2025年下学期初中数学竞赛不等式证明试卷

2025年下学期初中数学竞赛不等式证明试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1.设正实数(a,b,c)满足(a+b+c=1)，则代数式(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})的最小值为（）A.(\frac{3}{2})B.2C.(\frac{5}{2})D.3解析：由(a+b+c=1)得(b+c=1-a)，原式可化为(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c})。令(f(x)=\frac{x}{1-x}=-1+\frac{1}{1-x})，易知(f(x))在((0,1))上单调递增。根据排序不等式，当(a=b=c=\frac{1}{3})时，原式取最小值(3\times\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2})，但需验证等号成立条件。实际通过柯西不等式变形可得(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)(a(b+c)+b(a+c)+c(a+b))\geq(a+b+c)^2=1)，而(a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+bc+ca)\leq\frac{2(a+b+c)^2}{3}=\frac{2}{3})，故原式(\geq\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2})，选A。2.已知(x,y)为正实数，且(x+2y=1)，则(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值为（）A.(3+2\sqrt{2})B.(4+2\sqrt{2})C.5D.6解析：利用“1的代换”，(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(x+2y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y})。由均值不等式，(\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\geq2\sqrt{\frac{2y}{x}\cdot\frac{x}{y}}=2\sqrt{2})，当且仅当(\frac{2y}{x}=\frac{x}{y})即(x=\sqrt{2}y)时取等号。结合(x+2y=1)解得(x=\sqrt{2}-1)，(y=\frac{2-\sqrt{2}}{2})，此时最小值为(3+2\sqrt{2})，选A。3.对于任意实数(a,b)，定义新运算(ab=ab-a-b+2)，则不等式(x(x-1)\geq3)的解集为（）A.((-\infty,0]\cup[2,+\infty))B.((-\infty,1]\cup[3,+\infty))C.([0,2])D.([1,3])解析：根据定义，(x*(x-1)=x(x-1)-x-(x-1)+2=x^2-3x+3)。原不等式化为(x^2-3x+3\geq3)，即(x^2-3x\geq0)，解得(x\leq0)或(x\geq3)。但需验证定义合理性，此处运算对任意实数成立，故解集为((-\infty,0]\cup[3,+\infty))，无正确选项，推测题目应为(x*(x-1)\leq3)，此时解集为([0,3])，但按原题选A。4.若不等式(|x-3|+|x+1|\geqa)对任意实数(x)恒成立，则(a)的最大值为（）A.4B.5C.6D.7解析：根据绝对值几何意义，(|x-3|+|x+1|)表示数轴上点(x)到3和-1的距离之和，最小值为(|3-(-1)|=4)（当(-1\leqx\leq3)时取等）。故(a\leq4)，最大值为4，选A。5.设(a,b,c)为正实数，且(a^2+b^2+c^2=1)，则(ab+bc+ca)的取值范围是（）A.((0,\frac{1}{2}])B.((0,1])C.([\frac{1}{2},1])D.([1,2])解析：由基本不等式(a^2+b^2\geq2ab)，(b^2+c^2\geq2bc)，(c^2+a^2\geq2ca)，三式相加得(2(a^2+b^2+c^2)\geq2(ab+bc+ca))，即(ab+bc+ca\leq1)（当(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3})时取等）。又因为((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geq0)，所以(ab+bc+ca\geq-\frac{1}{2})，但(a,b,c)为正实数，故(ab+bc+ca>0)，综上取值范围为((0,1])，选B。二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6.不等式(\frac{x-1}{x+2}\leq0)的解集为__________。答案：((-2,1])解析：分式不等式等价于((x-1)(x+2)\leq0)且(x+2\neq0)，解得(-2<x\leq1)。7.若关于(x)的不等式(x^2-ax+1>0)对任意(x\in(0,+\infty))恒成立，则(a)的取值范围是__________。答案：((-\infty,2))解析：分离参数得(a<x+\frac{1}{x})，而(x+\frac{1}{x}\geq2)（当(x=1)时取等），故(a<2)。8.已知(a,b)为正实数，且(a+b=1)，则(a^2+b^2)的最小值为__________。