暑假作业06 平面向量基本定理及爪子定理、等和线（系数和）的应用（解析版）

限时练习：90min完成时间:—月—日天气:

作业06平面向量基本定理

及爪子定理、等和线（系数和）的应用

1.平面向量基本定理

如果0,C2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量〃，有且只有一

对实数九,丸2,使。=力0十九纭

其中，不共线的向量以，及叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（1）.基底0,62必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.

2.形如AD=xAB+yAC条件的应用（“爪子定理”）

“爪''字型图及性质：A

（1）已知AC为不共线的两个向量，则对于向量AO,必存在X,），，使得/\

AD=xAB+yAC.则氏C,。三点共线ox+y=1//\

当0<x+y<l,则。与A位于BC同侧，且。位于A与8c之间0'

当上+y>l,则。与A位于BC两侧

x+y=l时，当x>0,y>0,则。在线段BC上；当外<0,则。在线段BC延长线上

A

（2）已知。在线段上，且=〃?：〃，则4。二」一AB+—竺一A。//\

〃?+〃m+n/\

3.等和线（系数和）//

BmD〃

如图，P为AAOB所在平面上一点，过O作直线///AB,由平面向量基本定理知：

存■在.x,ycR,使得OP=xOA+yOB

下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值

①若时，则射线0P与/无交点，由///A8知，存在实数4,使得。尸=/LA8

而A8=0B—04,所以OP=4OB-/IOA,于是x+)=〃/l=O

②若夕金/时，

(i)如图1,当P在/右侧时，过P作CO//A3,交射线OA,于C,。两点，则

△OCD〜bOAB,不妨设AOCQ与AOAB的相似比为k

由P,C,。三点共线可知：存在；IGR使得：

OP=2OC+(1-Z)OD=kWA+k(\-©OB

所以x+y=kX+Z(l-4)=A

(ii)当夕在/左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图【作。关于。的对称点/，由(i)

的分析知：存在存在/IwR使得：

OPf=AOC+(l-A)OD=UOA+(1-MOB

所以OP'=-kZOA+-(l-2)OB

于是x+y=-kA+-k(\-A.)=-k

综合上面的讨论可知：图中。P用。4,。8线性表示时，其系数和x+y只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。

因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过。作A3边的垂线

设点。在/'上的射影为P,直线/'交直线A8于点则|Z|二N与(k的符号由点。的位置确定)，因

II

此只需求出|00,|的范围便知x+y的范围

W9巩固提升练

一、单选题

1.设。为448c所在平面内一点8C=3c。，则()

14I4

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB-AC

3333

4141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

【答案】A

【分析】由向量等式判断点。在线段3c的延长线上，结合图形，将AD用八B和AC线性表示却得.

【详解】

如图，由可知，点。在线段3C的延长线上，由图可得,

---|-1--14

AD=AC+CD=AC+-BC=AC+-(AC-AB)==——AB+-AC.

3333

故选:A.

2.在平行四边形ABC。中，E是对角线AC上靠近点。的三等分点，点尸在座上，^AF=.xAB+^-AD,

A2

A-3uIn-7

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解.

【详解】由题可知，AE=mAe=：（A8+AQ）“•点尸在班上,

22

AF=+AF=

333

3

2A

Z=-

f,解得.2

5,

x=—

,3336

故选：C.

3.如图，在直角梯形/WCO中，ABDC,ADLDC,AD=DC=2AB=4,E为AO的中点，若

CA=ACE+f.iDB^f.1GR),贝ij/l十〃的值()

H

F

C.1—\/3D.75-1

【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设。C=2〃，求得人尸,八凤八。的坐标，再由人尸=工人8+”1。列式

求解即可.

【详解】建立如图所示平面直角坐标系:

设云=勿(4>0),则EC=a,QE=6a,

则A(0,0),4(240),Q(O,勿),。尸=(G+1)。,

所以以=(>/3+1j67-cos30°,yF=2“+(G+l)asin30。，即

所以从尸=，/W=(2〃,0),AO=(0,2a),

因为人F=xAB+y人。，

'3+6o

-------a=2al

2

所以=x(2«,0)+y(0,2a),则・

5+6,

---a=2ay

则2ax-2ay=^+耳〃一批■电〃=-a，化简得工一尸-：,

222

故选：B.

【点睛】关键点点睛：涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐

标是解题的关键.

UUU

5.如图，已知点G是丛8c的重心，过点G作直线分别与48,AC两边交于M,N两点，设AM二xAB.

11IWUli

AN=yAC则x+4y的最小值为（）

A.9B.4C.3D.-

2

【答案】C

【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得.

UUUUUUILIU1ULM1

【详解】由点G是48C的重心，AM=xAB^AN=），AC，

故AG=」（"+AC）=WAM+1AN]=-!-AM+-!-AN.

