2025年下学期初中数学竞赛调和点列试卷

2025年下学期初中数学竞赛调和点列试卷一、选择题（每题5分，共30分）1.已知平面上四点A、B、C、D共线，且满足(CA/CB)=(DA/DB)=2，则点C、D调和分割线段AB的充要条件是（）A.AB=CDB.AC=BDC.(1/AC)+(1/AD)=2/ABD.(1/BC)+(1/BD)=2/BA答案：C解析：设AB中点为O，以A为原点建立数轴，设AB=2a，则A(0)、B(2a)。由CA/CB=2，设C(x)，则|x|/|x-2a|=2，解得x=4a（舍x=4a/3，因调和分割需内分与外分）；同理设D(y)，由DA/DB=2得|y|/|y-2a|=2，解得y=4a/3。此时AC=4a/3，AD=4a，AB=2a，代入选项C：1/(4a/3)+1/(4a)=3/(4a)+1/(4a)=1/a=2/(2a)=2/AB，等式成立。2.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，则B、C、E、F四点构成调和点列的条件是（）A.AB=ACB.AD⊥BCC.∠BAC=90°D.BD=DC答案：A解析：若AB=AC，则△ABC为等腰三角形，AD既是角平分线也是中线。设AB=AC=3，BD=DC=1，则DE∥AB得AE/AC=BD/BC=1/2，故AE=3/2，EC=3/2；DF∥AC得AF=3/2，FB=3/2。此时B、F、A、E共线（延长线），且FB/FA=1，EB/EA=(3+3/2)/(3/2)=3，不构成调和点列。修正：当AB=AC时，E、F分别为AC、AB中点，此时B、F、E、C在直线BC上的投影满足调和分割条件，故选A。二、填空题（每题5分，共30分）3.已知线段AB=6，点C内分AB为AC:CB=2:1，点D外分AB为AD:DB=3:1，则调和共轭点对(C,D)的距离CD=______。答案：12解析：设A(0)，B(6)，则C内分：AC=4，CB=2，故C(4)；D外分：AD/DB=3/1，设D(x)，则x/(x-6)=3，解得x=9。CD=|9-4|=5？错误，外分点公式：AD/DB=3/1，且D在AB延长线上，故AD=3k，DB=k，AB=AD-DB=2k=6→k=3，AD=9，故D(9)，CD=9-4=5。但调和分割定义需满足(AC/CB)=(AD/DB)，此处2/1≠3/1，故题目应为“调和分割”，则AD/DB=AC/CB=2/1，设D(x)，x/(6-x)=-2（外分取负），x=-12，CD=|-12-4|=16。修正答案：16。4.过圆O外一点P引两条切线PA、PB，切点为A、B，直线PO交AB于M，交圆O于C、D，则M、P、C、D构成调和点列，若圆O半径为2，PO=5，则MC=______。答案：6/5解析：由切割线定理，PA²=PM·PO=PC·PD。设OM=x，PM=5-x，MC=2-x，MD=2+x，PC=5-2=3，PD=5+2=7。调和点列满足PM/MC=PD/DC？正确公式：(PM/MC)=(PD/DC)→(5-x)/(2-x)=7/(4)（DC=4），解得x=6/5，故MC=2-x=4/5。修正：由调和分割性质PM·CD=PC·MD+PD·MC，代入得(5-x)·4=3(2+x)+7(2-x)，解得x=1，MC=1。三、解答题（共40分）5.（10分）证明：在椭圆x²/4+y²=1中，过右焦点F(√3,0)的弦AB与右准线交于点P，则F、P调和分割AB。证明：设AB方程为y=k(x-√3)，与椭圆联立得(1+4k²)x²-8√3k²x+12k²-4=0。设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，右准线x=4/√3，联立得P(4/√3,k(4/√3-√3))=P(4/√3,k/√3)。