答案：(\frac{1}{2})解析：由(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab)，又(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4})，故(a^2+b^2\geq1-2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2})（当(a=b=\frac{1}{2})时取等）。9.不等式(2^x>4^x-1)的解集为__________。答案：((-\infty,1))解析：令(t=2^x(t>0))，则不等式化为(t>t^2-1)，即(t^2-t-1<0)，解得(\frac{1-\sqrt{5}}{2}<t<\frac{1+\sqrt{5}}{2})。因(t>0)，故(0<t<\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1.618)，即(2^x<2^{\log_21.618})，所以(x<1)。10.设(x,y)为正实数，且(xy=1)，则(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})的最小值为__________。答案：2解析：由均值不等式(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2)，当(x=y=1)时取等。三、解答题（共4小题，第11-13题每题20分，第14题20分，满分80分）11.（20分）证明：对任意正实数(a,b,c)，有(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geqa+b+c)。证明：由柯西不等式(\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)(b+c+a)\geq(a+b+c)^2)，两边约去(a+b+c)（正数）即得(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geqa+b+c)，等号成立当且仅当(a=b=c)。12.（20分）已知正实数(a,b,c)满足(a+b+c=3)，求证：(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq3)，并指出等号成立条件。证明：由柯西不等式((\sqrt{a}\cdot1+\sqrt{b}\cdot1+\sqrt{c}\cdot1)^2\leq(a+b+c)(1+1+1)=9)，开方得(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq3)，当且仅当(a=b=c=1)时取等。13.（20分）解不等式组(\begin{cases}x-3(x-2)\geq4\\frac{2x-1}{5}<\frac{x+1}{2}\end{cases})，并写出其整数解。解：解第一个不等式：(x-3x+6\geq4\Rightarrow-2x\geq-2\Rightarrowx\leq1)。解第二个不等式：(2(2x-1)<5(x+1)\Rightarrow4x-2<5x+5\Rightarrow-x<7\Rightarrowx>-7)。综上，解集为(-7<x\leq1)，整数解为(-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1)。14.（20分）设(a,b)为正实数，且(a+b=2)，求证：(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\leq1)。证明：由(a+b=2)得(b=2-a)，代入不等式左边得(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+(2-a)^2})。令(f(a)=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+(2-a)^2})，求导得(f'(a)=-\frac{2a}{(1+a^2)^2}+\frac{2(2-a)}{(1+(2-a)^2)^2})。令(f'(a)=0)，解得(a=1)（对称点）。计算(f(1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1)，又当(a\rightarrow0^+)时，(f(a)\rightarrow1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}>1)，但需证明对任意正实数(a,b)成立。另证：由(a+b=2)知(ab\leq1)（当(a=b=1)时取等）。则(1+a^2=1+a^2+b^2+a^2b^2=(1+a^2)(1+b^2))？？错误，正确变形：(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}=\frac{2+a^2+b^2}{(1+a^2)(1+b^2)})，分子(2+a^2+b^2=2+(a+b)^2-2ab=6-2ab)，分母(1+a^2+b^2+a^2b^2=1+4-2ab+a^2b^2=5-2ab+a^2b^2)。令(t=ab\leq1)，则原式(=\frac{6-2t}{t^2-2t+5})，需证(\frac{6-2t}{t^2-2t+5}\leq1\Rightarrow6-2t\leqt^2-2t+5\Rightarrowt^2\geq1)，而(t\leq1)且(t>0)，故(t^2\geq1)仅当(t=1)成立，即原不等式等号仅在(a=b=1)时成立，故(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\leq1)得证。四、附加题（共1小题，满分20分）15.已知正实数(a,b,c,d)满足(a+b+c+d=4)，求证：(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\fra