3v，y）3,v3y

由G、/、N三点共线，故4+1=1，

3x3y

"z"11、144)，x5rl4vx人

贝lJx+4y=(x+4)，)—+—=-+-+—+->-+2

\3x3y)333x3y3\3x3y

当且仅当乎=；,即x=l,)，=：时，等号成立.

3x3y2

故选：C.

二、多选题

6.若,，ej是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（）

、I

B.«2百一e”,一］©2

C.{26一3q,6q-

【答案】ABC

【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.

【详解】对于A,q-6=-但-4），则0-6与为共线向量，不能作为平面向量的基底;

对于B,2e1-c2=2^1-1e2\则2q-S与q-；弓为共线向量，不能作为平面向量的基底；

对于c,-2（2^-3e,）=6^-4^,则羽-3q与6弓-他为共线向量，不能作为平面向量的基底:

对于D,若存在实数义使得q+S=/l(e；+3e2),贝小/],无解，所以e；+e；与q+3/不共线，可以作为

平面的基底,

故选：ABC

如图所示，在中，，

7.Q4BOC=OAOO=?OB,A。与BC交于点M.过M点的直线/与两边Q4、0B

42

分别交于点E，F,设OE=尤。4。尸则()

13

一+一

2

OEOFI?

D.的最小值为匚

OAOB

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，利用共线向量定理及推论计算判断ABC：利用数量税的定义计算判断D.

【详解】对于A,由A。与8c交于点M,得AM//AQ，而AO.O，令才3，

则。加一04=«0。-04),即有=(1一+,而==

于是OM=4(l—z)OC+』/O4,由RM.C共线，得4(l—f)+L=l,解得/=一，

227

.13

因此OM=-O4+二04,A正确；

77

I7I3

对于B,由OW=—OA+,04,0E=2OA,OF=pOB,OM=—0E+—OF,

7772IJLI

13I3

而EM/共线’于是方+承=1，即二丁7,B正确;

对于C,依题意，4〃>0,MZ-A=-(-+-)U+A)=-(4+-+—

72//74〃7

当且仅当4=呸，即〃=四时取等号，而±1述＞七叵，因此义+〃不能取土毡，C错误:

%〃777

OEOFA^IOAOB.]3H~312

对于显然产卜片心收

D,OAOB~OAOB~小'F+

当且仅当〃=34=2时取等号，因此区"的最小值为当，D正确.

7OAOB49

故选:ABD

8.如图，在四边形/WCO中，48//。。.48,4。,48=24力=2。<；七为8。边上一点，且8。=3七。,尸为

B.HC=--AB+AD

332

1221

C.CF=-AB--ADD.BF=——AB+-AD

6333

【答案】ABD

【分析】利用向量加法的二角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题

【详解】由A8//CO,AB_LAO,A6=2AO=2Z)C,

由问量加法的三角形法则得

(12422

4石=AB+BE=48+—ABH—AD=—ABH—AD,

又F为AE的中点，则==+故A正确；

4JJ

fic=BA+AD+DC=-AB+AD+^-AB=-^-AB+AD,故B正确；

22

112-1

BF=13A+AF~—AB+—AB+—AD———AB+—AD,故D正确；

._.?1(\、

CF=CB+BF=BF-BC=--AH+-AD-\--AB+AD

3JI，

\—2——

=.LAB.±ADf故c错误.

63

故选：ABD

三、填空题

9.在ABC中，D为BC上一点、,E是AD的中点，若8O=>WC，CE=；A8+〃AC,则2+〃=.

【答案】

【分析】利用向量线性运算得再由中点的向量表示列式求得义=上〃=-：,

.SI3/26

从而得解.

【详解】因为BD=4OC，

所以CE=1A8+〃AC=!(C8—CA)+〃AC=LC8+(-1一〃|CA

333I3J

=；(CD+O8)+信一,GA=*。+疣。)+卜H,CA

；一〃卜A,

=—CD+

3

因为E是AO的中点，所以CK=2CO+gCA,所以空=1，-1-//=1

223232

解得a=',〃=_3,所以2+〃=_；.

263

故答案为:-;.

10.在4BC中，M为BC边上任意一点，N为线段人M上任意一点，若AN=4AB+〃AC(4,〃eR),

则儿+〃的取值范围是

【答案】。1］

【分析】根据题意，设4V=fAM，然后分，=0与0<f〈l讨论，结合三点共线定理代入计算，即可得到结

果.

【详解】

由题意，设AN=fAM，(0二K1),

当7=0时，AN=0，所以2"»+〃AC=0,

所以4=〃=0,从而有义+〃=()；

当0</41时，因为AN=2AB+〃AC(2,//eR),

所以I人M=/IA8+〃AC,g|JAM=yAI3+^AC,

因为M、B、C三点共线，所以［亍=1,即%+〃=/40』.

