2025年下学期初中数学竞赛学科特长试卷

2025年下学期初中数学竞赛学科特长试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）若实数(x)满足(x^2-2x-1=0)，则代数式(x^3-5x+2025)的值为（）A.2027B.2028C.2029D.2030在平面直角坐标系中，点(A(1,2))绕原点顺时针旋转(90^\circ)后得到点(A')，再将(A')向右平移3个单位得到点(B)，则点(B)的坐标为（）A.(5,1)B.(2,-1)C.(4,-1)D.(5,-1)已知(a,b)是正整数，且(a+b=2025)，则(a\timesb)的最大值为（）A.(1012\times1013)B.(1011\times1014)C.(1010\times1015)D.(2025^2/4)如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，点(D)为(BC)中点，以(D)为圆心作圆与(AB)相切，则该圆的半径为（）A.(\frac{12}{5})B.(\frac{13}{5})C.(\frac{14}{5})D.3从1到2025的所有整数中，能被3或5整除的数的个数为（）A.1080B.1081C.1082D.1083二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）若关于(x)的方程(x^2-(k+2)x+4k=0)有两个正整数根，则(k=)________。如图，矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，点(E,F)分别在(BC,CD)上，且(BE=CF=2)，则(\triangleAEF)的面积为________。已知(a,b,c)为正实数，且(a+b+c=6)，则(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})的最大值为________。一个不透明的袋子中装有编号为1至10的10个球，从中随机摸出3个球，则这3个球编号之和为偶数的概率为________。满足(1\leqx<y<z\leq2025)且(x+y+z=2025)的三元数组((x,y,z))的个数为________。三、解答题（共4小题，第11-13题每题20分，第14题25分，满分85分）已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像过点((1,2))，且与(x)轴交于(A(x_1,0))和(B(x_2,0))，其中(x_1,x_2)满足(x_1^2+x_2^2=10)，(x_1+x_2=4)。（1）求该二次函数的解析式；（2）若点(P(m,n))在该函数图像上，且(m)为整数，(n)为非负整数，求所有满足条件的点(P)的坐标。如图，在(\triangleABC)中，(\angleACB=90^\circ)，点(O)为(AB)中点，以(OC)为直径作圆交(AC)于点(D)，交(BC)于点(E)。（1）求证：(CD=CE)；（2）若(AC=6)，(BC=8)，求(\triangleCDE)的面积。已知正整数(n)满足：①(n)能被7整除；②(n)的各位数字之和为14；③(n)是一个四位数。求所有满足条件的(n)。（1）证明：对于任意正整数(k)，(k^4+2k^3+2k^2+2k+1)是合数；（2）设(a,b,c)为正整数，且(a+b+c=2025)，求(a^2+b^2+c^2)的最小值；（3）在（2）的条件下，若(a\leqb\leqc)，求(a\timesb\timesc)的最大值。（全卷共150分，考试时间120分