数学竞赛训练题及解析（五年级）

数学竞赛训练题及解析（五年级）数学竞赛不仅仅是对知识掌握程度的考验，更是思维灵活性与解题技巧的较量。五年级是数学思维发展的关键时期，适当的竞赛训练能有效激发学习兴趣，培养逻辑推理与问题解决能力。以下为大家精心准备了几道五年级数学竞赛训练题，并附上详细解析，希望能对同学们有所启发。一、行程问题：环形跑道上的相遇与追及题目：甲、乙两人在一个周长为300米的环形跑道上练习跑步。甲的速度是每分钟120米，乙的速度是每分钟90米。如果两人同时同地出发，同向而行，那么多少分钟后甲第一次追上乙？如果两人同时同地出发，反向而行，那么多少分钟后两人第一次相遇？解析：这道题包含了环形跑道上的两种基本情况：同向追及和反向相遇。1.同向而行（追及问题）：当两人同向而行时，甲的速度比乙快，所以甲会逐渐追上乙。我们把乙看作是“静止”的（这是一种常用的相对运动思想），那么甲相对于乙的速度就是他们的速度差。甲要追上乙，就必须比乙多跑一圈，也就是300米。速度差=甲的速度-乙的速度=120米/分钟-90米/分钟=30米/分钟。追及时间=路程差÷速度差=300米÷30米/分钟=10分钟。所以，10分钟后甲第一次追上乙。2.反向而行（相遇问题）：当两人反向而行时，他们是相向运动，速度可以叠加。两人共同跑完一圈（300米）时，就会第一次相遇。速度和=甲的速度+乙的速度=120米/分钟+90米/分钟=210米/分钟。相遇时间=总路程÷速度和=300米÷210米/分钟。这里计算结果是一个分数：300/210=10/7≈1.43分钟。但在数学竞赛中，我们通常保留分数形式，即10/7分钟，或者写成一又七分之三分钟。所以，10/7分钟后两人第一次相遇。点评：行程问题的核心在于理解速度、时间、路程三者的关系，并能根据运动方向（同向、反向）准确判断是使用速度差还是速度和。画线段图或环形图辅助分析，往往能让问题变得更直观。二、几何问题：巧求阴影部分面积题目：如图，正方形ABCD的边长为6厘米，E、F分别是AB和AD的中点。连接CE和BF，相交于点G。求图中阴影部分（三角形BGC）的面积。（注：此处虽无法直接展示图形，但可根据描述想象：正方形左上角A，右下角C，E在AB中点，F在AD中点，CE从C到E，BF从B到F，交点G，形成的三角形BGC即为阴影）解析：要求阴影部分三角形BGC的面积，直接求边长或高比较困难。我们可以考虑用“整体减部分”的思想，或者利用三角形面积之间的比例关系。方法一：利用三角形面积公式及比例关系1.首先，我们可以求出整个正方形的面积：6×6=36（平方厘米）。2.连接CF和BE（辅助线，有时解题需要巧妙添加辅助线）。考虑三角形BEC和三角形BFC。*三角形BEC的底BC=6厘米，高BE=AB的一半=3厘米？不，E是AB中点，所以AE=EB=3厘米。三角形BEC的面积是(BC×EB)÷2=(6×3)÷2=9（平方厘米）。*同理，三角形BFC的面积也是9平方厘米（底BC=6，高是CD的一半？不，F是AD中点，AF=FD=3厘米。从F向BC作高，也是6厘米，所以面积是(6×6)÷2？不对，这里思路有点混乱。换个角度，三角形BFC以BC为底，其高就是正方形的边长AD，所以面积是(6×6)÷2=18平方厘米？不，那是三角形ABC的面积。F是AD中点，三角形BFC的面积其实等于正方形面积的一半，因为底BC不变，高是AB（或CD）的长度。是的，因为F在AD上，AD平行于BC，所以F到BC的距离就是AB的长度6厘米。所以三角形BFC的面积是(6×6)÷2=18平方厘米。哦，我之前算错了。E是AB中点，三角形BEC的面积：以BC为底6厘米，以EB为高？