综上，〃的取值范围是［0J.

故答案为：［0,1］

标能力培优练

1.在ABC中，过中线AO的中点E作一条直线分别交A区AC于M,N两点，若AM=MB，

AN=yAC(x>0,)，>0)，则2x+4)，的最小值为.

【答案】|+及

【分析】由向量的线性运算可得心［则再由基本不等式求解即可.

【详解】解：因为4/)是中级，所以=

22

又因为E是m的中点，所以舫=打。="8+9。

因为AM=%A8,AN=），AC,所以AS=』AM,AC='AN,

所以AE=-AB+-AC=—AM+—AN

444x4y

因为MEN二点共线，所以》"t

所以24+4y=（2x+4），）（'仁裳+反

1414y

LLi1+6

4yx=

当且仅当］4”4

即《时，等号成立，取到最小值,

2+&

2=Ay=

x2y-8

故答案为：,+四.

2.在平行四边形A8CO中，E为C。的中点，3尸=沙,4；与即交于点G,过点G的直线分别与射线84,

8C交于点M,N,BM=2BA，BN=juBC,则％+2〃的最小值为()

899

A.1B.-C.-D.-

775

【答案】C

2I

【分析】根据平面向量基本定理，将BG用B4和8c表示，再利用M，N,G三点共线，求得一+7=7,

再利用基本不等式求得最值.

【详解】由8,G,E共线，可设BG=/8E=/(3C+C£)=«4C+LR4)=I8C+,R4,

22

DEC

AMB

1—til

由A.G./三点共线，故可设BG=mBA+(}-m)BF=mBA+—BC,

in=­

27

则有I,解得：

\-m2

t=----t=-

37

I2

故8G=-84+-8C,

77

由题意，M,N,G三点共线,

故可设3G=+(1-〃)BN=AnBA+一〃)8c,

1

'3〃=721

则0，整理得一+丁=?，

八、2〃2

/Z(l-rt)=y

故"2〃=先刈_1_/1r\I/V242〃19

(2+2//)=y(5+—+-^-)>yX(5+4)=y,

当且仅当六华，即人"号时等号成立,则，+2〃的最小值为与

故选:C

3.如图，在平行四边形A8C。中，点七在八。边上，点尸在CO边上，且4£=3&),。尸二九/。/1〃与8£相

交千点G,若则实数4=

【分析】将AG用ARAB表示，然后利用瓦G,B三点共线列方程求解即可.

【详解】由AE=-ED,DF=AFC^3AE=AD,DF=-^—DC,

21+4

因为4户号AC,

2a八Q

nii|AG=—AF=—（AD+DF\=—^AE+—x-^DC=—AE^z,AB

"1010、）10101+21010（l+A）'

因为£GI三点共线，

93A]

所以历十项两=1，解得"=]•

故答案为：,j.

4.已知〃2>0,〃>0,如图，在中，点M,N满足人M="M8JN=〃AC£>在线段BC上且80=480,

点E是4。与MN的交点，AD=3AE.

（1）分别用44,4。来表示八£）和4£

（2）求"?+2〃的最小值

.31II

【答案】（1）AQ=248+-AC；AE=-AB+—AC

44412

（2）A+2^

126

【分析】（1）平面向量基本定理的运用，根据已知条件，结合向量的线性运算即可求解.

（2）根据已知条件，结合三点共线性质和基本不等式中“1”的妙用即可求解.

【详解】（1）因为BC=4BO，

flIo1

所以人力=人8+4。=人4+18。=人8+1（人。一八8）=彳人4+；人0,

因为人O=3AE，

所以/1七=，。=半"+：。］」43+-!-4。.

33\44/412

（2）由（1）AE=-AB+—AC,

412

因为AM=mA8,AN=〃AC,/n>0,n>0,

所以4E=4AB+LAC='-AM+1-4V,

4124〃？12/7

因为例,£N三点共线，

所以---1--------1,tn>0,/?>0,

4m12n

所以〃?+2〃=（〃?+2〃）（一!-+—!—]=°+-^-+-^22+2^-><-^-=—+-

14/〃\2nJ122m12〃12\2m12〃12

当且仅当4=3,即m=«〃=21如时等号成立，

2m12/?12

故加+2〃的最小值为»+逅.

126

-1•BF=；BE,则下列说法正确的

5.如图，A8C中，8。=§3。，点E在线段AC上，A。与8E交于点尸,

是（）

B.网,国

A.AD=-AB+-AC

33

C.AF+2BF+CF=0

【答案】ACD

【分析】由已知可得BD:DC=1:2,进而可得AD母叫AC,判断A；设AE=4AC，利用A,F，D

共线可求4,进而可判断B；根据A尸==八。，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断C.

