601100701111810000910011（其余6项为无关项）表3.2.4例3.2.4真值表解：

01100110

01

LABDC例3.24的卡诺图利用卡诺图化简逻辑函数的步骤（小结）⑴

将逻辑函数写成最小项表达式。⑵

按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含的最小项，其对应方格填１，其余方格添０。⑶

画包围圈，即将相邻为1的方格画在圈内，但每一包围圈内只应包含2n个方格。⑷