不对，EB是AB的一半3厘米，但EB是竖直方向，BC是水平方向，它们是垂直的。所以三角形BEC的面积是(BC×EB)÷2=(6×3)÷2=9平方厘米，这个是对的。因为E在AB上，从E到BC的垂直距离就是EB的长度3厘米。3.现在看三角形BEC（面积9平方厘米），它被线段BG分成了两部分：三角形BGC和三角形BGE。我们要求的是三角形BGC。如果能知道BG和GE的比例，或者CG和GE的比例，就能求出三角形BGC的面积。考虑三角形BFE和三角形BCE？或者用沙漏模型（相似三角形）。因为E、F是中点，AE=EB=AF=FD=3厘米。观察三角形AGE和三角形CGB。因为AE平行于CD，AB平行于CD，AD平行于BC。所以，∠GAE=∠GCB（内错角相等），∠GEA=∠GBC（内错角相等）。因此，三角形AGE相似于三角形CGB。它们的相似比是多少呢？AE与CB的长度比。AE=3厘米，CB=6厘米，所以相似比是3:6=1:2。所以，GE:GB=AE:CB=1:2。这意味着，在三角形BEC中，GE:EB=1:(1+2)=1:3？不，GE:GB=1:2，所以GB占BE线段的2/(1+2)=2/3。三角形BEC的面积是9平方厘米，它的面积可以看作是以BE为底，C到BE的距离为高吗？不太方便。换个角度，三角形BEC的面积=三角形BGC的面积+三角形BGE的面积。而三角形BGC和三角形BGE共用一个顶点C，并且它们的底边BG和GE在同一条直线BE上。所以，它们的面积比就等于底边BG:GE=2:1。因此，三角形BGC的面积=三角形BEC面积×(2/(2+1))=9×(2/3)=6（平方厘米）。方法二：赋值法与代数计算也可以设正方形边长为单位“1”，或者建立坐标系，求出交点G的坐标，再计算面积。但对于五年级学生，相似三角形的沙漏模型或蝴蝶模型是更常用的几何技巧。点评：几何面积计算常常需要转换思路，利用已知图形的面积，通过加减、分割、补形、或者寻找图形间的比例关系来求解。辅助线的添加是关键，而熟悉各种基本图形的性质和面积公式是基础。三、应用题：列方程解决问题题目：学校图书馆计划购买一批新书。原计划购买《科学探秘》20本和《数学乐园》30本，共需花费1900元。后来发现《科学探秘》每本涨价了10元，《数学乐园》每本涨价了5元，这样购买相同数量的两种书，总花费比原计划多了350元。请问原来《科学探秘》和《数学乐园》每本各多少元？解析：这是一道典型的需要列方程（组）解决的应用题。题目中有两个未知量：《科学探秘》原价和《数学乐园》原价，以及两个等量关系。设《科学探秘》原来每本x元，《数学乐园》原来每本y元。根据题意，可以列出以下两个方程：1.原计划花费：20本《科学探秘》的价钱+30本《数学乐园》的价钱=1900元即：20x+30y=1900---(1)2.涨价后的额外花费：《科学探秘》多花的钱+《数学乐园》多花的钱=350元《科学探秘》每本涨10元，20本就多花20×10=200元？不对！题目说“《科学探秘》每本涨价了10元”，所以20本《科学探秘》多花的钱是20×10=200元。《数学乐园》每本涨价了5元，30本就多花30×5=150元。200+150=350元，正好是题目中说的“总花费比原计划多了350元”。咦？这样的话，第二个方程是不是就直接成立了？那这道题岂不是只有一个方程？哦，我明白了！题目中“这样购买相同数量的两种书，总花费比原计划多了350元”，这里的“这样”指的就是前面说的“《科学探秘》每本涨价了10元，《数学乐园》每本涨价了5元”。所以涨价的金额是固定的，20×10+30×5=200+150=350元，这恰好就是350元。这说明第二个条件其实是用来验证或者说它本身就是一个恒等式，并没有给出新的信息。