4

【详解】对于A：根据8。=9。，

故AO=4B+8D=48+g8C=AB+；（AC—AB）=|AB+；AC,故A正确;

uuuuutl1I1

对于B：1^AE=AAC»则朋=在一八8=/14（7—4伉所=掾质=上24。一：4/?,

1i-2-1

+^AD=-AB+-ACt

11<?1A

•A，F,。三点共线，AF=mAD=>-AB+-AAC=m-AB+-AC,

1=0,,11I3

7TZI\^=—jn=—,i*）^AE——AC,故B错误;

乙323242

33

对于D：由于〃1=故4尸=/，

44

/.SBn）:SAFl）=|FD|:IAF|=1:3,故D正确;

33/21A11

对于c：AF=-AD=--AB+-AC\=-AB+-AC,

1111

BF=-AAC--AB=-AC一一AB,

2242

CF=CA+AF=CA+-AD=-AC+-AI3+-AC=-AI3--AC,

42424

SF+2BF+CF=-AB-¥-AC+?\-AC--AB\+-AB--AC=Q,故c正确.

24142J24

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解.

W3拓展突破练

1.已知。为ABC的内心，cosZA5C=-,且满足BO=x8A+），BC,则工+、的最大值为_______.

4

［答案］立也

5

【分析】延长8。交ACFa将工+y取值问题转换为捣的比值问题，根据图形将比值展开，根据内心的

几何性质求解即可.

【详解】设ABC内切圆半径为几延长80交AC于。，则BO=/l8O=x8A+y8C，即^。二彳班+=⑶。，

由A,C。三点共线，得1+-=l=x+y=4,

AA

—幽二忸。「应=q=_L_

|因\BO\+\OD\~\BO\+r{rt

\BO\2

.B11-cosB>/6,8-26

2V245

当/•二|R,即8DJLAC,亦即帖二BC时等号成立，故（x+），）a=8-2」.

2.在“8C中，A8MC,若点。为的垂心，且满足A0fB+xAC,则CQS的C的值为（）

【分析】利用平面向量基本定理结合三角形垂心的性质、平面向量三点共线的充要条件计算即可.

【详解】由题意可知，4?。是以力为顶角的等腰三角形，

A

A

BDc

如图所示：ADJ.BC,BE上AC,则力。:8£=0,

设A。=4ADBO=〃BE,

L1

122J4x=-

4

A0=AB+pBE=AB+AB)=(\-^)AB+--

JL^AE-JJAE=^-AB+^AC,

3—]-

所以"“AE=§AC'

AF\AE1

在直角三角形二钻石中，COSZBAC=—=^—7=-.

ABAC|3

故选：B

【点睛】思路点睛：由三角形为等腰三角形，及垂心的性质，结合平面向量基本定理、三点共线的线性关

系确定一腰上垂足的位置解三角形即可.

3.如图，在中，点尸满足尸C=28P,O是线段4P的中点,过点。的直线与边ABAC分别交于点及心

Ax

BPC

(1)若AO=xA»+yAe,求x和丁的值;

12

(2)若EB=AAE(A>0),FC=//AF(/z>0),求j+一的最小值.

【答案】⑴w

(2)|

【分析】(1)利用基底法，用A8A。表示出40,即可求解.

(2)先根据已知条件，得到AB=(1+2)4E,AC=(l+〃)/W"再根据==即可得

236

=+再根据E,O/三点共线，得2/1+〃=3,再由基本不等式，即可求解.

36

【详解】(1)因为PC=2放，所以BP=9C,

111

所以”=48+80=48+：灰；=,48+把0-砌=豺8+"0,

又0是线段”的中点，所以AO=〈AP=〈([AB+14C[=：AB+!AC,

22\33)56

又AO=xA3+yAC,且A仪AC不共线，

,11

所以x=；,y=：.

36

(2)因为A8=AK+硕=AK+/lA£=(l+/l)4E,

AC=AF+FC=AF+^AF=(1+")A/，

由(1)可知，AO=-AP=-AB-i-AC,所以=+

23636

因为£O,尸三点共线，所以?+?=1,即2尤+〃=3

36

又兀>0,4>0,

12\(121clx//44)、祝8

所以不+—=£7+—,(24+〃)=彳4+—+一4+21—.一=-,

4〃31/1p)314〃J3("J3

当且仅当〃=2"即%=?3,〃=：3时取等号,

一乙

2Q

所町+7的最小值为十

W3仿真考场练

1.12020•山东•高考真题）己知平行四边形ABCO,点、E,尸分别是AB,8c的中点（如图所示），设48=

AD=b,贝UE产等于（）

AEB

A.B.C.D.—a+b

*+。）