2025年下学期初中数学竞赛平面几何试卷

2025年下学期初中数学竞赛平面几何试卷一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为（）A.70°B.110°C.130°D.140°如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A.50°B.80°C.100°D.130°下列命题中正确的是（）A.三角形的外心到三边距离相等B.菱形的对角线相等且互相垂直C.矩形的对角线互相垂直平分D.等腰梯形同一底上的两个角相等如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径作圆，若圆C与斜边AB有唯一公共点，则r的取值范围是（）A.r=2.4B.3<r≤4C.r=2.4或3<r≤4D.2.4≤r≤4如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F分别是AB、CD的中点，现将矩形沿EF折叠，使点A、D分别落在点A'、D'处，则阴影部分的面积为（）A.12B.15C.18D.24二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为________。一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的内角和是________度。如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC=________。如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，PA=4，则⊙O的半径为________。如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的面积保持不变；③AD=DC；④EF的长度的最小值为2。其中正确的结论有________（填序号）。三、解答题（共4小题，第11、12题每题15分，第13、14题每题20分，满分70分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，求证：四边形BCED是等腰梯形。证明：∵AB=AC，AD=AE∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，∠A+∠B+∠C=180°∴∠ADE=∠B∴DE∥BC∵AB=AC，AD=AE∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE∵BD=CE且DE∥BC∴四边形BCED是等腰梯形如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD=DF。求证：CF=EB。证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB∴DC=DE，∠C=∠DEB=90°在Rt△DCF和Rt△DEB中∵DF=BD，DC=DE∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）∴CF=EB如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠BAC=120°，AB=8，求DE的长。（1）证明：连接OD∵AB=AC∴∠B=∠C∵OB=OD∴∠B=∠ODB∴∠ODB=∠C∴OD∥AC∵DE⊥AC∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线（2）解：连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∵AB=AC=8，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°，BD=CD在Rt△ABD中，AD=AB·sinB=8×sin30°=4BD=AB·cosB=8×cos30°=4√3∴BC=2BD=8√3∵S△ABC=1/2·BC·AD=1/2·AC·DE∴1/2×8√3×4=1/2×8×DE解得DE=4√3如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（8，0），点P从点A出发沿y轴负方向向点O运动，同时点Q从点B出发沿x轴正方向向点C运动，P、Q两点的运动速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒。（1）用含t的代数式表示线段OP、CQ的长度；（2）连接PQ，当PQ∥AB时，求t的值；（3）在点P、Q运动过程中，线段PQ的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。解：（1）∵点A（0，6），点B（8，0）∴OA=6，OB=8∵P、Q两点的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒∴AP=t，BQ=t∴OP=OA-AP=6-tCQ=BQ=t（当t≤8时）或CQ=t-8（当t>8时）（2）当PQ∥AB时，△OPQ∽△OAB∴OP/OA=OQ/OB∵OQ=OB+BQ=8+t∴(6-t)/6=(8+t)/8解得t=24/7（3）存在最小值∵OP=6-t，OQ=8+t∴PQ=√[OP²+OQ²]=√[(6-t)²+(8+t)²]=√(t²-12t+36+t²+16t+64)