那么，这意味着我们只有方程(1)：20x+30y=1900。这是一个二元一次方程，有无数组解。但在实际问题中，x和y都应该是正整数。我们需要结合实际情况来解。化简方程(1)：两边同时除以10，得到2x+3y=190。所以，2x=190-3y，x=(190-3y)/2。因为x、y都是正整数，所以(190-3y)必须是偶数，且结果为正。190是偶数，3y必须是偶数，所以y必须是偶数。我们可以尝试一些合理的y值。比如，假设y=30元，那么x=(____)/2=100/2=50元。检验一下：20×50+30×30=1000+900=1900元，正确。如果y=28元，x=(____)/2=106/2=53元。20×53+30×28=1060+840=1900，也对。这说明题目条件给少了吗？还是我理解错了？哦！我重新仔细读题：“后来发现《科学探秘》每本涨价了10元，《数学乐园》每本涨价了5元，这样购买相同数量的两种书，总花费比原计划多了350元。”啊！“发现”涨价了，那么是不是“原计划”的价格是没涨价的，而“后来”要按涨价后的价格买，所以总花费会多350元。所以，第二个条件应该是：20(x+10)+30(y+5)=1900+350。这样才对！我刚才的理解太想当然了，把“涨价了10元”直接等同于“多花了20×10”，但题目是说因为涨价，所以购买相同数量的书，总花费多了350元。这才是正确的等量关系。之前的理解使得第二个条件变得多余，这在设计良好的竞赛题中是不太可能的。好，那么正确的第二个方程是：20(x+10)+30(y+5)=1900+350---(2)现在我们有两个方程了。化简方程(2)：20x+200+30y+150=225020x+30y+350=225020x+30y=2250-35020x+30y=1900---(2a)咦？方程(2a)和方程(1)是完全一样的！这说明我的第二种理解也导致了同样的结果。这就意味着，题目中关于涨价后多花350元的描述，其实是由“每本涨价10元和5元”以及“购买数量”共同决定的，它并没有提供新的独立信息。那么，这道题的设计意图是什么呢？它可能就是想考察学生能否根据第一个方程，结合实际意义（书的单价应为正整数）来求解。或者，可能我在最初的题目理解上仍然存在偏差。我们回到题目：“原计划购买《科学探秘》20本和《数学乐园》30本，共需花费1900元。”这是唯一的等量关系20x+30y=1900，化简得2x+3y=190。我们来求这个方程的正整数解。x=(190-3y)/2=95-(3y)/2。所以3y必须是偶数，y必须是偶数。我们可以尝试y=30，则x=95-45=50。y=28，则x=95-42=53。y=26，则x=95-39=56。y=24，则x=95-36=59。y=22，则x=95-33=62。...这些都是可能的解。但在实际生活中，书的价格通常是整数，而且不会太高或太低。考虑到是给五年级学生的题目，数字通常会比较“友好”。y=30，x=50是一组非常合理的解。我们可以代入检验：20×50+30×30=1000+900=1900元，正确。并且，涨价后：20×(50+10)+30×(30+5)=20×60+30×35=1200+1050=2250元。2250-1900=350元，也符合题目条件。所以，最合理的答案是：原来《科学探秘》每本50元，《数学乐园》每本30元。点评：列方程解应用题的关键在于准确理解题意，找出等量关系。当题目中出现多个条件时，要仔细分析它们是否独立，能否构成方程组。对于一些不定方程（未知数个数多于方程个数），则需要结合实际情况（如整数解、合理范围等）来求解。总结与思考通过以上几道题目的训练，我们可以看出，数学竞