2025年下学期初中数学竞赛模运算试卷

2025年下学期初中数学竞赛模运算试卷一、选择题（每题5分，共30分）1.若(a\equiv3\mod5)，(b\equiv4\mod5)，则((a+b)\mod5)的值为（）A.1B.2C.7D.12解析：根据模运算加法法则，((a+b)\modm=[(a\modm)+(b\modm)]\modm)。代入得((3+4)\mod5=7\mod5=2)，故选B。2.满足(2x\equiv1\mod3)的最小正整数解为（）A.1B.2C.3D.4解析：通过试值法，当(x=2)时，(2×2=4\equiv1\mod3)，故选B。3.下列算式正确的是（）A.(10\mod3=3)B.((-5)\mod4=-1)C.(7\mod7=1)D.(12\mod5=2)解析：模运算结果非负，A项应为1，B项((-5)+8=3)，故((-5)\mod4=3)；C项(7\mod7=0)；D项正确，故选D。4.若今天是星期三，则2025天后是星期（）A.三B.四C.五D.六解析：一周7天为周期，(2025\div7=289)周余2天，星期三加2天为星期五，故选C。5.设(n)为正整数，若(n\mod4=3)，则(n^2\mod4)的值为（）A.1B.2C.3D.9解析：设(n=4k+3)，则(n^2=(4k+3)^2=16k^2+24k+9=4(4k^2+6k+2)+1)，故(n^2\mod4=1)，选A。6.模10下与7互为逆元的数是（）A.3B.7C.9D.13解析：逆元满足(7x\equiv1\mod10)，试值得(7×3=21\equiv1\mod10)，故选A。二、填空题（每题5分，共30分）7.计算(2025\mod12=)__________答案：9解析：(12×168=2016)，(2025-2016=9)。8.若(x\equiv5\mod7)，则(3x+2\equiv)__________(\mod7)答案：4解析：(3×5+2=17)，(17\mod7=3)？？？修正：(3×5=15\equiv1\mod7)，(1+2=3)，答案应为3。9.满足(x\equiv2\mod3)且(x\equiv3\mod4)的最小正整数(x=)__________答案：11解析：设(x=3k+2)，代入第二个条件得(3k+2\equiv3\mod4)，即(3k\equiv1\mod4)，解得(k=3)，故(x=3×3+2=11)。10.(10^{2025}\mod3)的值为__________答案：1解析：(10\equiv1\mod3)，故(10^n\equiv1^n=1\mod3)。11.若(a\equivb\modm)，则(a^k\equiv)__________(\modm)（用(b)表示）答案：(b^k)解析：模运算乘法法则的推广，指数运算保持同余性。12.某数除以5余3，除以7余2，该数最小为__________答案：23解析：枚举法：满足除以5余3的数为3,8,13,18,23,...，其中23除以7余2，故答案为23。三、解答题（每题15分，共60分）13.计算：((23×17-15×8)\mod11)解：[\begin{align*}23\mod11&=1,\quad17\mod11=6,\15\mod11&=4,\quad8\mod11=8,\\text{原式}&=(1×6-4×8)\mod11\&=(6-32)\mod11\&=(-26)\mod11\&=(-26+33)\mod11=7.\end{align*}]14.解同余方程：(4x+5\equiv3\mod6)解：化简方程得(4x\equiv-2\mod6)，即(4x\equiv4\mod6)。两边同除以2（因gcd(4,6)=2，且2整除4），得(2x\equiv2\mod3)，解得(x\equiv1\mod3)。故通解为(x=3k+1)（(k)为整数），最小正整数解为1。15.证明：对于任意整数(n)，(n^3-n)能被6整除。证明：(n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1))，即三个连续整数的乘积。三个连续整数中必有一个偶数，故能被2整除；三个连续整数中必有一个3的倍数，故能被3整除。因此，该乘积能被(2×3=6)整除。16.某班级学生排队，若每排站5人则余3人，每排站7人则余4人，每排站11人则余6人，求班级最少人数。解：设人数为(x)，则：[\begin{cases}x\equiv3\mod5\x\equiv4\mod7\x\equiv6\mod11\end{cases}]步骤1：解前两个方程，设(x=5a+3)，代入第二个方程得(5a+3\equiv4\mod7)，即(5a\equiv1\mod7)，解得(a\equiv3\mod7)（因(5×3=15\equiv1\mod7)），故(a=7b+3)，(x=5(7b+3)+3=35b+18)。步骤2：代入第三个方程：(35b+18\equiv6\mod11)，(35\mod11=2)，(18\mod11=7)，故(2b+7\equiv6\mod11)，即(2b\equiv-1\equiv10\mod11)，解得(b\equiv5\mod11)。因此，(b=11c+5)，(x=35(11c+5)+18=385c+193)。最小正整数解为(c=0)时，(x=193)。四、附加题（20分）17.求所有正整数(n)，使得(2^n\equiv1\mod3)。解：通过计算找规律：(n=1)时，(2^1=2\equiv2\mod3)；(n=2)时，(2^2=4\equiv1\mod3)；(n=3)时，(2^3=8\equiv2\mod3)；(n=4)时，(2^4=16\equiv1\mod3)。规律：当(n)为偶数时，(2^n\equiv1\mod3)；当(n)为奇数时，(2^n\equiv2\mod3)。证明：用数学归纳法：基础：(n=2)时成立；假设(n=k)（偶数）时(2^k\equiv1\mod3)，则(n=k+2)时，(2^{k+2}=4×2^k\equiv1×1=1\mod3)。故所有正偶数(n)满足条件。参考答案与评分标准一、选择题1-6：BBDCAA二、填空题98.39.1110.111.(b^k)12.23三、解答题7（步骤完整得15分，结果正确但过程简略扣5分）(x=3k+1)（通解正确得10分，最小正整数解正