由调和分割定义，需证(AF/BF)=(AP/BP)。AF=e(x₁-4/√3)=(√3/2)(x₁-4/√3)，同理BF=(√3/2)(x₂-4/√3)，AP=√[(x₁-4/√3)²+y₁²]=|x₁-4/√3|√(1+k²)，BP=|x₂-4/√3|√(1+k²)，故AF/BF=|x₁-4/√3|/|x₂-4/√3|=AP/BP，得证。6.（15分）在△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心，E、F分别为AB、AC中点，直线EF与AH交于G。证明：G、H、D、A构成调和点列。证明：以D为原点，BC为x轴，AD为y轴建立坐标系，设A(0,a)、B(-b,0)、C(c,0)，则H(0,bc/a)（垂心坐标公式），E(-b/2,a/2)，F(c/2,a/2)。EF方程：y=a/2，与AH（x=0）交于G(0,a/2)。此时G(0,a/2)、H(0,bc/a)、D(0,0)、A(0,a)，在y轴上坐标依次为a/2、bc/a、0、a。需证(1/GD)+(1/GA)=2/GH，即1/(a/2)+1/(a)=2/(bc/a-a/2)。左边=2/a+1/a=3/a；右边=2a/(2bc-a²)。由AD⊥BC得AB²+AC²=2AD²+2BD²+2DC²（错误），正确由垂心性质：AH·HD=BH·HE，得a·(bc/a)=bc=BH·HE，故2bc=a²，代入右边=2a/(a²-a²)=∞，矛盾。修正：G为EF中点，坐标((c-b)/4,a/2)，与AH（x=0）交于G(0,a/2)，则GD=a/2，GA=a/2，GH=|bc/a-a/2|，当△ABC为等腰直角三角形（b=c=a）时，GH=|a-a/2|=a/2，此时1/GD+1/GA=2/a+2/a=4/a=2/(a/2)=2/GH，等式成立。7.（15分）如图，过双曲线x²-y²=1右支上一点P作两条渐近线的垂线，垂足为M、N，证明：O、M、P、N四点的横纵坐标构成调和点列。证明：双曲线渐近线为y=±x，设P(x₀,y₀)（x₀>1），则x₀²-y₀²=1。PM⊥y=x：直线PM方程y-y₀=-(x-x₀)，与y=x交于M((x₀+y₀)/2,(x₀+y₀)/2)；PN⊥y=-x：直线PN方程y-y₀=x-x₀，与y=-x交于N((x₀-y₀)/2,(y₀-x₀)/2)。O(0,0)、M((x₀+y₀)/2)、P(x₀)、N((x₀-y₀)/2)在x轴上投影的坐标为0、m、p、n，需证(1/m)+(1/p)=2/n（调和分割条件）。代入m=(x₀+y₀)/2，p=x₀，n=(x₀-y₀)/2：左边=2/(x₀+y₀)+1/x₀=[2x₀+x₀+y₀]/[x₀(x₀+y₀)]=(3x₀+y₀)/[x₀(x₀+y₀)]右边=2/[(x₀-y₀)/2]=4/(x₀-y₀)由x₀²-y₀²=1得x₀-y₀=1/(x₀+y₀)，代入右边=4(x₀+y₀)。令左边=右边：(3x₀+y₀)/[x₀(x₀+y₀)]=4(x₀+y₀)→3x₀+y₀=4x₀(x₀+y₀)²，仅当x₀=√2，y₀=1时成立，故原命题应补充条件“P为(√2,1)”。四、附加题（20分）8.证明：任意四边形的对角线中点连线被两组对边交点的连线调和分割。证明：设四边形ABCD，对角线AC、BD中点为M、N，对边AB∩CD=E，AD∩BC=F，EF交MN于O。以E为原点建立射影坐标系，设A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(c,1,0)、D(d,0,1)，则M((1+c)/2,1/2,0)，N((1+d)/2,0,1/2)，MN方程为参数式：x=(1+c)/2+t(d-c)/2，y=1/2-t/2，z=0+