2025年下学期初中数学竞赛完全四边形试卷

2025年下学期初中数学竞赛完全四边形试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）完全四边形是由四条直线相交形成的几何图形，其基本构成元素不包括（）A.四个三角形B.三条对角线C.六个交点D.两组对边平行在完全四边形ABCD-EF中（如图1），四条直线AB、BC、CD、DA相交于A、B、C、D、E、F六点，若AC=6，CE=3，BF=4，FD=2，则下列比例式正确的是（）A.AE:EC=BF:FDB.AF:FC=BE:EDC.AB:BC=AD:DCD.AE:AC=BF:BD完全四边形的密克点具有的性质是（）A.到四条边的距离相等B.是四个三角形外接圆的公共点C.平分任意一条对角线D.与任意顶点的连线垂直于对边如图2，完全四边形ABCDEF中，△ABC、△CDE、△BEF、△ADF的外接圆交于点M（密克点），若∠AMB=60°，则∠CMD的度数为（）A.30°B.60°C.90°D.120°在完全四边形中，若其中三个三角形的面积分别为3、4、5，则第四个三角形的面积可能是（）A.6B.7C.8D.9二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）完全四边形的垂心线是指________的连线，该线具有________的性质（写出一条即可）。如图3，在完全四边形ABCDEF中，对角线AD、BE、CF交于点O，若AO=2OD，BO=3OE，则CO:OF=________。若完全四边形的四条直线中有三条直线平行，则该图形可简化为________，此时密克点的位置在________。在直角坐标系中，四条直线y=x+1、y=-x+1、y=x-1、y=-x-1构成完全四边形，则其六个交点的坐标之和为________。已知完全四边形的一个三角形边长分别为5、12、13，则该三角形的外接圆半径为________，若此圆经过密克点，则其他三个三角形的外接圆半径之和为________。三、解答题（共4小题，第11-12题每题15分，第13-14题每题20分，满分70分）（15分）如图4，完全四边形ABCDEF中，AB=AC，AD=AE，求证：BF=CF。证明思路：（1）连接AF，利用SAS证明△ABD≌△ACE；（2）通过全等三角形性质得到∠ADB=∠AEC；（3）结合完全四边形内角关系推导∠BFD=∠CFE；（4）最终证明△BFD≌△CFE，得出BF=CF。（15分）在完全四边形ABCDEF中，对角线AD与BE交于点G，已知AG=4，GD=2，BG=3，GE=6，求△ABG与△DEG的面积之比。解答步骤：（1）根据梅涅劳斯定理推导线段比例；（2）利用共角定理计算面积比；（3）得出结果为1:2。（20分）如图5，完全四边形ABCDEF的密克点为M，过M作四条直线分别垂直于完全四边形的四条边，垂足分别为P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共线。证明要点：（1）利用密克点性质证明∠MPB=∠MQB；（2）通过四点共圆判定定理推导P、Q、B、M共圆；（3）结合西姆松线定理得出四点共线结论。（20分）在完全四边形中，若四条直线的方程分别为y=0、x=0、x+y=1、x-y=1，求：（1）六个交点的坐标；（2）三条对角线的长度；（3）密克点的坐标。解答过程：（1）联立方程解得交点坐标：(0,0)、(0,1)、(1,0)、(-1,0)、(0,-1)、(1,0)（需注意重复交点修正）；（2）对角线长度：√2、√2、2；（3）密克点坐标为(0,0)（原点）。四、拓展题（共2小题，每小题25分，满分50分）（25分）探索完全四边形与三角形重心的关系：（1）证明完全四边形中四个三角形的重心构成平行四边形；（2）若完全四边形的三条对角线长度分别为a、b、c，求该平行四边形的周长（用a、b、c表示）。（25分）动态几何探究：在平面直角坐标系中，完全四边形的一条边固定为x轴，另三条边绕定点旋转，分析密克点的轨迹方程，并判断轨迹类型。注：所有题目需写出详细解题步骤，几何题需结合图形辅助说明。密克点、垂心线等概念可参考完全四边形基本性质。（全卷共计200分，考试时间120分钟）图形说明：图1：标准完全四边形结构，标注A、B、C、D、E、F六点及对角线AF、BD、CE；图2：含密克点的完全四边形，标注四个三角形外接圆